劉宸

摘 要：一直以來，尺規(guī)作圖都是教學(xué)的難點，一方面是內(nèi)容過于抽象，對學(xué)生的推理能力和逆向思維能力要求較高，另一方面，部分教材對尺規(guī)作圖的編排順序存在缺陷，不能很好地貼合學(xué)生學(xué)情[1].作為一線教師，應(yīng)當(dāng)深刻領(lǐng)會教材的編寫意圖，對教學(xué)內(nèi)容有所加工，合理地使用教材.筆者以"畫一個角等于已知角"的教學(xué)為例，結(jié)合蘇科版數(shù)學(xué)教材的設(shè)計，闡述對這部分內(nèi)容教學(xué)的想法。

關(guān)鍵詞：教材設(shè)計;教學(xué)設(shè)計

一、蘇科版教材設(shè)計與分析

（一）教材設(shè)計。"畫一個角等于已知角"出現(xiàn)在蘇科版教材七年級上冊第六章第二節(jié)的第二課時， 是在理解了角的有關(guān)概念、認識角的表示和常用的度量單位之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容.通過本課時的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會用三角尺、量角器、直尺和圓規(guī)等畫圖工具畫一個角等于已知角，在折紙活動中理解角平分線的概念，并會用"因為...所以..."的方式進行簡單的計算，推理.教材在沒有學(xué)習(xí)三角形全等的條件的情況下安排了這一內(nèi)容，給出了規(guī)范的尺規(guī)作圖的作法書寫，分五步呈現(xiàn)，并讓學(xué)生進行模仿.教師教學(xué)用書給出如下建議：在"用量角器畫一個角等于已知角"的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析圖中點D的位置：點D在量角器的邊緣弧上，并且與點C的距離隨著角的大小的確定而確定.通過觀察、探索、交流活動，引導(dǎo)學(xué)生歸納"用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角"的操作步驟.最后閱讀作圖步驟，畫出相應(yīng)圖形.[2]

（二）優(yōu)勢分析。教學(xué)設(shè)計探究性強.課本在尺規(guī)作圖之前進行了舊知鋪墊，讓學(xué)生回顧用量角器畫一個角等于已知角其實質(zhì)是利用量角器的刻度，確定另外一條射線上的點，學(xué)生容易分析出作一個角等于已知角的關(guān)鍵是確定角的另一邊上除頂點外的任意一點，對學(xué)生作圖思路的形成有好處.擯棄傳統(tǒng)教學(xué)中的灌輸模式，體現(xiàn)《標(biāo)準》提出的"在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理"的要求.

（三）缺陷分析

1.內(nèi)容呈現(xiàn)順序不當(dāng)。"用尺規(guī)畫一個角等于已知角"的原理是構(gòu)造了一對全等三角形（SSS），使其中一個三角形含有已知角，利用全等三角形的對應(yīng)角相等這一性質(zhì)，而教材將這一內(nèi)容置于"探索三角形全等的條件"之前，使得該尺規(guī)作圖缺乏理論支持.學(xué)生知其然卻不知其所以然.

2.教學(xué)容量大。在尺規(guī)作圖之后，緊接著安排了角平分線的概念和求角的計算，并要求學(xué)生用"因為...所以..."的表達方式進行簡單說理.由于學(xué)生初學(xué)幾何，對尺規(guī)作圖和幾何語言的書寫需要適應(yīng)的過程，一課時難以完成諸多教學(xué)目標(biāo).本課時應(yīng)分為兩節(jié)課來上，第一節(jié)課圍繞"作圖"展開，第二節(jié)課圍繞"求角"展開.

二、筆者的教學(xué)設(shè)計

（一）活動一 用一副三角尺可畫哪些特殊角

第一層次：90°，45°，30°，60°這些三角尺自身的角.

第二層次：拼接形成的角度.將三角尺拼成下圖，得到兩個特殊角度75°和15°.

學(xué)生可以報出很多特殊角度，教師讓學(xué)生盡可能將能拼出的特殊角度找全，并按由小到大的順序排列.

第三層次：學(xué)生歸納得出"用一副三角尺可以畫出0°到180°之間的所有15°的整數(shù)倍數(shù)的角".

問題1 觀察找到的特殊角度，有什么共同特征？

讓學(xué)生獨立思考30秒，得出都是15°的倍數(shù).

問題2 在平角180°以內(nèi)15°的倍數(shù)只有你畫的這些角度嗎？

問題設(shè)置的意圖是讓學(xué)生將沒找全的角度找全，驗證自己的猜想，如果已經(jīng)找全，則略過.

（二）活動二 用量角器畫一個角等于已知角。問題3 用一副三角板只能畫出0°到180°之間的所有15°的整數(shù)倍數(shù)的角，如何畫0°到180°之間的任意一個角？

學(xué)生回答用量角器.

問題4 請你畫一個角等于∠AOB

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過，用量角器即可完成.先量出∠AOB的度數(shù)，再任意畫一條射線O'B'，將量角器的零刻度線對準O'B'，點O'與量角器的中心點重合 ，在量角器相應(yīng)刻度位置描出一個點A'，連結(jié)O'A'并延長 ，則圖2就是所要畫的角.

問題5 你能說明用量角器畫圖的原理嗎？（先獨立思考，再小組討論）

其畫圖的原理是角的定義：角是由兩條具有公共端點的射線所組成的圖形.我們可以先任意畫一條射線DE，要畫∠A'O'B'=∠AOB，關(guān)鍵是確定另一條邊O'A'，而要確定射線O'A'，只要確定該射線上除頂點外的任意一點，此時量角器的邊緣弧完成了尋找這一點的任務(wù).即根據(jù)角的定義最終轉(zhuǎn)化為已知一條射線O'A'，確定一個點A'.

（三）活動三 探究如何用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角。數(shù)學(xué)史料：古希臘人的作圖方式比較特殊，幾何作圖全靠手畫，難度很高.輔助畫圖的機械工具不是沒有，只不過希臘人認為這些工具過于依賴感官上的直覺而不太依賴思想上的真理，使用起來頗有在神靈面前作弊的感覺，因此不太瞧得上.希臘人合法的作圖工具只有兩個，直尺和圓規(guī)，因為在他們看來，直線和圓是最基本的幾何圖形.這里的直尺跟我們印象中的直尺不太一樣，它沒有刻度，也就是說只能畫線，無法度量長短.希臘人的作圖方法因此被稱為尺規(guī)作圖法.

通過介紹尺規(guī)作圖的由來，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.[3]

問題6 若不用量角器，像古希臘人一樣只用直尺和圓規(guī)，你能畫出∠A'O'B'嗎？

在活動二的鋪墊下，學(xué)生容易分析出作一個角等于已知角的關(guān)鍵是確定射線O'A'除O'點外的任意一點.但學(xué)生仍然難以形成作圖思路，這需要全等三角形的有關(guān)知識.此時對學(xué)生的要求不宜過高，要靠細致的講解讓學(xué)生看清每一步操作并學(xué)會模仿，等到學(xué)生學(xué)過全等三角形的相關(guān)知識再回顧這個問題，螺旋上升，讓學(xué)生在不同的階段有不一樣的收獲.

教師讓學(xué)生拿出直尺和圓規(guī)，自己在黑板上板演步驟，學(xué)生在草稿紙上模仿.

作法：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧分別交OA、OB于點C、D.

2.作射線O'A'，以點O'為圓心，以O(shè)C為半徑畫弧C'E交O'A'于點C'.

3.以點C'為圓心，以CD長為半徑畫弧，交弧C'E于點D'.

4.過點D'，作射線O'B'.∠A'O'B'是所求作的角.

操作步驟結(jié)束后，讓學(xué)生回顧體會每個步驟的目的和意義，加深理解.

問題7 現(xiàn)在你能獨立完成書上的做一做嗎？

讓學(xué)生再畫一個角等于已知角，加深對步驟的印象.

（四）小結(jié)

問題8 你學(xué)會了哪些畫一個角等于已知角的方法？

問題9 如何運用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角？在這個過程中，你是如何探索"作法"步驟的？

三、教學(xué)后記

筆者連續(xù)兩年從事初一數(shù)學(xué)的教學(xué)，第一次教這部分內(nèi)容時感覺書本內(nèi)容的編排不合理，學(xué)生能理解嗎？于是只是照本宣科，教學(xué)效果不佳，第二次教學(xué)時改變了教學(xué)思路，認真研讀教師參考用書，并查閱相關(guān)資料，講解步驟之前融入了一些數(shù)學(xué)史料，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.盡管學(xué)生仍然不知道這個尺規(guī)作圖的原理是利用全等三角形的性質(zhì)，但通過講解，反思，再次操作的過程，不少學(xué)生記住了畫法，至于原理，等到學(xué)過全等之后再回顧，相信大了一歲的學(xué)生們會頓悟：原來我當(dāng)初是畫了一對全等三角形！我想這就是教材編者將內(nèi)容放置在七上的原因，先初步感受，等八上再螺旋上升，讓學(xué)生在不同的階段有不一樣的體會.

盡管教材呈現(xiàn)給我們的文字、圖片十分有限，但是背后所蘊藏的深意值得我們?nèi)ネ诰?，它們留給我們思考的空間是無限的，我們應(yīng)學(xué)會合理加工，創(chuàng)造性地使用教材，以達到良好的教學(xué)效果.

參考文獻：

[1]詹金芳 方玉芬 鄭志奎知其然 知其所以然"然"何而來--"作一個角等于已知角"的教材分析及作圖思路分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011，8.

[2]楊裕前 董林偉.義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué) 七年級上冊[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012，6.

[3]唐小謙.歡樂品數(shù)學(xué)：愛上你眼中的魔鬼學(xué)科[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018，8.