李麗瑩

一 引言

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，在高考試題中占據(jù)重要地位。尤其是近幾年以圓錐曲線性質(zhì)為背景的題目已經(jīng)成為高考命題的熱點內(nèi)容之一，這部分知識點對學(xué)生的綜合能力要求較高，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)也有一定的要求。大多數(shù)學(xué)生認為這類知識點是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個絆腳石，難在解題思路的尋找、解題方法的選取、數(shù)學(xué)工具的靈活運用等等，對于較復(fù)雜的綜合性問題，學(xué)生往往不知從何下手。2018年1月，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，圓錐曲線作為高考必考考點，考察了多方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而圓錐曲線存在老師教學(xué)難，學(xué)生學(xué)習(xí)難的問題。由此可見，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的圓錐曲線教 學(xué)研究對于提升學(xué)生的基本知識、基本技能、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度與情感具有重要的現(xiàn)實意義，研究中主要圍繞考、學(xué)、教三方面進行研究，以考點為教學(xué)導(dǎo)向，提出教學(xué)建議，讓學(xué)生在新課教學(xué)與備考復(fù)習(xí)中做到有效學(xué)習(xí)。

二 簡析圓錐曲線知識點

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》對這部分的要求是：“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)；了解拋物線和雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)；通過圓錐曲線和方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用?！盵1]

通過分析、整理得出圓錐曲線這部分題型主要考查以下幾類問題：①求曲線的方程問題。這類題型通常分為兩種情況，一是當曲線類型已知時，通常運用題目已知的信息用待定系數(shù)法求曲線的方程；二是當曲線類型未知時求軌跡方程，通常借助圓錐曲線的定義求解。這類題型要求學(xué)生掌握圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題。②求定值、定點、最值及范圍問題。由于這類題型的綜合性較高，因此對于大多數(shù)學(xué)生而言難度較大。對于定值問題，通常先考慮特殊情況求出定值，再證明這個定值是與變量無關(guān)的，或者是直接通過推理計算，在推理和計算的過程中消去變量，從而得到定值；對于定點問題，通常先設(shè)出直線方程，再建立等量關(guān)系，進行消元，然后借助直線方程的特征找出定點；對于最值問題，通常運用兩種方法：一是幾何法，通過已知條件借助幾何特征解決問題；二是代數(shù)法，通常先建立目標函數(shù)，再用函數(shù)的性質(zhì)求其最值，例如：配方法法、判別式法、基本不等式法或單調(diào)性法等求函數(shù)的最值；對于參數(shù)的取值范圍問題，通常是根據(jù)已知條件建立函數(shù)或不等式，再求參數(shù)的范圍。③存在性問題，這類題型通常是考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題?？上燃僭O(shè)存在滿足題意的情況，經(jīng)過推理和論證得到滿足題意的結(jié)果，進而得出存在的結(jié)論，若得到的結(jié)論與已知條件、定義、定理等相互矛盾，則假設(shè)不成立。圓錐曲線這一模塊主要考查的是基礎(chǔ)知識、基本思想、基本方法以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，題型重點突出、內(nèi)容全面、形式多樣、解法不一。

由以上的歸納可知，圓錐曲線試題突出基礎(chǔ)性、全面性和綜合性。那么，我們應(yīng)該怎么樣利用它的特性尋找到有效的教學(xué)方式呢？

三 教學(xué)建議

由近兩年的考點趨勢可以看出，圓錐曲線知識點的考查逐漸往定義和性質(zhì)兩個方向靠近，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識以及所具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，為了更好的落實新課標中對于圓錐曲線的要求，筆者基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提出幾點教學(xué)建議，旨在幫助教師有目標的教學(xué)。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

根據(jù)建構(gòu)主義理論，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認為學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識的過程。學(xué)生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構(gòu)知識的意義，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的。而教師應(yīng)該給學(xué)生提供復(fù)雜的真實問題，學(xué)生不僅要發(fā)現(xiàn)這些問題，而且必須認識到復(fù)雜問題有多種答案，激勵學(xué)生用不同的方法解決問題，這顯然是與創(chuàng)造性的教學(xué)活動宗旨緊密相吻合的。教師必須創(chuàng)設(shè)一種良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生在這種環(huán)境中可以通過實驗、獨立探究、合作學(xué)習(xí)等方式來展開他們的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育需要合適的問題情境與教學(xué)過程學(xué)生的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展，需要在情境與過程中模仿、探究、體驗、感悟，問題情境與教學(xué)過程是理解數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路。[2]

對于大多數(shù)學(xué)生而言，圓錐曲線這部分知識是抽象乏味的，因此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的興趣是不可忽視的事情，注重問題情境的創(chuàng)設(shè)可以有效的解決這一問題，在新課改的背景下，教師的教學(xué)應(yīng)更加注重情境化，由于每一個數(shù)學(xué)知識都蘊含著特有的數(shù)學(xué)文化與生活情境，因此不同的問題情境能夠幫助學(xué)生感受知識形成的過程和更好的記憶知識點。

例如，在橢圓的第一課時教學(xué)前，教師可以給學(xué)生播放行星運行的視頻，讓學(xué)生觀察行星的運行軌道是什么樣的？運行軌道又有什么樣的幾何特征？以此為學(xué)生創(chuàng)造問題情境，有效的激發(fā)學(xué)生的積極性，可以使得后續(xù)的教學(xué)更好地進行。這樣的教學(xué)方式，往往會達到功必倍之效果。

（二）重視基礎(chǔ)知識，深刻理解定義

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們所做出的判斷和推理，一般是以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念正是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。學(xué)生能否正確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的關(guān)鍵因素。

從高考真題中可以看出，圓錐曲線的第一道小題大多都是考查學(xué)生對于定義的理解。因此教師在課堂教學(xué)中要回歸課本，重視概念的教學(xué)，完善學(xué)生的知識體系，落實學(xué)生對每個定義、定理以及性質(zhì)的理解。學(xué)生沒有在理解的基礎(chǔ)上去記，往往導(dǎo)致學(xué)生做題時無法靈活運用，間接導(dǎo)致學(xué)生計算量增大[3]。

例如，在橢圓的定義教學(xué)過程中，教科書上對于橢圓的定義是“平面內(nèi)與兩個點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距?！比绻诙x的教學(xué)中，教師生硬的將橢圓的定義灌輸給學(xué)生，學(xué)生將不會深刻的理解定義和靈活運用定義。相反地，如果教師重視知識形成的過程，在教學(xué)前讓學(xué)生動手實驗畫出橢圓，學(xué)生會有一個深刻的印象，同時也能更好的理解定義。

（三）培養(yǎng)創(chuàng)新意識，加強拓展訓(xùn)練

當前有許多高中依然采用機械的方法大量地刷新題庫，在這種教學(xué)方式下，學(xué)生思維僵化而無創(chuàng)新能力，學(xué)習(xí)場轉(zhuǎn)變?yōu)樽鲱}訓(xùn)練場[4]。圓錐曲線教學(xué)的過程也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的過程，每一道圓錐曲線的試題，都有不同的方式解決。教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該鼓勵學(xué)生嘗試用不同的方式解決問題，通過這種教學(xué)方法，可以有效的培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識。

例如，在2019年全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)21題的第二小題中，大多數(shù)學(xué)生的慣性思維是設(shè)過原點的直線，但如果學(xué)生先設(shè)另外兩條直線，會發(fā)現(xiàn)解題的過程有巨大的差異，每種解法都有自身的優(yōu)缺點。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試不同解法，尋找最合適的途徑。

（四）培養(yǎng)核心素養(yǎng)，落實每個課堂

自新課標實施以來，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)越來越受到國家的重視。高考作為衡量高中教育的最后一次考試，其試題的設(shè)置也都意在考察學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對于圓錐曲線這部分知識來說，它既能夠在各個方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，例如數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維，將學(xué)生的思維打開。課堂，從來都不只是教師表演的舞臺，只有學(xué)生的積極參與，才有活力四射的課堂；只有學(xué)生的素養(yǎng)提升，才能體現(xiàn)課堂教學(xué)的價值[5]。因此教師在教學(xué)的過程中，不要一味的教學(xué)生解題，而要注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透。

例如，圓錐曲線題型的運算量較大，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的良好載體。但是許多教師在教學(xué)過程中，都很少留有足夠的時間給學(xué)生計算，有的教師甚至是直接將最終答案公布給學(xué)生，這種方法是不可取的。只有讓學(xué)生親自體會每一步計算所蘊含的技巧，才能夠有效地將其轉(zhuǎn)化為自己的技能。通過這種方式，學(xué)生的思維才能得到更好的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)運算的能力才能得以 提升。

（五）提前感知知識，加強數(shù)學(xué)思維

在平日里的授課教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生提前感知知識形成的過程，例如，圓錐曲線中重要的一種解題方法是“相關(guān)點法”，教師不一定要在這個模塊才為學(xué)生介紹這個方法，教師可以在直線與直線的位置關(guān)系這個知識點講解時提到這個方法，比方說，當我們要求一條直線關(guān)于另一條直線的對稱直線，我們可以假設(shè)對稱直線上點的坐標為（x,y），再利用直線與直線之間的位置關(guān)系表示對稱直線的方程。教師可以在其它知識點講解時滲透這種思想，雖然剛開始學(xué)生們會難以理解，但是教師提前為學(xué)生“鋪路”，隨著學(xué)生的思維不斷提高，當學(xué)生再次遇到這個問題時，就會迎刃而解。

四 總結(jié)

圓錐曲線是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，教師是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要對象，課堂是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。所以教師在課堂上不能局限于幾道題數(shù)學(xué)題的解答，而要深入挖掘數(shù)學(xué)問題的育人價值，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)意識[6]。在教學(xué)中，教師還要不斷探尋新的教學(xué)方式，以學(xué)定教，做到有的放矢的教學(xué)。