□吳淑家

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為， “表征” 是認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵，他將兒童認(rèn)知分成動(dòng)作表征、形象表征和符號(hào)表征等發(fā)展階段。筆者結(jié)合日常的教學(xué)實(shí)踐，探索多元表征下有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的策略，提出一些思考。

一、以動(dòng)作表征為基點(diǎn)，捕捉運(yùn)算本質(zhì)

動(dòng)作是進(jìn)行腦力勞動(dòng)的基點(diǎn)。在運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中， 充分讓學(xué)生借助動(dòng)作去感知， 能將抽象枯燥的運(yùn)算， 在心理活動(dòng)中進(jìn)行靈活再現(xiàn)， 來(lái)觸動(dòng)大腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)并建立聯(lián)系， 由此領(lǐng)悟其中的本質(zhì)特征。

北師大版二年級(jí)下冊(cè) 《搭一搭》： 這節(jié)課是有余數(shù)的除法的起始課，什么是余數(shù)，為什么余數(shù)要比除數(shù)小？ 教材中只進(jìn)行一次操作。在操作的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)余數(shù)的特征 “1、 2、 3、 0、 1、2、3、0……” 不斷重復(fù)出現(xiàn)， 但這還不足以讓學(xué)生將余數(shù)與除數(shù)建立聯(lián)系，一個(gè)特例讓學(xué)生產(chǎn)生所有的除法中只要有余數(shù)，余數(shù)規(guī)律都是一樣的錯(cuò)覺(jué)。因此，教師在此基礎(chǔ)上繼續(xù)讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[ “三角形（除數(shù)是3）”、“小樹(shù) （除數(shù)是7）”，充分動(dòng)手感知， 促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突： 為什么擺三角形， 余數(shù)最大是2，擺小樹(shù)時(shí)余數(shù)最大是6？還剩下6 根，這么多，為什么不能再擺呢？余數(shù)到底與誰(shuí)有關(guān)系呢？

手 “動(dòng)” 很快引發(fā)眼 “動(dòng)”、腦 “動(dòng)”， 學(xué)生自然而然地將剩余的根數(shù)與擺1 個(gè)圖形的根數(shù)建立起聯(lián)系 （除數(shù)）， 從而感悟到： 原來(lái)不足擺一個(gè) “除數(shù)”， 剩下的那部分就叫做余數(shù)， 這就是余數(shù)的本質(zhì)， 因?yàn)橛鄶?shù)不足一個(gè)除數(shù)， 所以比除數(shù)小。 以動(dòng)作表征為基點(diǎn)，將看不見(jiàn)、 摸不著的抽象概念可感化、可視化，運(yùn)算本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系就被顯現(xiàn)出來(lái)，由此讓學(xué)生更好地接受與吸收。

二、以形象表征為支點(diǎn)，培養(yǎng)運(yùn)算能力

運(yùn)算是由抽象的數(shù)字、符號(hào)組成， 學(xué)生對(duì)于運(yùn)算更多就是依“法”辦事、不講 “道理”，從而導(dǎo)致運(yùn)算失去生機(jī)。形象表征是將知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)借助圖像或其他圖形表示出來(lái)。 在運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中有效地利用它， 可以將這些只有 “靈魂” 的知識(shí)還以 “肉身”， 為大腦的解讀建立支點(diǎn)， 從而由內(nèi)而外的理解知識(shí)， 真正地提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

北師大版二年級(jí)下冊(cè) 《搭一搭》，34÷5 余數(shù)除法教后，出現(xiàn)過(guò)這樣的典型錯(cuò)題： 由于學(xué)生只關(guān)注： 想商時(shí)， 要讓商與除數(shù)的積最接近被除數(shù)這個(gè)規(guī)則，而錯(cuò)解了余數(shù)的意義，將缺少1 根當(dāng)成了余數(shù) （見(jiàn)表1）。 第一、 二種解說(shuō)執(zhí)教者只用了 “空洞” 的語(yǔ)言符號(hào)，學(xué)生借助聽(tīng)覺(jué)， 難以將看似簡(jiǎn)單卻蘊(yùn)涵復(fù)雜含義的數(shù)字與系統(tǒng)中已有的知識(shí)建立聯(lián)系，仍然處于迷茫之中。 解說(shuō)三將抽象的運(yùn)算穿上“形” 衣， 讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)， 有了圖這座橋梁，對(duì)于除法、余數(shù)的本質(zhì)特征變得可摸、可看、可分析，從而為學(xué)生架起思維的支點(diǎn)，將運(yùn)算的 “法” 與 “理” 進(jìn)行無(wú)縫鏈接，學(xué)生不僅會(huì)算還能說(shuō)理，在不知不覺(jué)中運(yùn)算能力也就得到提高。表征，它們之間往往相互滲透、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化。在運(yùn)算過(guò)程中有效地將多種表征方式進(jìn)行融合，有助于學(xué)生全面理解運(yùn)算的本質(zhì)，加深對(duì)各種運(yùn)算的認(rèn)識(shí)， 從而完善運(yùn)算結(jié)構(gòu)，形成穩(wěn)固的知識(shí)體系，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

表1 34÷5 余數(shù)除法解說(shuō)

北師大版一年級(jí)下冊(cè) 《摘蘋(píng)果》， 兩位數(shù)相加 （進(jìn)位加法）：38+17。

學(xué)生依次出現(xiàn)上面3 種方法（圖3－圖5），并逐一進(jìn)行解說(shuō)。

問(wèn)題：這3 種方法有什么相同點(diǎn)？

三、以多種表征為融點(diǎn)，完善運(yùn)算結(jié)構(gòu)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中， 無(wú)論是動(dòng)作表征、 圖形表征還是語(yǔ)言、 符號(hào)

（圖3）

（圖5）

生1：它們都是在算38+17

生2：算的時(shí)候都將相同數(shù)位對(duì)齊。

生3：都有滿十進(jìn)一。

……

追問(wèn)：“滿十進(jìn)一”中的 “10”在哪？“1”在哪？

學(xué)生在小棒、計(jì)數(shù)器、豎式中分別找到10 與1。

（小棒： 分散的10 根捆成1捆； 計(jì)數(shù)器： 個(gè)位上10 顆珠換成十位上1 顆珠； 豎式： 個(gè)位上10變成十位上的1。）

各種表征方法由具體的小棒、計(jì)數(shù)器到抽象的豎式，在教師追問(wèn)過(guò)程中慢慢融合， 它們樣子不一樣，但使用的方法、說(shuō)明的道理都一樣： “滿十進(jìn)一” 都是表示個(gè)位10 個(gè)一變成十位1 個(gè)十，抽象的運(yùn)算法則變得可演、可現(xiàn)、易理解。

追問(wèn)： 那么如果十位上滿10要怎么辦？（學(xué)生計(jì)算46+54）

學(xué)生：十位上滿10 要變成百位上的1。

追問(wèn)： 如果百位上滿10 呢？千位上滿10 呢？

……

小結(jié)： “滿十進(jìn)一” 表示哪位上滿10 就變成更高的一位上的1。

通過(guò)找小棒、 計(jì)數(shù)器、 豎式中的 “滿十進(jìn)一”， 借 “形” 突顯兩位數(shù)進(jìn)位加法的本質(zhì)， 促使學(xué)生深入理解、掌握 “個(gè)位滿十向十位進(jìn)一”的運(yùn)算方法，并借助類(lèi)比推理， 得到 “十位滿十向百位進(jìn)一、 百位滿十向千位進(jìn)一……”，從點(diǎn)到面，由此真正認(rèn)識(shí) “滿十進(jìn)一”的意義，從而為以后學(xué)習(xí)三位數(shù)、四位數(shù)……進(jìn)位加法打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。這樣，學(xué)生不再只是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而是一個(gè)知識(shí)面的把握，由此有效建構(gòu)加法豎式計(jì)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。