田雨昊

摘要：文章首先對泰勒中值定理、泰勒公式的幾種形式進行了介紹，其次針對泰勒公式的應(yīng)用討論了五個問題，即求極限、證明不等式、求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，近似計算及判斷廣義積分的斂散性.

關(guān)鍵詞：泰勒公式;極限;不等式; 冪級數(shù);近似計算;廣義積分斂散性

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）17-0270-03

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1 引言

在過去的一個世紀中，科學家們的不懈努力，使得近代數(shù)學有了跨越式的發(fā)展，其中泰勒公式最初是在1712年由英國數(shù)學家布魯克提出的.泰勒在一封書信提道：將函數(shù)展開成無窮級函數(shù)的定理是他在微積分領(lǐng)域最輝煌功績.定理的內(nèi)容通常表述為：某點附近的函數(shù)可以通過該點處的函數(shù)值和無窮多個導數(shù)來表示。

泰勒公式在高等數(shù)學中具有不可或缺的地位，在數(shù)學分析中也占有一席之地.對于一些不容易處理的復雜函數(shù)，我們更希望用一些簡單的多項式來近似代替函數(shù).而對于具有較高精確度，且不得不考慮函數(shù)誤差的情況，用高次多項式來近似代替函數(shù)則成了一種必要方法，并列出誤差的表達公式.泰勒公式經(jīng)常被應(yīng)用于很多問題的解決.本文將重點介紹泰勒公式的內(nèi)容及其應(yīng)用，如何將泰勒公式應(yīng)用于極限，證明不等式，并寫出初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，近似計算和廣義積分的斂散性的判斷，旨在加深對泰勒公式的認知。

2 預(yù)備知識

2.1 泰勒中值定理

如果函數(shù)F（x）在[x0]存在的某開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有最多（n+1）階的導數(shù)，則對任意一個[x?]（a，b），都有：

3.2 求極限

我們在求解一個三角函數(shù)與冪函數(shù)復合的例子里，用等價無窮小等方法進行化簡求解可能很困難，所以可用泰勒公式來進行化簡求解，更方便和容易進行化簡和求解。

例? 利用泰勒公式求下列極限：

那么問題來了，不能沒有盡頭的展開，展開多少項才會合適呢？ 經(jīng)過觀察可以得出結(jié)果：使用泰勒公式展開的階數(shù)差：分子分母同時出現(xiàn)不為0（消不掉）的最小次數(shù)[n，這樣低于n]階的項都消掉了，而高于[n]階的項極限都分0，高階無窮小的出現(xiàn)不影響極限的運算，高階無窮小項的極限也為0.因此，據(jù)分析上述函數(shù)展開至第二項即可.即：

3.3 進行近似計算

泰勒公式善于求出某不能[1]求出[2]其精確值而只能求出近似值的算術(shù)式.而且在利用泰勒公式求近似值時，其余項可以估計出誤差。

4結(jié)語

如何用簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)，是高等數(shù)學中一直研究的問題，多項式是最容易被我們所理解并且熟練掌握的簡單函數(shù)，用簡單的多項式來近似替換復雜的函數(shù)也是泰勒公式最具有意義的研究結(jié)果，它為我們提供了一個可以將復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單多項式的條件基礎(chǔ)，并給出了誤差近似代替項，在不同條件下，誤差項又可分為拉格朗日余項和佩亞諾余項，從余項的表達式可以看出，泰勒公式只有在局部小范圍內(nèi)，才具有實際應(yīng)用的意義。麥克勞林公式是泰勒公式的一個特例，是使用泰勒公式時最常用的形式。掌握和使用泰勒公式，對解決數(shù)學中一系列問題具有重要意義。

參考文獻：

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[4]? 溫少挺，闕鳳珍.泰勒公式及其應(yīng)用技巧[J].數(shù)學學習與研究，2016（23）.

【通聯(lián)編輯：光文玲】