王芳

（浙江藝術(shù)職業(yè)學(xué)院影視技術(shù)系，浙江杭州310053）

布爾函數(shù)的布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)是布爾代數(shù)中3種重要的特殊運算導(dǎo)數(shù)，其在探討H-布爾函數(shù)、Bent函數(shù)密碼學(xué)性質(zhì)及檢測組合邏輯電路故障和揭示布爾函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中有廣泛應(yīng)用[1-8]。本文通過研究布爾函數(shù)的布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)這3類特殊導(dǎo)數(shù)，進一步揭示布爾函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及相關(guān)性質(zhì)。

1 布爾函數(shù)一階與高階布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系及性質(zhì)

2 布爾函數(shù)的布爾偏導(dǎo)數(shù)、e偏導(dǎo)數(shù)和c偏導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系及性質(zhì)

3 討 論

3.1 如果用布爾函數(shù)的1值最小項集合表示該布爾函數(shù)，則布爾導(dǎo)數(shù)集、e導(dǎo)數(shù)集和c導(dǎo)數(shù)集可分別用來表示布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)。從性質(zhì)1和性質(zhì)2可以看出，e導(dǎo)數(shù)集是c導(dǎo)數(shù)集的一個子集。性質(zhì)3和性質(zhì)4表示布爾導(dǎo)數(shù)集也是c導(dǎo)數(shù)集的一個子集。性質(zhì)5表示e導(dǎo)數(shù)集與布爾導(dǎo)數(shù)集的交集為空集，即e導(dǎo)數(shù)與布爾導(dǎo)數(shù)不相交，因此它們是c導(dǎo)數(shù)集合中2個不相交的子集。性質(zhì)13則表示e導(dǎo)數(shù)集與布爾導(dǎo)數(shù)集的并集組成c導(dǎo)數(shù)集。

3.2 由性質(zhì)9和性質(zhì)12不難看出，可以通過布爾導(dǎo)數(shù)與c導(dǎo)數(shù)的“異或”運算或者布爾導(dǎo)數(shù)之反和c導(dǎo)數(shù)的“與”運算得到e導(dǎo)數(shù)。性質(zhì)10和性質(zhì)11表示通過e導(dǎo)數(shù)與c導(dǎo)數(shù)的“異或”運算或者e導(dǎo)數(shù)之反和c導(dǎo)數(shù)的“與”運算得到布爾導(dǎo)數(shù)。性質(zhì)8和性質(zhì)13則表示通過e導(dǎo)數(shù)和布爾導(dǎo)數(shù)的“異或”運算或者“或”運算得到c導(dǎo)數(shù)。總之，布爾函數(shù)的3種導(dǎo)數(shù)是密切相關(guān)的，只要知道其中2個，便可求得另一個。這意味著如果已知布爾函數(shù)從0→1，1→0以及1→1的變化行為,便可推測函數(shù)0→0的變化行為。

3.3 第2節(jié)相關(guān)推論表明，上述結(jié)論同樣適用于高階布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)。

3.4 從性質(zhì)14～性質(zhì)18、推論14～推論18可以看出，e偏導(dǎo)數(shù)集和布爾偏導(dǎo)數(shù)集均為c偏導(dǎo)數(shù)的子集，而且e偏導(dǎo)數(shù)集與布爾偏導(dǎo)數(shù)集不相交，但他們的并集仍是c偏導(dǎo)數(shù)集的子集，不能構(gòu)成c偏導(dǎo)數(shù)全集。推論21～推論26、性質(zhì)21～性質(zhì)26則表示布爾函數(shù)的3種偏導(dǎo)數(shù)之間不存在緊密關(guān)系，無法由已知的2個偏導(dǎo)數(shù)求得另一偏導(dǎo)數(shù)。

4 結(jié) 論

提出了布爾函數(shù)一階與高階布爾導(dǎo)數(shù)、e導(dǎo)數(shù)和c導(dǎo)數(shù)及布爾偏導(dǎo)數(shù)、e偏導(dǎo)數(shù)和c偏導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系，給出了相關(guān)性質(zhì)并進行了證明，完善了3類特殊運算的理論研究，為進一步揭示布爾函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)，開拓其應(yīng)用領(lǐng)域奠定了一定基礎(chǔ)。