☉廣東省佛山市第一中學(xué) 陳超倫

問題串是指在特定的學(xué)習(xí)范圍或教學(xué)情境中，圍繞既定的目標(biāo)或既定的中心問題，按照一定的邏輯體系結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計的一系列問題，以滿足學(xué)生不同層次的學(xué)習(xí)需求或達到體系化教學(xué)的目的的一種教學(xué)策略.下面借助一道涉及等差數(shù)列的解三角形問題中的求值問題，從常規(guī)方法與特殊方法兩方面入手來進行問題串的設(shè)計，從而進行解題思維的全方位展開，以及破解方法的有序進行.

一、問題呈現(xiàn)

典例在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a，b，c成等差數(shù)列，則

本題題目比較簡單，只有一個已知條件“a，b，c成等差數(shù)列”，而根據(jù)此條件來求解在三角形背景下對應(yīng)的三角關(guān)系式的值，其切入點比較明顯，容易入手，但運算較為煩瑣.而如何巧妙轉(zhuǎn)化，采取更為簡單快捷的方法來破解，從而有效簡化運算，提升效益，這才是解決問題的關(guān)鍵所在.

二、常規(guī)方法的問題串設(shè)計

問題1：如何采用常規(guī)方法來破解本題？

問題2：正確破解此題為什么常用余弦定理來轉(zhuǎn)化？

分析：根據(jù)題目條件中的“a，b，c成等差數(shù)列”，建立三邊之間的關(guān)系式：2b=a+c，借助所求解代數(shù)式中含有相應(yīng)角的余弦值，首先想到的就是利用余弦定理，把對應(yīng)的余弦值轉(zhuǎn)化為對應(yīng)邊的關(guān)系式，再加以合理的變換與化簡，進而達到求值的目的.

問題3：如何根據(jù)條件“a，b，c成等差數(shù)列”的轉(zhuǎn)化，以及余弦定理的轉(zhuǎn)化來破解本題？

解法1：由于a，b，c成等差數(shù)列，則有2b=a+c.

問題4：如何根據(jù)條件“a，b，c成等差數(shù)列”加以合理設(shè)參“a=b-k，c=b+k”，然后通過余弦定理的轉(zhuǎn)化來破解本題？

解法2：由于a，b，c成等差數(shù)列，設(shè)a=b-k，c=b+k，結(jié)合余弦定理，可得

點評：利用余弦定理來破解本題是最常見的思維方式.結(jié)合已有的經(jīng)驗，在解三角形問題中若涉及對應(yīng)角的余弦值，往往可以采用余弦定理，把余弦值轉(zhuǎn)化為相應(yīng)邊的關(guān)系式，再結(jié)合題目條件，對涉及邊的關(guān)系式進行合理的化簡即可達到目的.只是本題在采用余弦定理化角為邊的過程中，運算量比較大，浪費比較多的時間，而且運算過程極易出錯.

三、特殊方法的問題串設(shè)計

問題5：如何采用特殊方法來破解本題？

問題6：既然采用余弦定理來轉(zhuǎn)化求值運算量大，且過程繁雜，而對應(yīng)三角關(guān)系式的值又是一個具體的數(shù)值.那么根據(jù)題目條件，有沒有其他更為簡便的方法可以用來快速破解呢？

問題7：怎樣的已知條件才會導(dǎo)致破解此題能夠取特殊值法？

分析：根據(jù)題目條件中的“a，b，c成等差數(shù)列”，同時所要求解的對應(yīng)三角關(guān)系式的值又是一個確定的數(shù)值，這種情況下往往可以考慮用特殊值法，利用特殊值法來求解特殊情況下對應(yīng)三角關(guān)系式的值.而根據(jù)特殊與一般思想，其所求解的特殊情況下的值也具有一般性，從而得以快速破解.

問題8：對于題目條件“a，b，c成等差數(shù)列”，以及在三角形這一前提條件下可以選取怎樣的特殊值來加以破解？

分析：其實，結(jié)合條件“a，b，c成等差數(shù)列”，只要選取的a，b，c成等差數(shù)列，又要滿足在三角形背景下這一前提條件，即對應(yīng)的三邊長要滿足三角形的性質(zhì)：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即可.可以選擇一般的特殊值，還可以選擇更為特殊的特殊值.

問題9：如何根據(jù)條件“a，b，c成等差數(shù)列”，以及在三角形這一前提條件下取一組特殊值“a=4，b=5，c=6”（或其他滿足條件的特殊值），結(jié)合余弦定理的快速轉(zhuǎn)化來破解本題？

解法1：由于a，b，c成等差數(shù)列，所以可取特殊值a=4，b=5，c=6.（或其他滿足條件的特殊值）

問題10：如何根據(jù)條件“a，b，c成等差數(shù)列”，以及在三角形這一前提條件下取一組更為特殊的特殊值“a=3，b=4，c=5”（此時為直角三角形），結(jié)合三角函數(shù)的定義來快速轉(zhuǎn)化并破解本題？

解法2：由于a，b，c成等差數(shù)列，所以可取特殊值a=3，b=4，c=5.

此時△ABC是以C為直角的直角三角形，結(jié)合三角函數(shù)的定義可得

問題11：如何根據(jù)條件“a，b，c成等差數(shù)列”，以及在三角形這一前提條件下取一組更為特殊的特殊值“a=b=，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值的快速轉(zhuǎn)化來破解本題？

解法3：由于a，b，c成等差數(shù)列，所以可取特殊值a=b=c.

此時△ABC是等邊三角形，即，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得

問題12：正確解決此題時三角形的三邊a，b，c取怎樣的值時，可以最為簡單快捷地破解？

點評：利用特殊值法來求解此類對應(yīng)三角關(guān)系式的求值問題，是破解此類問題時經(jīng)?？紤]的一類技巧方法.采用特殊值破解時，要求所求解的相關(guān)關(guān)系式必須是常數(shù)，否則特殊值不代表一般，容易導(dǎo)致錯誤.而在特殊值的選取及構(gòu)造直角三角形或等邊三角形時，運算量更小，解答過程更為簡單且易操作，效益明顯.

四、結(jié)束語

其實，在實際數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中，教師若能圍繞實際的教學(xué)內(nèi)容，以及學(xué)生的認(rèn)知水平、能力層次來有效且精心地設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}串，形成問題間的有效串連，搭起整個課堂的思維框架，進而構(gòu)建起生動活潑的生成性課堂，有效地激發(fā)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展其思維品質(zhì)，發(fā)展各方面能力等都大有裨益.