☉山東省菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué) 申 峰

欲提升高三學(xué)生的數(shù)學(xué)得分，需要先理清高三學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，側(cè)重于提高學(xué)生的辨識(shí)能力和解題思維的靈活性，注重基礎(chǔ)、關(guān)注常規(guī)的重要性，以及設(shè)計(jì)出新的教學(xué)方案，以提高教學(xué)效果.

一、高三學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

經(jīng)過(guò)高一的不斷夯實(shí)和高二的全面提高，學(xué)生已經(jīng)大致具備了數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.但是他們到了高三，卻常常沒(méi)有了過(guò)去的優(yōu)勢(shì)，有時(shí)甚至丟盔棄甲.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，分析高三學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀.

1.缺乏辨識(shí)能力

超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)重要的概率模型，它們之間既有區(qū)別也有聯(lián)系.多數(shù)學(xué)生對(duì)于它們之間的區(qū)別還是缺乏辨識(shí)能力.

案例1從某高中隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每位學(xué)生的視力，其中“好視力”（不低于5.0）4人.

（1）現(xiàn)從這16人中任選3人，用X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）現(xiàn)從這16人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，用X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

錯(cuò)解：（1）因?yàn)閺倪@16人中任選1人，抽到“好視力”學(xué)生的概率為，所以由題設(shè)可知，X服從參數(shù)n=3，的二項(xiàng)分布，即的可能取值為0、1、2、

所以X的分布列為：

X=k 0 1 2 3 P（X=k） 2 7 6 4 2 7 6 4 9 6 4 1 6 4

（2）由題設(shè)知，X服從參數(shù)N=16，M=4，n=3的超幾何分布.X的可能取值為1，2，3.

所以X的分布列為：

X=k 0 1 2 3 P（X=k） 1 1 2 8 1 3 3 7 0 9 7 0 1 4 0

辨析：出現(xiàn)上述錯(cuò)解的根源有兩個(gè)：一是沒(méi)有認(rèn)真審題；二是沒(méi)有理清超幾何分布與二項(xiàng)分布應(yīng)用的前提條件.先過(guò)審題關(guān)：第（1）問(wèn)應(yīng)該是“不放回抽取”；第（2）問(wèn)很顯然是“有放回抽取”.再過(guò)基本理論關(guān)：利用超幾何分布解題時(shí)，必須滿足“不放回抽取”，即每次抽取時(shí)面對(duì)的具體情景是互不相同的；利用二項(xiàng)分布解題時(shí)，必須滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”（“有放回抽取”是其中的一個(gè)特殊情形），即每次做試驗(yàn)時(shí)面對(duì)的具體情景是完全相同的.由此可知上述錯(cuò)解恰好將應(yīng)用超幾何分布與二項(xiàng)分布解題的情景搞反了.

解：（1）正確的解析過(guò)程即為上述錯(cuò)解中的（2）.

（2）注意到“有放回”地抽取，所以每抽取1次抽到“好視力”學(xué)生的概率都是，因此正確的解析過(guò)程與上述錯(cuò)解中的（1）相同.

拓展認(rèn)識(shí)：①在n次試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布.當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，X服從二項(xiàng)分布；當(dāng)這n次試驗(yàn)是不放回抽取時(shí)，X服從超幾何分布.

②當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布，則可將超幾何分布問(wèn)題用二項(xiàng)分布知識(shí)加以解決.

③求超幾何分布隨機(jī)變量的期望時(shí)，可理解為求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（任取1件放回），次品率為的次品數(shù)的期望，即求

2.解題思維不靈活

解題是數(shù)學(xué)的核心之一，解題能力是數(shù)學(xué)能力的直接體現(xiàn).但我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思路較為單一，思維定式較為明顯.

案例2已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25，則圓C上的任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為_(kāi)_____.

圖1

剖析：在探究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真研讀題目，而是選擇了煩瑣的做法.如求出與直線l：4x+3y=25平行且與l距離為2的直線l′，接著求該直線與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，然后求劣弧的長(zhǎng)度與圓C周長(zhǎng)的比值.這一做法費(fèi)時(shí)費(fèi)力不說(shuō)，更主要的是計(jì)算量非常大.

其實(shí)作OE⊥l交直線l′于D，易求得OD=3，而從而易得，由此本題即可實(shí)現(xiàn)“秒”殺！

二、通過(guò)教學(xué)實(shí)踐不斷提高

1.注重基礎(chǔ)，關(guān)注常規(guī)

在高三學(xué)生的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生和老師有可能把更多的目光放在壓軸題上，甚至把是否能夠順利解答壓軸題當(dāng)作評(píng)判學(xué)生的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn).但從高考試卷的總體結(jié)構(gòu)上看，這顯然是不合適的.因?yàn)樵谌魏我环菰嚲碇校浠A(chǔ)題和中等題通常占80%的分值，這部分題目解答的質(zhì)量將直接關(guān)系到考生的最后得分.因此，不管你的數(shù)學(xué)水平如何高超，如果不能很好地解答這些常規(guī)題，并以較高的分值（甚至是零錯(cuò)誤）拿下它，則注定這將是一場(chǎng)失敗的考試.因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生多關(guān)注自己在常規(guī)題型上的得分，在解答常規(guī)題型方面，提倡掌握通性通法，淡化技巧.對(duì)于在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要認(rèn)真查找錯(cuò)因，并舉一反三，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.

2.設(shè)計(jì)方案，提高效率

我們總是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，統(tǒng)觀全局，注意關(guān)注前后小題之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)合理的解題方案，在解題方法上下功夫，力求做到不走彎路，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

案例3已知函

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在［0，+∞）上的最小值；

教學(xué)過(guò)程：

第一步，先讓學(xué)生自主探究，經(jīng)過(guò)短暫思考，很快就設(shè)計(jì)出如下的解題方案：

第（Ⅰ）題詳解，第（Ⅱ）題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-，證明該函數(shù)的最小值大于0即可.

這種設(shè)計(jì)符合常理，但第（Ⅱ）題在實(shí)際操作時(shí)，還是有好多學(xué)生不能順利解決，其原因是該函數(shù)的最小值無(wú)法具體求出，因此思維受阻.

第二步，首先幫助學(xué)生分析思維受阻的原因，再給出答案.

所以x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；x∈（x0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）＞0，即

第三步，對(duì)第（Ⅱ）小題再進(jìn)行探究，啟發(fā)學(xué)生充分利用第（Ⅰ）小題的結(jié)論，設(shè)計(jì)出新的解題方案如下：先證明當(dāng)x＞0時(shí).由（Ⅰ）知當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0；再證明（構(gòu)造函數(shù)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即x＞0時(shí)，ex＞

由h′（x）＞0可得x＞1；由h′（x）＜0可得0＜x＜1，

所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）≥h（1）=0.

所以當(dāng)x＞0時(shí)

通過(guò)比較第（Ⅱ）小題前后兩種解題方案，顯然后一種方案簡(jiǎn)單.這種解法能充分利用第（Ⅰ）小題的結(jié)論，巧妙地借助不等式的傳遞性原理進(jìn)行過(guò)渡，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使證明過(guò)程變得簡(jiǎn)單明了，有效地提高了學(xué)生的解題能力.實(shí)踐證明，注重設(shè)計(jì)的解題教學(xué)，很受學(xué)生歡迎，也能夠取得較好的教學(xué)效果.

總之，做為高三學(xué)生，只要我們敢于直面自己在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面存在的問(wèn)題，善于采取有效的措施，那么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的不懈努力，筆者堅(jiān)信：我們一定會(huì)牢牢掌握高三數(shù)學(xué)得分的金鑰匙，而且一定會(huì)發(fā)揮得淋漓盡致！