☉山東省菏澤市第三中學(xué) 袁瑞泉

三角形中相關(guān)的最值問題一直是解三角形問題中的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，充分融合了解三角形、三角函數(shù)、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，是新課標(biāo)大綱中充分體現(xiàn)在“知識(shí)點(diǎn)交匯處”命題的一大主陣地.此類問題難度一般比較大，但破解的思維方式多樣，切入點(diǎn)靈活，一直是歷年高考、自主招生、各類競(jìng)賽命題中的基本考點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.

一、問題呈現(xiàn)

問題（山東省煙臺(tái)市2019屆高三二模數(shù)學(xué)試卷·14）在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的最大值為______.

本題以△ABC為問題背景，條件非常簡(jiǎn)單，只給出三角形的內(nèi)角所滿足的一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式sinC=2cosAcosB，進(jìn)而要確定相應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式cos2A+cos2B的最大值.如何通過條件切入并利用不同的思維方式來處理是破解本題的關(guān)鍵所在.

二、多解思維

結(jié)合條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，借助三角函數(shù)中的相關(guān)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形，通過轉(zhuǎn)化得到tanA+tanB=2，再把所要求解的三角函數(shù)關(guān)系式也轉(zhuǎn)化為含有tanA與tanB的關(guān)系式，借助函數(shù)法來求解相應(yīng)的最大值即可.

分析1：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又由于sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB，兩邊同時(shí)除以cosAcosB，整理可得tanA+tanB=2.

解法1：借助換元思維，令6-2tanAtanB=t（t＞0），結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的變換，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，再借助基本不等式的應(yīng)用來確定相應(yīng)的最大值問題即可.

由于分母tan2Atan2B-2tanAtanB+5＞0，

則令6-2tanAtanB=t（t＞0），

解法2：借助換元思維，令t=tanAtanB，利用基本不等式確定參數(shù)t的取值范圍，再把相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程Ht2-2（H-1）t+5H-6=0（其中H=cos2A+cos2B），結(jié)合方程有根的條件，利用判別式法來確定相應(yīng)的最大值問題即可.

設(shè)t=tanAtanB，則有可知t∈（0，1］，由，可得Ht2-2（H-1）t+5H-6=0，則由判別式Δ=4（H-1）2-4H（5H-6）≥0，解得.又由于t2-2t+5-（6-2t）=t2-1≤0，可得t2-2t+5≤6-2t，即H≥1，所以，即cos2A+cos2B的最大值為，故填答案

結(jié)合條件中的三角函數(shù)關(guān)系式及所要求解的三角函數(shù)關(guān)系式，借助三角函數(shù)中的相關(guān)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形，通過轉(zhuǎn)化得到對(duì)應(yīng)的正弦型函數(shù)，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值即可.

分析2：先由題意得△ABC中的恒等式cos2A+cos2B+，化簡(jiǎn)得再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值即可.

解法3：在△ABC中，由題意可得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1成立.

分析3：通過條件中的關(guān)系式sinC=2cosAcosB，利用兩角和與差的余弦公式、誘導(dǎo)公式加以轉(zhuǎn)化得到sinC+cosC=cos（A-B），進(jìn)而結(jié)合所要求解的三角函數(shù)關(guān)系式的三角恒等變換，利用二倍角公式、和差化積公式及輔助角公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到對(duì)應(yīng)的正弦型函數(shù)，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值即可.

解法4：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又sinC=2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）=-cosC+cos（AB），則有sinC+cosC=cos（A-B）.

三、變式探究

探究1：保留原問題的條件，改變求解三角函數(shù)關(guān)系中最值的名稱，從而得以變式.與原題難度相當(dāng)，知識(shí)點(diǎn)一致，只是改變了一個(gè)角度：

變式1：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的最小值為______.

解析：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又sinC=2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）=-cosC+cos（AB），則有sinC+cosC=cos（A-B）.

由于A，B均為銳角，則知，可得sinC+cosC=cos（A-B）∈（0，1］.

而sin2C=2sinCcosC=（sinC+cosC）2-1=cos2（A-B）-1≤0，則知π≤2C＜2π，

探究2：保留原問題的條件，改變求解三角函數(shù)關(guān)系中最值為相應(yīng)的取值范圍問題，從而得以變式.此變式是在原題的基礎(chǔ)上加以更深入的拓展，難度變大了一點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)一致，要求則更全面、更深入.

變式2：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的取值范圍為______.

解析：結(jié)合以上問題與變式1的解析可知，cos2A+，故填答案

探究3：保留原問題的條件，改變求解三角函數(shù)關(guān)系中的三角函數(shù)名稱，同時(shí)變最值為相應(yīng)的取值范圍問題，從而得以變式.此變式是在原題的基礎(chǔ)上加以更深入的拓展，角度也相應(yīng)的發(fā)生了變化，難度變大了一點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)一致，拓展性更大.

變式3：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則sin2A+sin2B的取值范圍為______.

解析：結(jié)合以上變式1的結(jié)論可知，sin2A+sin2B∈故填答案

四、規(guī)律總結(jié)

其實(shí)，在求解三角形中相關(guān)的三角函數(shù)關(guān)系式的最值或取值范圍問題時(shí)，關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)三角形中的邊、角等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律，結(jié)合解三角形中的相關(guān)定理、三角函數(shù)中的相關(guān)公式等加以有效轉(zhuǎn)化，從而充分融合不同的知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)了知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化變形，真正有助于學(xué)生解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升，全面拓展思維，提升應(yīng)用能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).