楊陽(yáng) 倪敏 魏瑩 郭強(qiáng)友 杜曉賀

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

動(dòng)量定理是高中物理一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中必不可少的內(nèi)容.本文對(duì)恒力作用下動(dòng)量定理的DIS實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，得出影響實(shí)驗(yàn)誤差大小的4個(gè)因素，并對(duì)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)以減小這4個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)造成的誤差.定量計(jì)算導(dǎo)軌滾動(dòng)摩擦系數(shù)后，采用引入滾動(dòng)摩擦系數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正的改進(jìn)方法，不僅可以提高實(shí)驗(yàn)精度，也可簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)步驟.對(duì)于實(shí)驗(yàn)拓展的內(nèi)容，利用落體法的原理，設(shè)計(jì)出一種在豎直方向上驗(yàn)證恒力作用下動(dòng)量定理的DIS實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，討論該方法的可行性，發(fā)現(xiàn)將其應(yīng)用在教學(xué)中可向?qū)W生直觀完整地展現(xiàn)動(dòng)量定理的內(nèi)容.

1 基本原理及誤差分析

1.1 基本原理

動(dòng)量定理的內(nèi)容是：物體所受合力的沖量等于物體動(dòng)量的變化，即Ft=m(v′-v).實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示.

圖1 實(shí)驗(yàn)原理圖

利用質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車的重物拉動(dòng)小車在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)拉力可以看作是小車所受到的恒力，使用光電門(mén)測(cè)速后自動(dòng)計(jì)算小車經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的時(shí)間，由此得到小車所受合力的沖量；由小車本身質(zhì)量、光電門(mén)所記錄的小車兩次擋光時(shí)間和擋光片寬度，即可得到小車的動(dòng)量變化.

1.2 誤差分析

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)原理，動(dòng)量定理公式可寫(xiě)為

mv2-mv1=I+fT12+I′

(1)

式(1)中，m是小車的質(zhì)量，v1和v2分別是小車通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)時(shí)的瞬時(shí)速度，I是恒力在一段時(shí)間內(nèi)給小車的沖量，f是小車受到的滾動(dòng)摩擦力，T12是小車經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)所需的時(shí)間，I′是系統(tǒng)誤差沖量[1].實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差為

(2)

式(2)中I為小車所受沖量的大小，Δp為小車的動(dòng)量變化量.可根據(jù)公式(1)將式(2)改寫(xiě)為

(3)

根據(jù)上式，若要減小實(shí)驗(yàn)誤差，就要將誤差公式中的兩項(xiàng)分別減小.對(duì)于式(3)中的第一項(xiàng)，可以將摩擦力減到最小或者消除摩擦力的影響，使得這一項(xiàng)的大小近似為零.第二項(xiàng)中可以通過(guò)增大小沙桶m1的質(zhì)量，增大小車m的質(zhì)量，增大小車通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的速度差，增大小車通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的時(shí)間來(lái)增大分母，使這一項(xiàng)的大小近似為零[2].另外，還需固定導(dǎo)軌，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以此來(lái)減小誤差.

綜上分析可得減小實(shí)驗(yàn)誤差的方法為：(1)固定導(dǎo)軌；(2)增大小車的質(zhì)量；(3)增大光電門(mén)之間的距離；(4)使小車在實(shí)驗(yàn)前進(jìn)行受力平衡，消除摩擦力的影響.

2 改進(jìn)方案

2.1 影響實(shí)驗(yàn)誤差大小4個(gè)因素的改進(jìn)方法及結(jié)果分析

將寬度為0.02 m的“I”型擋光片固定于載有配重片的小車上，同時(shí)將兩個(gè)光電門(mén)固定于力學(xué)導(dǎo)軌上并接入數(shù)據(jù)采集器，打開(kāi)DISLab“通用軟件”，添加計(jì)算表格記錄拉力、動(dòng)量變化、沖量等，首先將導(dǎo)軌的一側(cè)微微墊高，以保證小車在水平方向上所受到的合外力為恒力，隨后改變小車配重片個(gè)數(shù)或拉力大小，進(jìn)行動(dòng)量定理的驗(yàn)證[3].

2.1.1 固定導(dǎo)軌

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，分別在力學(xué)導(dǎo)軌固定前后進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)，小車質(zhì)量

m=0.323 8 kg

觀察實(shí)驗(yàn)誤差的變化情況.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1 固定導(dǎo)軌前后，改變拉力F

從表1數(shù)據(jù)可看出，導(dǎo)軌的固定度會(huì)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成不確定誤差，用固定的導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)后計(jì)算的誤差相對(duì)較小且穩(wěn)定.

2.1.2 增大小車質(zhì)量

在固定導(dǎo)軌的基礎(chǔ)上，逐漸增加小車質(zhì)量[4]，采用同樣的實(shí)驗(yàn)方法，記錄當(dāng)小車質(zhì)量逐漸增加時(shí)的“沖量”與“動(dòng)量變化”及其相對(duì)誤差，拉力m1=0.019 2 kg,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表2 增大小車質(zhì)量

由表2數(shù)據(jù)分析可得，在拉力不變的情況下，當(dāng)小車質(zhì)量增大時(shí)，實(shí)驗(yàn)誤差逐漸減小.

可見(jiàn)小車質(zhì)量大小對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是比較顯著的，并且小車的質(zhì)量越大于小沙桶的質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)誤差越小.因此，增大小車的質(zhì)量有利于減小實(shí)驗(yàn)誤差.

2.1.3 改變兩光電門(mén)的間距

在減小了前兩種誤差因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響后，通過(guò)改變兩個(gè)光電門(mén)之間的距離，進(jìn)而改變小車通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的速度差及經(jīng)過(guò)時(shí)間，采用同樣的實(shí)驗(yàn)方法，記錄當(dāng)兩光電門(mén)間距改變時(shí)的“沖量”與“動(dòng)量變化”及其相對(duì)誤差，小車質(zhì)量

m=0.421 6 kg

拉力

m1=0.019 2 kg

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示.

表3 兩個(gè)光電門(mén)相距的長(zhǎng)度

其中L是兩光電門(mén)之間的距離，從數(shù)據(jù)上可以看出,在本次實(shí)驗(yàn)使用的力學(xué)導(dǎo)軌上，0.1～0.3 m是誤差近似較小的范圍，距離再增大后誤差又會(huì)再次增大.雖然對(duì)于不同導(dǎo)軌而言，兩光電門(mén)之間的最佳距離是不一樣的，但根據(jù)誤差分析可知，兩光電門(mén)的間距仍然不能太小.若要使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為精確，可合理增大光電門(mén)之間的距離.

2.1.4 平衡摩擦力

在減小了前3種誤差因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響后，進(jìn)一步平衡摩擦來(lái)減小實(shí)驗(yàn)誤差[5]，調(diào)節(jié)軌道的傾斜程度，推動(dòng)小車使其經(jīng)過(guò)兩光電門(mén)的時(shí)間近似相等，這時(shí)小車的受力近似視為平衡，在這種狀態(tài)下按照動(dòng)量定理DIS實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察誤差的變化情況并且分析小車在受力平衡時(shí)對(duì)于實(shí)驗(yàn)誤差的影響，兩光電門(mén)距離

L=0.25 m

小車的質(zhì)量

m=0.421 6 kg

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示.

表4 小車受力平衡(最佳方案選擇)

由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知.當(dāng)小車平衡摩擦力后，計(jì)算得出的誤差比較之前實(shí)驗(yàn)結(jié)果要小，所以,摩擦力對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是非常大的.平衡摩擦力后，實(shí)驗(yàn)誤差都趨向于穩(wěn)定并且誤差的數(shù)值也非常小.

本次的實(shí)驗(yàn)是實(shí)驗(yàn)的最佳方案.在本次實(shí)驗(yàn)中，兩光電門(mén)間的最佳距離在25 cm處，小車的質(zhì)量為0.421 6 kg，遠(yuǎn)大于拉力大小，并且在平衡摩擦力后固定了力學(xué)導(dǎo)軌的位置.在此4個(gè)條件同時(shí)滿足的情況下，恒力作用下動(dòng)量定理DIS實(shí)驗(yàn)的誤差將會(huì)減小并趨于穩(wěn)定.

2.2 引入滾動(dòng)摩擦系數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)修正

2.2.1 修正方法

小車在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)可以看成無(wú)滑滾動(dòng)，因此可采用引入滾動(dòng)摩擦系數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正的方法來(lái)減小實(shí)驗(yàn)誤差.

首先,利用水準(zhǔn)儀將軌道調(diào)整至水平狀態(tài)，如圖2所示.保證小車在水平方向上所受到的外力只有摩擦力.然后,使小車在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，分別測(cè)出小車在水平方向上只受到摩擦力作用時(shí)通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的瞬時(shí)速度大小后，利用公式

v2=v1+at

圖2 軌道調(diào)平

最后，將得到的平均滾動(dòng)摩擦系數(shù)帶入在水平導(dǎo)軌上測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，便可以達(dá)到修正誤差的效果.

2.2.2 定量修正導(dǎo)軌滾動(dòng)摩擦力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)原理，測(cè)得力學(xué)軌道滾動(dòng)摩擦系數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表5所示.

表5 力學(xué)導(dǎo)軌滾動(dòng)摩擦系數(shù)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出本實(shí)驗(yàn)導(dǎo)軌的平均滾動(dòng)摩擦系數(shù)為0.010 8(此時(shí)兩光電門(mén)相距0.25 m).

實(shí)驗(yàn)中，小車受到的合外力大小

F=m1g-f

將表5所測(cè)得的平均滾動(dòng)摩擦系數(shù)代入在水平導(dǎo)軌上測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，對(duì)小車在實(shí)驗(yàn)中所受合外力作用的沖量進(jìn)行修正.修正結(jié)果如表6所示,小車的質(zhì)量m=0.422 1 kg.

修正后，實(shí)驗(yàn)誤差處于0.2%～4.2%之間.在誤差允許的范圍內(nèi)，可以視小車在恒力作用下的一段時(shí)間內(nèi)的沖量近似等于小車在這段時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化量.這樣的定量計(jì)算可使實(shí)驗(yàn)操作更加簡(jiǎn)單有效，使實(shí)驗(yàn)精度明顯提高.同時(shí)，讓學(xué)生運(yùn)用已有的物理知識(shí)來(lái)解決實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，鍛煉其科學(xué)思維與科學(xué)探究能力，并能有效地培養(yǎng)其物理核心素養(yǎng).

因此,采用引入滾動(dòng)摩擦系數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正的方法來(lái)減小實(shí)驗(yàn)誤差是有效可行的.

表6 滾動(dòng)摩擦系數(shù)修正

3 拓展實(shí)驗(yàn)——落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理

3.1 拓展實(shí)驗(yàn)原理

在恒力作用下動(dòng)量定理的DIS實(shí)驗(yàn)是在力學(xué)導(dǎo)軌上進(jìn)行的水平方向上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.小沙桶的質(zhì)量需要遠(yuǎn)小于小車的質(zhì)量才能看作小車所受到的是恒力.在實(shí)驗(yàn)中，由于小沙桶的晃動(dòng)或者其質(zhì)量沒(méi)有遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量，這些因素都會(huì)給實(shí)驗(yàn)帶來(lái)誤差.

當(dāng)物體在做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其受到自身的重力與空氣阻力的影響.所受到空氣阻力的大小和物體本身與空氣的接觸面積有關(guān).若物體在下落過(guò)程中與空氣的接觸面積足夠小，可以近似地將物體所受到的恒力視為物體自身的重力.

在實(shí)驗(yàn)操作中，可在塑料直尺上加一塊擋光片充當(dāng)自由下落的物體，實(shí)驗(yàn)原理如圖3所示.

圖3 落體法實(shí)驗(yàn)原理

首先，將擋光片與直尺緊緊粘貼在一起；其次，直尺在下落過(guò)程中與空氣的接觸面積非常小，由此可忽略阻力的影響；最后，塑料直尺豎直下落時(shí)擋光片經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)，可計(jì)算其經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)時(shí)的瞬時(shí)速度.

落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理DIS實(shí)驗(yàn)中，直尺所受到的恒力就是直尺本身的重力.由測(cè)得的通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)的時(shí)間T12，可計(jì)算出重力在這段時(shí)間內(nèi)作用在直尺上的沖量大小；利用直尺分別經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)時(shí)的瞬時(shí)速度，得到直尺動(dòng)量變化量.

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

根據(jù)上文中落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理的實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行操作，擋光片與塑料直尺的質(zhì)量m=0.163 8 kg,得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表7所示.

表7 落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理

通過(guò)分析表7可得，實(shí)驗(yàn)誤差范圍在1.9%～3.9%.在誤差允許的范圍內(nèi)，可以近似認(rèn)為直尺在下落過(guò)程中重力在一段時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的沖量大小等于直尺在這段時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化量.

直尺受恒力作用過(guò)程中，有

mv2-mv1=I+fT12

(4)

式(4)中，m是直尺的質(zhì)量，v1和v2分別是直尺通過(guò)兩個(gè)光電門(mén)時(shí)的瞬時(shí)速度，I是直尺所受的重力在一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的沖量，f是直尺所受到的空氣阻力，T12是擋光片經(jīng)過(guò)兩個(gè)光電門(mén)所需的時(shí)間.由式(4)可得，落體法進(jìn)行動(dòng)量定理DIS實(shí)驗(yàn)在誤差上比利用力學(xué)導(dǎo)軌進(jìn)行實(shí)驗(yàn)少一項(xiàng)系統(tǒng)沖量I′，并且空氣阻力帶來(lái)的影響也微乎其微.

雖然在本次實(shí)驗(yàn)中所得到的誤差較小且穩(wěn)定，但直尺受到的空氣阻力所帶來(lái)的誤差影響是存在的，并且無(wú)法通過(guò)計(jì)算得出阻力的大小，故無(wú)法修正本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).在實(shí)驗(yàn)中，直尺是否豎直下落對(duì)實(shí)驗(yàn)影響是不可忽略的，若下落時(shí)直尺并非豎直狀態(tài)，擋光片的擋光距離則會(huì)發(fā)生改變，從而再次引入不可測(cè)量的實(shí)驗(yàn)誤差.因此，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)認(rèn)真調(diào)節(jié)帶有擋光片的直尺，保證其下落過(guò)程一直保持豎直狀態(tài).

4 總結(jié)

通過(guò)理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)平衡摩擦力，固定力學(xué)導(dǎo)軌，合理增大兩光電門(mén)間距，增大小車的質(zhì)量.當(dāng)這4個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，可以有效減小實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差.雖然在操作步驟上需要一定的時(shí)間，但是在減小誤差的表現(xiàn)上卻是非常完美的.

在平衡摩擦力方面，定量計(jì)算滾動(dòng)摩擦系數(shù)的方法操作簡(jiǎn)單，只需將實(shí)驗(yàn)導(dǎo)軌利用水準(zhǔn)儀調(diào)至水平后進(jìn)行計(jì)算.這可以讓學(xué)生逃離出繁瑣的實(shí)驗(yàn)步驟，專注于實(shí)驗(yàn)本身所要驗(yàn)證的定理中，運(yùn)用已有物理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，做到活學(xué)活用，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解.

落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理實(shí)驗(yàn)相對(duì)于力學(xué)導(dǎo)軌驗(yàn)證動(dòng)量定理實(shí)驗(yàn)有著兩大優(yōu)勢(shì)：

(1)實(shí)驗(yàn)器材與實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)單明了，只需保證下落時(shí)直尺的豎直即可；

(2)實(shí)驗(yàn)誤差穩(wěn)定，實(shí)驗(yàn)原理符合動(dòng)量定理.由于阻力大小的不可測(cè)，使得該實(shí)驗(yàn)的誤差無(wú)法進(jìn)行減小或是修正.所以,落體法必定會(huì)存在一定的誤差.落體法驗(yàn)證動(dòng)量定理實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)化了步驟與器材，向?qū)W生直觀地展現(xiàn)出了動(dòng)量定理的內(nèi)容，讓學(xué)生更加完整、簡(jiǎn)單地了解并認(rèn)識(shí)動(dòng)量定理.