李澤朋 周青軍 魏通 杜明潤

(中國民航大學理學院 天津 300300)

大學物理的授課過程中，平面簡諧波波函數(shù)的理解和掌握是重要的知識點，是學生們學習過程中容易出錯的知識疑點，該知識的理解對后續(xù)波的疊加、駐波以及波的干涉等知識學習至關重要，這要求學生更方便和高效地掌握平面簡諧波波函數(shù)的求解方法[1～3].

平面簡諧波的波源振動為簡諧振動，該振動在均勻各向同性介質(zhì)中沿單一方向傳播，傳播方向上各處介質(zhì)重復波源振動形式，僅相位與波源不同.在講授求解平面簡諧波波函數(shù)時，一般給定振源的振動方程；或在已知傳播方向上，給定某一參考點(如坐標原點)的振動方程，利用任意點與參考點間相位超前或落后，求得任意一點的振動函數(shù)，即平面簡諧波波函數(shù)[3～6].但比較任意點與參考點間相位超前或落后問題對部分學生稍顯抽象，不易深刻理解.為方便理解平面簡諧波波函數(shù)求解過程中相位超前或落后問題，本文提出將相位演變行為與 “河流上下游(相位河)”形象地對應起來，可以方便理解相位的超前或落后行為，同時弱化傳播方向在波函數(shù)求解過程中的影響，可方便快捷地理解和求得平面簡諧波波函數(shù)表達式.

1 “相位河上下游”理解法用于平面簡諧波波函數(shù)求解過程的相位演變

波傳播方向上質(zhì)點相位各不相同，相位反應了各點振動與波源(或已知參考點)相比振動的超前或落后關系.假定平面簡諧波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播，且傳播過程中沒有能量損失(傳播介質(zhì)不變)，只需求解得到任意點與參考點間的相位差即可求解得到任意點平面簡諧波波函數(shù).因此，為便于理解平面簡諧波傳播過程的相位演變問題，將波沿傳播方向的相位演變形象地看做“相位河”的流動.特別強調(diào)的是，“相位河”的流動是平面簡諧波在傳播方向上相位演變的形象化對應，并不意味著波傳播過程中參與振動的各處質(zhì)點元沿傳播方向“流動”.利用“相位河”形象理解法，在求解平面簡諧波波函數(shù)過程中，可以根據(jù)“相位河”上下游間的形象差別關系，方便地求出任意點與參考點間的振動早晚或相位差別，進而方便地寫出待求任意點平面簡諧波波函數(shù).

圖1 平面簡諧波傳播示意圖

一平面簡諧波(橫波)在各向同性均勻介質(zhì)中沿x軸傳播(圖1)，已知坐標原點O的振動方程為

y=Acos(ωt+φ)

(1)

按照前述提到的“相位河上下游”形象化理解方式，(a)向右傳播時任意點P與參考點(已知點)O相比，在“相位河”中位于已知點O的“ 下游”，P點振動晚于參考點O，則在參考點O的振動方程式(1)相位部分減去落后的相位差

(2)

(|Δx|為參考點傳播到P點的距離)，即得到P點振動方程

(3)

(b)當波向左傳播時，任意點P與參考點(已知點)O比較，在“相位河”中位于已知點O的“上游”，P點振動早于參考點O，需在參考點O的振動方程式(1)相位部分加上超前的相位差式(2)，可得到任意點P點振動方程

(4)

式(3)和式(4)即為任意點P(右傳/左傳)波函數(shù).

上述示意題目模型較為理想，因此“相位河上下游”形象化理解并求解波函數(shù)過程，表面看來沒有方便許多，但后續(xù)例題將會展示該方法在求解波函數(shù)中的快捷作用.該方法不僅可以形象化理解相位超前/落后關系，同時該形象化方法還可以降低波函數(shù)求解過程中波傳播方向的分類要求(例2有涉及)，因此屬于簡單、實用、形象化方法.在平面簡諧波波函數(shù)的學習過程中，涉及的題目類型多樣，可在不同情形下使用該方法.

2 例證

【例1】一平面簡諧波以速度u=20 m/s沿x軸正向直線傳播,如圖2所示，波長為10 m，已知A點簡諧運動方程為

yA=3×10-2cos(4πt)

(5)

y,t單位分別為m,s. 若以B為坐標原點，表達出該波的波函數(shù).

圖2 平面簡諧波傳播示意圖

分析解答：按照參考書常見的求解過程，波向右傳播，A點與B(坐標原點)點相比相位落后，計算B點相位超前A點

(6)

得到B點的振動方程為

y=3×10-2cos(4πt+π)

(7)

此方程即為參考點(原點)的振動方程. 依據(jù)該波沿x軸正向傳播，將任意點P坐標帶入相應標準方程

(8)

便得到任意點的振動方程即為該平面簡諧波波函數(shù).

上述求解過程的思路為先求出原點(參考點)B的振動方程，結(jié)合波傳播方向，將任意點坐標x帶入標準方程，即得到波函數(shù)方程.

若采用前述介紹的“相位河上下游”理解法，經(jīng)判斷，任意點P位于“相位河”中已知點A的“下游”，P點振動與已知點A相位差為

(9)

依據(jù)“下游點”減去相位差，將已知A點振動方程式(5)相位部分減去式(9)，即可得到任意點P的振動方程

(10)

(11)

即為任意點波函數(shù).利用該方法求解過程較為簡單.

“相位河上下游”理解法在求解含反射情形下反射波函數(shù)時，更為方便.

【例2】如圖3所示，一列波以波速u沿x軸正向傳播，已知原點O振動方程為

y=Acos(ωt+φ)

(12)

距離原點L處有一墻面(反射面M)，求反射波在P點的波函數(shù)(墻面反射時，無能量損失，但存在半波損失).

圖3 平面簡諧波入射和反射傳播示意圖

分析解答：按照參考書的常見求解流程，考慮入射波向右傳播，根據(jù)原點O的振動方程式(12)，入射波傳播方向上任意點P的振動方程為

(13)

該波繼續(xù)向右傳播到M點，將M點坐標代入，得到入射波M點的振動方程為

(14)

波在M點反射后由于存在半波損失，因此反射波M點的振動方程為

(15)

之后該波向左傳播.

(16)

化簡得到其振動波函數(shù)為

(17)

考慮到P點的任意性，式(17)即為反射波的波函數(shù).

若按本文提出的“相位河上下游”理解法：不論傳播方向向左或是向右，反射波中P點的相位與已知點(參考點)O相比位于“相位河下游”，因此與參考點O的振動相比，其相位落后；按照總共傳播距離(“相位河”相位演變)來計算(下游方向)相位落后.從O點傳播到M點，再反射至P點，共計傳播距離為(2L-x), 考慮到中間反射一次，因此具有附加相位差π，反射波到達P點后，P點最終的振動函數(shù)為

(18)

式(18)即為P點的反射波函數(shù).

因此，采用該理解方式求解此類習題時，過程較為簡單便捷，且因反射引起的傳播方向改變時也可以簡單處理.

3 結(jié)束語

“相位河上下游”法是筆者教學實踐中提出的一種處理簡諧波問題的教學方法，它可以形象化理解波傳播中的相位超前和落后關系，且在等效求解過程中對波傳播方向分類要求低，求解過程中可忽略不同波傳播方向的區(qū)別或傳播方向的改變.在面對復雜問題(如反射波)時，弱化了波傳播方向在求解波函數(shù)過程中的影響，將傳播方向這一影響因素與相位的超前與落后歸結(jié)在一起，可將理解平面簡諧波波函數(shù)的求解過程變得形象化和簡單化.