蔣 虎，李天姣，任 波

(沈陽理工大學 裝備工程學院，遼寧 沈陽110159)

衛(wèi)星的平面軌道估計無論是在執(zhí)行航天任務中，還是在太陽系各種小天體的發(fā)現(xiàn)過程中，都是不可缺少的工作.衛(wèi)星軌道是由衛(wèi)星的初始位置和速度、衛(wèi)星所受作用力確定的[1].衛(wèi)星實際的運動軌跡受多種非地球引力的影響，如地球非球形引力、日月引力等.地面觀測站的雷達受天氣等原因的影響而無法保證觀測精度，因此在進行衛(wèi)星平面軌道估計時容易產生軌道偏離[2].具體來說，因為衛(wèi)星在運動中受多種攝動力的復雜作用，利用地面監(jiān)控系統(tǒng)對衛(wèi)星進行監(jiān)測，難以可靠、準確地測定這些作用力，并且無法掌握它們的作用規(guī)律，所以衛(wèi)星平面軌道估計時會產生較大的誤差[3-4].

衛(wèi)星軌道的確定應根據(jù)衛(wèi)星軌道的當前觀測信息，對下一時刻的軌道信息進行估計，通常使用卡爾曼濾波器，而衛(wèi)星軌道運動模型是非線性的，因此應采用擴展卡爾曼濾波器(EKF)來實現(xiàn)對衛(wèi)星平面軌道運動的估計[5].為了盡量減小衛(wèi)星平面軌道估計的誤差，降低各種干擾因素的影響，本文擬引入擴展卡爾曼濾波器.

1 擴展卡爾曼濾波器在衛(wèi)星平面軌道估計中的應用

擴展卡爾曼濾波器采用將非線性系統(tǒng)線性化之后再濾波的算法.與線性化濾波相比，其優(yōu)勢在于能夠保證濾波偏差足夠小.不同于卡爾曼濾波器的是，擴展卡爾曼濾波器要對狀態(tài)方程和觀測方程中非線性部分進行泰勒展開，求得近似的線性化方程，即求出雅可比矩陣后進行卡爾曼濾波算法遞推估計，從而實現(xiàn)對復雜的衛(wèi)星軌道運動的估計[6-7].

設隨機非線性離散系統(tǒng)方程為：

(1)

式中：Xk為狀態(tài)向量；Zk為觀測向量；f[·]為狀態(tài)非線性函數(shù)；h[·]為觀測非線性函數(shù)；Γk-1為噪聲輸入矩陣；Wk-1、Vk分別為系統(tǒng)離散狀態(tài)噪聲和觀測噪聲，均為零均值白噪聲序列，即

(2)

式中，Qk-1、Rk分別為非負定系統(tǒng)過程噪聲方差陣和正定觀測噪聲方差陣.

式(1)對應的線性狀態(tài)空間模型為：

(3)

式中：Φk,k-1是函數(shù)f[·]的雅可比矩陣；Hk是函數(shù)h[·]的雅可比矩陣.

與卡爾曼濾波算法不同的是，擴展卡爾曼濾波算法需要將式(1)中非線性部分線性化，并通過下列方法計算出Φk,k-1和Hk.

(4)

式中：n為狀態(tài)向量的維數(shù)；Φk,k-1為n×n維矩陣.

(5)

式中：m為觀測向量的維數(shù)；Hk為m×n維矩陣.

擴展卡爾曼濾波器為：

(6)

通過式(6)，可估計衛(wèi)星平面軌道.衛(wèi)星平面軌道擴展卡爾曼估計的原理(圖1)，在于利用衛(wèi)星軌道運動上一時刻的狀態(tài)值和當前時刻的雷達觀測值加權再求和，來估計衛(wèi)星平面軌道.

圖1 衛(wèi)星平面軌道擴展卡爾曼估計原理圖

對圖1分析可知，擴展卡爾曼濾波處理既能保持衛(wèi)星的正常運動狀態(tài)，又能保證估計的精度.

2 衛(wèi)星平面軌道運動模型

在地球萬有引力的作用下，衛(wèi)星的運動軌跡是一個橢圓，這個橢圓所在的平面被稱為軌道平面.在只考慮地心引力而不考慮多種攝動力影響的理想狀態(tài)下，衛(wèi)星平面軌道運動模型如圖2所示.建立該模型后，可將地心設置為坐標原點O，地心正上方p點設為衛(wèi)星運動起始點，而且，以衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉角度來觀測衛(wèi)星的運動.

圖2 衛(wèi)星平面軌道運動模型

衛(wèi)星在規(guī)定軌道中運動時受到地心引力、日月引力、太陽輻射壓力、地球非球形引力、大氣阻力及潮汐力等的作用.除地心引力外，其他攝動力的合力對衛(wèi)星運動的影響很小.衛(wèi)星運動的作用力和相應加速度如表1所示[10].

根據(jù)衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉角度建立的衛(wèi)星平面軌道運動控制方程[11]為：

(7)

式中：r為衛(wèi)星到地心(又稱吸引點)的距離；θ為以Y軸方向為參考偏轉的角度(又稱角位移)；m、g分別為地球質量和萬有引力常數(shù)；ξr和ξθ均為連續(xù)時間不相關的零均值高斯白噪聲.

2.1 衛(wèi)星平面軌道運動狀態(tài)方程

設衛(wèi)星運動狀態(tài)向量為：

(8)

則結合式(7)可得如下衛(wèi)星運動狀態(tài)方程：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中，ξr(k)和ξθ(k)均為離散不相關的零均值高斯白噪聲.

2.2 衛(wèi)星平面軌道運動離散觀測方程

衛(wèi)星平面軌道運動的離散觀測方程為：

(14)

(15)

觀測矩陣可表示為：

(16)

2.3 衛(wèi)星平面軌道運動離散線性化模型

與式(10)對應的離散線性化模型為:

(17)

對式(10)進行泰勒展開可求出函數(shù)fS[·]的雅可比矩陣，即

(18)

綜上，利用擴展卡爾曼濾波器可以估計衛(wèi)星平面軌道(r(k),θ(k)).

3 仿真與結果分析

3.1 衛(wèi)星平面軌道運動軌跡

在不加入過程噪聲的情況下，衛(wèi)星的真實軌跡是一個橢圓.根據(jù)衛(wèi)星偏轉角度，將狀態(tài)量中衛(wèi)星到地心距離分解為X軸和Y軸方向兩個分量，并將衛(wèi)星在軌道中具體位置用其坐標(X，Y)來表示.根據(jù)衛(wèi)星平面軌道運動模型得到的仿真結果如圖3所示.

圖3 衛(wèi)星平面軌道運動仿真結果

對比圖2和圖3可知，衛(wèi)星平面軌道運動仿真結果與理論的衛(wèi)星平面軌道一致.

3.2 衛(wèi)星到地心距離與衛(wèi)星偏轉角度的變化

3.2.1 衛(wèi)星到地心距離的變化

在衛(wèi)星平面軌道估計中，衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉角度是重點.

通過仿真，衛(wèi)星到地心距離隨采樣時間的變化情況如圖4所示.

圖4 衛(wèi)星到地心距離隨采樣時間的變化情況

從圖4(a)可以看出，隨著采樣時間的增加，衛(wèi)星到地心距離的變化是一個先增后減的過程，因此衛(wèi)星的平面運動軌跡是橢圓形且是偏心的.從圖4(b)可以看出，擴展卡爾曼濾波器對衛(wèi)星平面軌道的估計效果較好，濾波后衛(wèi)星到地心的距離誤差可控制在1 km以內，符合工程實際的需要.

3.2.2 衛(wèi)星偏轉角度的變化

通過仿真，衛(wèi)星偏轉角度隨采樣時間的變化情況如圖5所示.圖5中，對應于衛(wèi)星偏轉角度的真實值、觀測值和擴展卡爾曼濾波值，分別用實線、虛線和星形線來表示.

圖5 衛(wèi)星偏轉角度隨采樣時間的變化情況

從圖5(a)可以看出，經擴展卡爾曼濾波處理，衛(wèi)星偏轉角度的變化比真實值和雷達觀測值的規(guī)律性更強.從圖5(b)可以看出，對應于EKF值，衛(wèi)星偏轉的最終角度剛好達到了360°，即在這段時間內，衛(wèi)星剛好轉動一周.

3.3 衛(wèi)星平面軌道的估計誤差

針對衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉角度，分別用雷達觀測值和擴展卡爾曼濾波估計值，與真實值進行比較.雷達觀測和EKF估計的誤差效果如圖6所示.

圖6 雷達觀測和EKF估計的誤差效果

4 結束語

衛(wèi)星在地心引力作用下的運動軌跡為橢圓形.衛(wèi)星平面軌道運動的仿真結果表明，利用擴展卡爾曼濾波器對衛(wèi)星軌道估計是合理的，可以顯著提高衛(wèi)星平面軌道的估計精度，在工程應用中具有意義.

本文建立的是二維模型，未來可通過三維模型對衛(wèi)星軌道運動進行估計，并且在建模的過程中要全面考慮多種攝動力的影響.