李軍成，李兵，易葉青

（1.湖南人文科技學院數學與金融學院，湖南婁底417000；2.四川航天技術研究院總體部，四川成都610100；3.湖南人文科技學院信息學院，湖南婁底417000）

0 引 言

在許多實際工程問題中，往往需要將2條曲線或2張曲面光滑地連接起來。因此，過渡曲線曲面的構造一直都是重要的研究課題。

為了滿足一些特定場合的應用需求，李凌豐等［1］、高暉等［2］、李軍成等［3-4］研究了基于勢函數與Metaball技術的過渡曲線構造方法；劉華勇等［5-7］與李軍成等［8］則討論了利用調配函數構造過渡曲線的方法。由于應用場合的特殊性，文獻［1-8］所構造的過渡曲線與2被過渡曲線的參數方向不一致，過渡曲線在兩端點處也只能滿足擬連續(xù)性。MEEK等［9］、SZILVASI-NAGY 等［10］、HARTMANN［11］采用混合方法構造了保參數方向的過渡曲線曲面，這些方法雖然考慮了2被過渡曲線曲面的全局幾何信息，使得構造的過渡曲線曲面更加有效，但無法調整過渡曲線曲面的形狀。然而，在一些實際應用場合，常常需要構造既能保持參數方向又能令形狀具有可調性的過渡曲線曲面。針對這一問題，李重等［12］提出了一種構造過渡曲線曲面的混合方法，雖然該法不僅可以推廣得到任意參數連續(xù)或幾何連續(xù)的過渡曲線曲面，還可通過調節(jié)參數獲得合適的過渡曲線曲面，但所構造的過渡曲線曲面含有較多的自由參數，確定這些自由參數的計算量較大。江卯等［13］提出的方法可使過渡曲線與2被過渡曲線的參數方向保持一致，還可通過平衡因子對過渡曲線的形狀進行調節(jié)，但需要事先構造2條輔助延拓曲線。

為了構造保參數方向的形狀可調過渡曲線曲面，基于2類帶1個自由參數的調配函數，分別構造了滿足C1與C2連續(xù)的過渡曲線與曲面，其對2被過渡曲線曲面的種類無限制，不僅與2被過渡曲線曲面保持相同的參數方向，而且當2被過渡曲線曲面保持不變時，可通過所含的自由參數調節(jié)過渡曲線曲面的形狀。通過確定自由參數的取值，還可獲得盡可能光順的過渡曲線與曲面。

1 問題的描述

設Ci(t)(i=1,2)為平面上任意2條參數曲線，且其參數方向相同，如圖1所示，希望構造1條從點C1(1)過渡到點C2(0)的參數曲線G(t)，并要求：

（1）過渡曲線G(t)的參數方向與被過渡曲線Ci(t)=1,2)保持一致。

（2）過渡曲線G(t)在2個過渡點處滿足一定的連續(xù)性。

（3）過渡曲線G(t)具有形狀可調性。

類似地，給定任意2張參數方向相同的參數曲面Si(u,)(=1,2)，如圖2所示，希望構造1張從曲線S1(u,1)過渡到曲線S2(u,0)的參數曲面G(u,)，并要求：

注1 本文僅考慮過渡曲面與2張被過渡曲面在參數v方向保持一致的情形，在參數u方向保持一致的情形可類似討論。

圖1 保參數方向構造過渡曲線Fig.1 Constructing transition curve with parameter direction preserving

圖2 保參數方向構造過渡曲面Fig.2 Constructing transition surface with parameter direction preserving

注2 需要說明的是，雖然本文討論的問題是2被過渡曲線曲面取為任意參數曲線曲面的情形，但對于2被過渡曲線曲面為代數曲線曲面的情形也可按此討論，只要將2被過渡曲線曲面的方程轉化為參數形式即可。 例如，當被過渡曲線的方程為y=f（x）（a≤x≤b）時，可將該方程轉化為參數形式

為了構造保參數方向的形狀可調過渡曲線與曲面，首先給出2類帶參數的調配函數：

（1）對于 0≤ t≤ 1，-3≤ α1≤ 12，稱關于 t的函數

為第一類帶參數α1的調配函數，簡稱為第一類調配函數。

（2）對于 0≤ t≤ 1，-10/3≤ α2≤ 20，稱關于 t的函數［8］

為第二類帶參數α2的調配函數，簡稱為第二類調配函數。

注3 文獻［8］利用一種帶參數的曲線模型構造出式（2）表示的第二類調配函數，該調配函數可令形狀調配問題中的過渡曲線曲面滿足C2連續(xù)。為了后續(xù)構造滿足C1連續(xù)的過渡曲線曲面，本文利用文獻［8］的方法構造了式（1）表示的第一類調配函數，限于篇幅，具體構造過程不再贅述。

不難驗證，由式（1）表示的調配函數H1(t)在端點處滿足

由式（2）表示的調配函數H2(t)在端點處滿足

2 過渡曲線的構造

對于圖1所描述的問題，可分別利用式（1）與式（2）表示的調配函數H1(t)與H2(t)構造2類過渡曲線。

定義1 給定平面上2條參數方向相同的被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)，稱曲線

為第一類過渡曲線，其中H1(t)為式（1）表示的第一類調配函數。

定義2 給定平面上2條參數方向相同的被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)，稱曲線

為第二類過渡曲線，其中H2(t)為式（2）表示的第二類調配函數。

定理1 由式（5）與式（6）表示的第2類過渡曲線具有以下特性：

（1）保參數方向性：過渡曲線Gi(t)(i=1,2)與被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)的參數方向保持一致。

（2）連續(xù)性：過渡曲線G1(t)在2個過渡點處滿足C1連續(xù)，過渡曲線G2(t)在2個過渡點處滿足C2連續(xù)。

（3）形狀可調性：當被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)保持不變時，可通過修改參數α1與α2的取值對過渡曲線Gi(t)(i=1,2)的形狀進行調節(jié)。

證明由式（3）與式（5）可得

式（7）表明，過渡曲線G1(t)與2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)的參數方向保持一致，且在2個過渡點處滿足C1連續(xù)。

由式（4）與式（6）可得

式（8）表明，過渡曲線G2(t)與2條被過渡曲線Ci(t)(=1,2)的參數方向保持一致，且在2個過渡點處滿足C2連續(xù)。

由于調配函數H1(t)與H2(t)分別帶有參數α1與 α2，故由式（5）與式（6）可知，當 2條被過渡曲線Ci(t)(=1,2)保持不變時，可分別通過修改參數α1與α2的取值調節(jié)過渡曲線Gi(t)(i=1,2)的形狀。證畢。

下面給出2種情形下，保參數方向構造形狀可調的C1與C2連續(xù)過渡曲線實例。

例1（圓弧間的過渡曲線） 設兩圓弧的方程分別為

式中，0≤t≤1。 當參數α1與α2分別取不同值時，C1(t)與C2(t)間形狀不同的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖3所示。

圖3 圓弧間的過渡曲線Fig.3 The transition curves between arcs

例2（Bézier曲 線 間 的 過渡曲線） 設 三 次Bézier曲線的方程為

二次Bézier曲線的方程為

當參數 α1與 α2分別取不同值時，C1(t)與 C2(t)間形狀不同的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖4所示。

圖4 Bézier曲線間的過渡曲線Fig.4 The transition curves between Bézier curves

注4 由圖3與圖4可知，當被過渡曲線Ci(t)(i=1 2)保持固定時，所構造的保參數方向過渡曲線在滿足C1或C2連續(xù)的情形下，可通過參數α1或α2對其形狀進行有效調節(jié)。但也注意到，參數α2對C2連續(xù)過渡曲線的形狀調整較為敏感，故在實際應用中要根據具體情況選取合適的參數值。

上述2個實例也表明，當參數α1或α2的取值不恰當時，所構造的C1或C2連續(xù)過渡曲線會出現不光順的情況。 例如，圖3中α1=12時的C1連續(xù)過渡曲線與α2=-10/3時的C2連續(xù)過渡曲線，圖4中α2=10時的C2連續(xù)過渡曲線。另外，在某些特定的應用場合中，有時也只需確定一條盡可能光順的過渡曲線。為此，下面給出一種確定參數α1與α2取值的方法，以使得構造的C1與C2連續(xù)過渡曲線盡可能光順。

若記

則式（5）可改寫為

根據光順準則［14］，過渡曲線G1(t)的光順程度可近似地由其能量值來刻畫。 能量值Ec1越小，表明過渡曲線G1(t)越光順。由于式（9）中帶有參數 α1(-3≤ α1≤ 12)，當 2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)保持固定時，要使過渡曲線G1(t)盡可能地光順，只需確定參數α1的取值，使其能量值Ec1盡可能小，即可得優(yōu)化模型：

則帶參數α2的使得C2連續(xù)過渡曲線G2(t)盡可能光順的優(yōu)化模型為

式（11）與式（12）均為二次函數的條件最值問題，易求得參數α1與α2的值，再分別由式（5）與式（6）即可獲得盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線。

注5 當給定的2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)不可積時，式（11）與式（12）中對應的常數Ai與Bi(i=1,2,3)將無法直接通過計算獲得精確值，此時，可利用數值積分公式（如Simpson公式）計算其近似值。

例3 對于例1中給定的2條圓弧，通過求解式（11） 與 式 （12） 可 得 參 數 α1=2.964 6，α2=2.629 7。 繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖5所示，過渡曲線的能量值曲線如圖6所示。

圖5 圓弧間盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線Fig.5 The C1and C2continuous transition curves between arcs as smooth as possible

圖6 圓弧間過渡曲線的能量值曲線Fig.6 The energy curve of the transition curves between arcs

對于例2中給定的2條Bézier曲線，通過求解式 （11） 與 式 （12） 可 得 參 數 α1=3.384 0，α2=1.804 6。繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖7所示，過渡曲線的能量值曲線如圖8所示。

3 過渡曲面的構造

對于圖2所描述的問題，分別利用式（1）與式（2）表示的調配函數H1(t)與H2(t)，可構造2類過渡曲面。

圖7 Bézier曲線間盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線Fig.7 The C1and C2continuous transition curves between Bézier curves as smooth as possible

式中，-3≤ β1≤ 12。

定義4 給定2張參數方向相同的被過渡曲面Si(u,v)(i=1,2)，稱曲面

為第二類過渡曲面，其中H2(v)為參照式（2）表示的第二類調配函數，滿足

圖8 Bézier曲線間過渡曲線的能量值曲線Fig.8 The energy curve of the transition curves between Bézier curves

定理2 由式（13）與式（14）表示的2類過渡曲面具有以下特性：

（2）連續(xù)性：過渡曲面G1(u,)在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C1連續(xù)，過渡曲面G2(u,)則在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C2連續(xù)。

（3）形狀可調性：當被過渡曲面Si(u,)(=1,2)保持固定時，過渡曲面Gi(u,v)(i=1,2)的形狀可分別通過修改參數β1與β2的取值進行調節(jié)。

證明由式（3）與式（13）可得

式（15）表明，過渡曲面G1(u,v)與被過渡曲面在參數v方向保持一致，且在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C1連續(xù)。

由式（4）與式（14）可得

為第一類過渡曲面，其中H1(v)為參照式（1）表示的第一類調配函數，滿足

式（16）表明，過渡曲面G2(u,)與被過渡曲面Si(u,)(i=1,2)在參數v方向保持一致，且在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C2連續(xù)。

由于H1(v)與H2(v)中分別帶有參數β1與β2，故由式（13）與式（14）可知，當被過渡曲面 Si(u,v)(i=1,2)保持固定時，過渡曲面Gi(u,v)(i=1,2)的形狀可分別通過修改參數β1與β2的取值進行調節(jié)。證畢。

例4 設2張被過渡曲面Si(u,v)(i=1,2)的方程分別為

式中，0≤u,v≤1。 當參數β1與β2分別取不同值時，S1(u,v)與 S2(u,v)間形狀不同的 C1與 C2連續(xù)過渡曲面分別如圖9與圖10所示。

圖9 參數取不同值時的C1連續(xù)過渡曲面Fig.9 The C1continuous transition surfaces with different parameters

注6 由圖9與圖10可知,當被過渡曲面Si(u v)(i=1，2)保持固定時,可分別利用參數β1與β2的取值實現對C1與C2連續(xù)過渡曲面形狀的調整。注意到,參數β2對C2連續(xù)過渡曲面的形狀較為敏感,故在實際應用中要根據具體情況選取合適的參數值。

與過渡曲線相似，也可通過調整參數β1與β2的取值使得構造的C1與C2連續(xù)過渡曲面盡可能光順。下面給出參數β1與β2的確定方法。

圖10 參數取不同值時的C2連續(xù)過渡曲面Fig.10 The C2continuous transition surfaces with different parameters

若記

則式（13）可改寫為

據光順準則［14］，過渡曲面G1(u,v)的光順程度可近似地由其能量值來刻畫。能量值Es1越小，表明過渡曲面G1(u,)越光順。

由于式（17）中帶有參數β1(-3≤ β1≤ 12)，因此，當被過渡曲面Si(u,)(i=1,2)保持固定時，要使過渡曲面G1(u,)盡可能光順，只需確定使其能量值Es1盡可能小的參數β1的取值，即可得優(yōu)化模型：

則使得C2連續(xù)過渡曲面G2(u,v)盡可能光順的優(yōu)化模型為

式中bi(i=1,2,3)為常數，分別為

式（19）與式（20）均為二次函數的條件最值問題，易求得參數β1與β2的值，再分別由式（13）與式（14）即可獲得盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面。

注7當給定的被過渡曲面Si（u）（i=1，2）不可積時，式（19）與式（20）中對應的常數ai與bi（i=1，2，3）將無法通過計算獲得精確值，此時可利用數值積分公式（如Simpson公式）計算其近似值。

例5 對于例4中給定的2張被過渡曲面，通過求 解 式（19）與 式（20）可 得 β1=-0.009 1，β2=3.013 3。繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面如圖11所示，過渡曲面的能量值曲線如圖12所示。

圖11 盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面Fig.11 The C1and C2continuous transition surfaces as smooth as possible

圖12 過渡曲面的能量值曲線Fig.12 The energy curve of the transition surfaces

4 結 語

為滿足實際工程對過渡曲線曲面設計的高要求，基于2類帶1個自由參數的調配函數,分別構造了滿足C1與C2連續(xù)的過渡曲線曲面。所構造的過渡曲線曲面的優(yōu)點有：（1）2被過渡曲線曲面可為任意的參數曲線曲面；（2）采用多項式形式，過渡曲線曲面的結構簡潔，計算方便；（3）與2被過渡曲線曲面的參數方向保持一致，符合一般實際工程的需要；（4）含有自由參數，用戶可輕松通過自由參數對過渡曲線曲面的形狀進行調節(jié)。另外，還給出了通過能量優(yōu)化模型確定自由參數的取值使得構造的過渡曲線曲面盡可能光順的方法。如何在保參數方向構造既滿足更高階連續(xù)性要求，又滿足形狀可調的過渡曲線曲面，有待進一步研究。