鄭定磊

（福州第十八中學(xué)，福建 福州 350001）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都由低到高的分成了三個水平：水平一、水平二、水平三?；\統(tǒng)地說，水平一要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中，完成一定的要求；水平二要求在關(guān)聯(lián)的情境中，完成稍高的要求；水平三要求在綜合的情境中，完成最高的要求。

中考數(shù)學(xué)的命題者往往會把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查放在十分重要的位置，試圖通過試題評價引導(dǎo)教學(xué)。筆者發(fā)現(xiàn)：作為全卷最難中考壓軸題都具備了一定的評價功能，也就是說其能夠測試出考生相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)處于哪一水平。這對于落實高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三個水平這一意圖具有重大意義。

一、分難度設(shè)置題型，多維度測試學(xué)生能力

在壓軸大題中圍繞著同一知識要點(diǎn)設(shè)置難度不同的三個小題，這三個小題分別對應(yīng)上述的三個水平。第一小題測量考生是否掌握課本相關(guān)知識，并能直接應(yīng)用（水平一），第二小題測量考生是否能通過聯(lián)想、類比，將題目條件轉(zhuǎn)化為相關(guān)課本知識進(jìn)行解決（水平二），第三小題測量考生是否理解相關(guān)知識內(nèi)涵，綜合分析解決陌生問題（水平三），從而實現(xiàn)多維度測試學(xué)生能力。以下這道2018年陜西省中考數(shù)學(xué)的最后一題正是采取這樣做法。

例1.問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，∠A=120°,AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為 ．

問題解決

(2)如圖②，圓O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是圓O上一動點(diǎn)，求PM的最大值．

問題探究

(3)如圖③所示，AB,AC,BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°，BC所對的圓心角為60°.新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB,AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E,F.也就是，分別在線段BC,AB和AC上選取點(diǎn)P,E,F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE,EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE,EF,FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．

圖①

圖②

圖③

這道題分為三個小題。很顯然，題（1）是學(xué)生們非常熟悉的題目，完成它的學(xué)生無疑具備了“幾何相關(guān)素養(yǎng)”的第一個水平。作為一道難度較低的題目，采用了填空題的形式，節(jié)約了考生答題的時間。題（2），圓的半徑是給定的，所以圓是確定的，由于弦AB的長是固定的，所以可以認(rèn)為點(diǎn)M相對于圓心的位置也是確定的，于是問題就可以轉(zhuǎn)化為：求定圓上的動點(diǎn)到圓內(nèi)定點(diǎn)距離的最小值。解此題，只要連接OM,OP，利用三角形兩邊之和大于第三邊，即OM+OP≥MP即可，題（2），未必是廣大考生都做過的，但是用這一方法求距離的最值，這樣的問題是初三學(xué)生比較熟悉的，因此，題（2）的情境屬于水平二所要求的關(guān)聯(lián)情境，能夠完成它就意味著學(xué)生處于水平二。

最后我們來看題（3）。題目要求在圓弧BC上找一點(diǎn)P，從它出發(fā)到達(dá)線段AB，再到達(dá)線段AC，然后返回點(diǎn)P，使得路徑最短。這道題的情境，絕大多數(shù)考生是完全陌生的，此時考生處于水平三所要求的綜合情境之中。怎么處理這道題呢？這就考查了考生分析問題的能力。問題的關(guān)鍵在于P點(diǎn)是在圓弧上，它最特殊，也最不好處理，那怎么辦呢？那就索性先忽略掉這個條件，就讓點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)的任意一點(diǎn)，也就是不考慮特殊情況，而是直接處理一般的情況，這也是常用的分析問題的方法。這樣就將問題轉(zhuǎn)化為了平時訓(xùn)練過的最短路徑問題。進(jìn)一步地分析又容易把問題轉(zhuǎn)化為第1、2小題。這其實就是考查考生是否具備合理的分析問題的能力，同時也考查了學(xué)生是否具備化歸的思想。縱使平常沒訓(xùn)練過，那么考生如果能夠想起將軍飲馬問題（它是中考考生基本活動經(jīng)驗），也是完全能思考下去的。因此，此題很好的考查了考生是否具備數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗和分析問題的能力。能夠完成此小題的考生無疑在四基、四能上具備了很高的水平。章建躍先生認(rèn)為落實了四能也就落實了核心素養(yǎng)。從這個意義上可以說，能夠處理好題（3）這樣陌生、綜合的情景，并且完成了解答的考生也就達(dá)到了核心素養(yǎng)的水平三。

二、創(chuàng)設(shè)一題多解題型，考查學(xué)生個體思維素養(yǎng)

在壓軸題的一個小題中，考查學(xué)生個體思維素養(yǎng)，這就要求試題有多種解法，不同類型的解答反映出考生的核心素養(yǎng)處于不同水平?？忌皇菚孟嚓P(guān)知識解決特殊性問題，還是已理解知識內(nèi)涵能解決一般性問題。借鑒SOLO分類理論的思想（詳見參考文獻(xiàn)［2］），考慮到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個水平，可以將考生的解答對應(yīng)的分成三個水平（0分卷以及考生所做出的解答對解決問題毫無幫助的情形，這里不做分析）：考生能夠在試題中提取出熟悉的數(shù)學(xué)情境，并在這個情境中完成一定的計算和推理，但無法完成整個題目的解答（水平一）。采用了較多的知識，做了大量具體的計算，完全或基本上解決了問題，但是解法往往顯得較為繁瑣，同時其解法只能處理題目的特殊情況（水平二）。解決問題時，應(yīng)用了最少的知識，只需做較少的計算，解答過程更為簡潔，完全解決了問題，解決過程往往能夠揭示問題的本質(zhì)，解法可以處理一般情況或?qū)栴}進(jìn)行推廣（水平三）。以下的2018年上海中考第25題的第（2）小題正是采用上述途徑。

例2.已知圓O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E．且OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；（2）如圖2，如果E為弦BD的中點(diǎn)，求∠ABD的余切值；（3）連結(jié)BC,CD,DA，如果BC是圓O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是圓O的內(nèi)接正(n+4)邊形的一邊，求△ACD面積．

圖1

圖2

備用圖

對于題（2），考查兩種解法。

圖3

解法一：連接AD,OE.如圖3，易知:OE是△ABD的中位線，故而：OE//AD,OE=AD,===,所以O(shè)F=OD=,DF=OD=由勾股定理得：AF=,EF=AF=.因為 OB=OD,所以∠ABD=∠ODB,cot∠ABD=cot∠ODB=.

圖4

解法二：連接AD.如圖4.因為OD⊥AC,所以弧CD=弧AD,所以∠DAC=∠DBA,又因為∠ADE=∠BDA,所以△DAE∽△DBA,所以=.又E為弦BD的中點(diǎn)，所以DB=2DE,所以=，即：DA2=2DE2，所以cot∠DBA=cot∠DAC==

解法一直接計算具體線段的長度，主要應(yīng)用了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理。解法二不計算具體的線段，而是直接計算相應(yīng)線段之比，主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)，同時它可以處理一般的情況，即DE與BE的值是任意值時的情形（題中的比值是1）。對比兩種解法，解法一屬于核心素養(yǎng)的水平二，解法二屬于核心素養(yǎng)的水平三，解法二要優(yōu)于解法一，反映出解法二的學(xué)生“幾何相關(guān)素養(yǎng)”要優(yōu)于解法一的學(xué)生。

如果我們把如果E為弦BD的中點(diǎn)改為DE=2BE，這個時候，考生面對的是更一般的情形，那么解法一中的中位線等知識就用不上了，這時，直接求具體線段的難度就比較大了，最好的辦法就是采用解法二的方法，這樣一來題目的難度加大了，這就很難把處于水平一、水平二考生區(qū)分開來，因為處于這兩個水平的學(xué)生可能什么也做不了，只有處于水平三的考生能夠完成解答。因此，更改后的題目沒有原題好。

三、把握評價內(nèi)核，精準(zhǔn)備考中考數(shù)學(xué)壓軸題

鑒于上述論述，中考壓軸題內(nèi)在考查的是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的高低，故而教師在壓軸題教學(xué)中的立足點(diǎn)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生對知識理解應(yīng)用的能力，切不可只是為了解題而教題。對于每一道壓軸題，應(yīng)展現(xiàn)思索的過程，深刻地分析知識點(diǎn)的應(yīng)用，歸納內(nèi)在的思想方法，啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想。注重個體間的差異性，分層次教學(xué)。對此，筆者提出如下教學(xué)建議：

1.把握循序漸進(jìn)的原則，由易到難進(jìn)行教學(xué)。根據(jù)教育學(xué)基本原理，學(xué)生能力的形成絕不是一蹴而就，而是從低水平向高水平逐漸發(fā)展形成。故而筆者建議教師在中考壓軸題的教學(xué)過程中切勿只立足水平三的教學(xué)，而應(yīng)先重視學(xué)生基礎(chǔ)，重視定理公式的理解掌握（水平一），再提高學(xué)生對其聯(lián)想類比，應(yīng)用能力，確保學(xué)生能熟練應(yīng)用（水平二），最后再提高學(xué)生的綜合分析能力（水平三）。

2.采用從特殊到一般的方法，重視發(fā)散性思維的培養(yǎng)，提倡一題多解。正如前文所述，許多中考壓軸題考查的是一般情形數(shù)量變化規(guī)律，學(xué)生往往不易理解。這時可以采用特殊化的方法，將一般的情形轉(zhuǎn)化為特殊的情形，歸納特殊情形解決方法（水平二），看看是否能推廣至一般情況（水平三）。提倡一題多解，讓學(xué)生認(rèn)識解法的本質(zhì)（水平二），嘗試分析解法一般性及特殊性（水平三）。

3.歸納同類型壓軸題，進(jìn)行變式訓(xùn)練。筆者建議對中考壓軸題分類歸納，進(jìn)行專項訓(xùn)練，讓學(xué)生對同一類型問題有更深層次的認(rèn)識，形成分析問題的方法（水平二），再通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生更能領(lǐng)會解決這些問題方法的意義，增強(qiáng)應(yīng)用的能力（水平三）。

中考數(shù)學(xué)試題的命制是一項創(chuàng)造性的活動，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的背景下，如何命制出具有評價功能的壓軸題更是留給中考命題者的挑戰(zhàn)。一方面，希望出現(xiàn)越來越多優(yōu)秀的中考數(shù)學(xué)壓軸題能夠更好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，更好地評價學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平；另一方面，希望通過中考壓軸題對初中數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)，教師能注重學(xué)生內(nèi)在分析、應(yīng)用能力的培養(yǎng)，開拓學(xué)生的思維，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。