藍(lán)新容

【摘要】抽屜原理也被稱為鴿巢原理，它是初等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理.本文首先給出了它的起源與歷史，接下來給出了其數(shù)學(xué)表達(dá)形式并且給出了原理的證明以及使用規(guī)范，其次分析了在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中講述抽屜原理的必要性，同時(shí)給出了初等數(shù)學(xué)不同學(xué)段對(duì)抽屜原理的講授程度、方式，以及與之相對(duì)應(yīng)的典型案例，最后給出了關(guān)于原理的認(rèn)識(shí)與小結(jié).

【關(guān)鍵詞】抽屜原理;起源;歷史;使用規(guī)范;初等數(shù)學(xué)教學(xué)

一、抽屜原理的起源與歷史

（一）國外起源與歷史

抽屜原理又叫鴿籠原理，它是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先于19世紀(jì)初期發(fā)現(xiàn)的，亦稱狄利克雷原理，狄利克雷給出的定義是這樣的：“如果有五個(gè)鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當(dāng)鴿子飛回籠中后，至少有一個(gè)籠子中裝有2只鴿子.”最早狄利克雷是運(yùn)用抽屜原理去解決數(shù)論的問題.

19世紀(jì)中葉德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基也運(yùn)用該原理得到許多重要結(jié)果.20世紀(jì)初期杜爾首次利用鴿籠原理來解決不定方程的有理數(shù)解的問題.并且發(fā)表了12篇論文都用到了抽屜原理.大約同一時(shí)期西根利用杜爾的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了西根引理，并且將其作為最基本的工具研究超越數(shù).

（二）國內(nèi)起源于歷史

中國古代數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域都取得了重大成就，當(dāng)然，對(duì)抽屜原理也是有過一些自己的表述，《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事.這個(gè)故事就包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理──抽屜原理.另外，在宋代費(fèi)袞的《梁溪漫志》中，就曾運(yùn)用抽屜原理來批駁“算命”一類迷信活動(dòng)的謬論.費(fèi)袞指出：把一個(gè)人出生的年、月、日、時(shí)作算命的根據(jù)，把“時(shí)”作為“抽屜”，不同的抽屜只有12×365×24=105120個(gè).從而有力地從數(shù)學(xué)角度上反駁了“算命”.

二、抽屜原理的數(shù)學(xué)表達(dá)形式

（一）第一抽屜原理

原理1 把多于（n+1）個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件.

證明 （反證法）如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設(shè)的n+k（k≥1），故不可能.

推論一 設(shè)把（n+1）個(gè)元素劃分至n個(gè)集合中（A1，A2，…，An），用a1，a2，…，an分別表示這n個(gè)集合對(duì)應(yīng)包含的元素個(gè)數(shù)，則至少存在某個(gè)集合Ai，其包含元素個(gè)數(shù)值ai大于或等于2.

證明 （反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ai<2，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤1，

于是有：a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n

所以，至少有一個(gè)ai≥2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素.

原理2 把無窮多件物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里有無窮個(gè)物體.

證明 （反證法）將無窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合，假設(shè)這有限個(gè)集合中的元素的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)，則有限個(gè)有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)集合含有無窮多個(gè)元素.（借由康托的無窮基數(shù)可將鴿巢原理推廣到無窮集中.）

說明一 原理1，原理2，都是對(duì)第一抽屜原理的表述，其反映的問題本質(zhì)數(shù)相同的，其中對(duì)“至少”的理解應(yīng)該是思維的核心.

說明二 由康托的無窮基數(shù)理論可將鴿巢原理推廣到無窮集中.

（二）第二抽屜原理

原理1 把（m×n-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體.

例 將19個(gè)物體放入5個(gè)抽屜中，則必定有一個(gè)抽屜中的物體至多為3個(gè).由第二抽屜原理?xiàng)l件：n=5（m×n-1=19），即5m-1=19，m=4;由第二抽屜原理結(jié)論必有一個(gè)抽屜至多有m-1=4-1=3個(gè)物體.

證明 （用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一ai都有ai≤nk，a1+a2+…+ak≤nk+nk+…+nk=knk=n，k個(gè)nk，∴a1+a2+…+ak

說明三 高斯函數(shù)[x]定義：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”.一般地，我們有：[x]≤x<[x]+1.

三、抽屜原理使用規(guī)范

在使用抽屜原理解決問題時(shí)，實(shí)質(zhì)是對(duì)“至多”“至少”問題的一種處理方式，關(guān)鍵恰恰是對(duì)抽屜的構(gòu)造，在所謂的“二桃殺三士”中，桃子是“抽屜”，只有兩個(gè)，勇士是“物體”，有三個(gè)，物體數(shù)多于抽屜數(shù)，所以產(chǎn)生矛盾.

在抽屜原理的使用中，抽屜的構(gòu)造是關(guān)鍵，構(gòu)造抽屜實(shí)際上就是要“尋找到合理的分類，將問題數(shù)學(xué)抽象化”，在數(shù)學(xué)之中易于想到的是區(qū)間，數(shù)組，圖形等構(gòu)造抽屜.下面將給出在初等數(shù)學(xué)不同學(xué)段對(duì)抽屜原理的講授程度、方式，以及與之相對(duì)應(yīng)的例子，希望對(duì)廣大初中數(shù)學(xué)教師所幫助.

四、對(duì)抽屜原理在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在初等數(shù)學(xué)的不同階段有不同的目標(biāo).其中，知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度的發(fā)展四個(gè)方面的目標(biāo)是一個(gè)密切聯(lián)系的有機(jī)整體，對(duì)人的發(fā)展具有十分重要的作用，它們是在豐富多彩的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的.抽屜原理在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)好玩的作用，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)的思考，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維分析問題的意識(shí)，因此，在初等數(shù)學(xué)之中結(jié)合學(xué)生思維及心理發(fā)展以及教材安排講解抽屜原理是不可或缺的.

（一）對(duì)抽屜原理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在小學(xué)階段的新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)總目標(biāo)之中明確提出了知識(shí)與技能目標(biāo)：經(jīng)歷提出問題、收集和處理數(shù)據(jù)、做出決策和預(yù)測(cè)的過程，掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并能解決簡(jiǎn)單的問題.解決問題目標(biāo)：形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神.為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，培養(yǎng)好的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

以教育部2013年審定通過北京師范大學(xué)出版的義務(wù)教育小學(xué)教科書為參考，容易發(fā)現(xiàn)在書中第一冊(cè)至十二冊(cè)都有以數(shù)學(xué)好玩為單獨(dú)模塊，在四年級(jí)上冊(cè)的第八節(jié)講解了“可能性”即不確定性.同時(shí)在五年級(jí)上冊(cè)第七節(jié)也安排了“可能性”的內(nèi)容作為補(bǔ)充.另外，在四年級(jí)下冊(cè)第六節(jié)講解了“數(shù)據(jù)的分析與表示”，在六年級(jí)上冊(cè)第五節(jié)安排了“數(shù)據(jù)處理”，這樣安排是完全符合學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展心理學(xué)的.

根據(jù)這樣的安排可以在六年級(jí)上冊(cè)第五節(jié)講完數(shù)據(jù)處理之后，在下一次課程可以通過“二桃殺三士”的故事，通過引導(dǎo)將抽屜原理一講述給學(xué)生，再舉下面一個(gè)簡(jiǎn)單的問題.

首先教師：講述“二桃殺三士”的故事，給出國外數(shù)學(xué)家狄利克萊解決這樣問題的方法“狄利克萊原理”也稱為第一抽屜原理.提出解決這樣類似的問題關(guān)鍵是尋找“抽屜”在這個(gè)故事之中2個(gè)桃子就是抽屜.

下面給出一個(gè)關(guān)于抽屜原理的實(shí)際問題

問題：將4支鉛筆放入3個(gè)筆筒一共有多少種放法？這些放法有什么特點(diǎn)？

學(xué)生分組討論：每組準(zhǔn)備4支鉛筆3個(gè)筆筒.

小組合作：將鉛筆放進(jìn)筆筒，觀察結(jié)果，并做如下記錄，第一個(gè)筆筒放1支，第二個(gè)筆筒放枝1支，第三個(gè)筆筒放2支，計(jì)為（1，1，2）.

匯總小組結(jié)果：發(fā)現(xiàn)結(jié)果有（0，0，4），（0，1，3），（0，2，2），（1，1，2）.

引導(dǎo)學(xué)生觀察四種放置結(jié)果有何共同點(diǎn)，得出至少有一個(gè)筆筒里面有兩支鉛筆.

教師板書：4÷3=1（支）……1，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出：至少數(shù)=商+1.

教師進(jìn)一步提出假如變成5支鉛筆放入3個(gè)筆筒，提問學(xué)生得出結(jié)果教師板書出為（0，0，5），（0，1，4），（0，2，3），（1，1，3），（1，2，2）.

教師板書：5÷3=1（支）……2，至少數(shù)=商+1仍然成立.

教師總結(jié)：“本題之中抽屜就是筆筒數(shù)量”，總結(jié)出的結(jié)論至少數(shù)=商+1，實(shí)際上就是抽屜原理的一種表述形式.

（二）對(duì)抽屜原理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)總目標(biāo)當(dāng)中指出發(fā)展學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基礎(chǔ)技能、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間觀念、解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題的能力.

所以在數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計(jì)部分在2012年教育部審定通過的北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育教科書中在七年級(jí)上冊(cè)第六章給出了“數(shù)據(jù)收集與整理”等關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的入門知識(shí)，接著在七年級(jí)下冊(cè)的第六章“概率初步”給出了隨機(jī)事件與簡(jiǎn)單的概率的計(jì)算，在八年級(jí)上冊(cè)第六章“數(shù)據(jù)的分析”給出了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行刻畫，在九年級(jí)上冊(cè)中“對(duì)概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)”則通過游戲是否公平，投針試驗(yàn)，生日日期相同的概率三個(gè)比較具有代表性的案例.

初中階段的學(xué)生具有了自己對(duì)概率統(tǒng)計(jì)問題的認(rèn)識(shí)與思考，同時(shí)在初中階段是學(xué)生身心發(fā)展最迅速的時(shí)期，對(duì)知識(shí)的渴求十分強(qiáng)烈，蘇聯(lián)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)指出教學(xué)一方面，要適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有的水平，但更重要的是發(fā)揮教學(xué)對(duì)發(fā)展的主導(dǎo)作用，走在兒童發(fā)展的前面，在九年級(jí)上冊(cè)講解了三個(gè)案例之后根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論給出第二抽屜原理，同時(shí)可以給出類似于下面的一個(gè)例子，以幫助初中學(xué)生進(jìn)一步提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

例 在3×4的長方形中，任意放置七個(gè)點(diǎn)，必有兩個(gè)點(diǎn)的距離至多為5.

分析 如圖1所示的為3×4=12的長方形，將其分割成2×1的小矩形如圖2所示，可以得到6個(gè)形如圖2所示的2×1的小矩形，由此就構(gòu)造了6個(gè)抽屜，那么對(duì)任意放置的七個(gè)點(diǎn)，必有兩點(diǎn)落入其中一個(gè)形如圖2所示的小矩形之中.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)，唯有揭示本質(zhì)的東西才是易于推廣的，分析問題實(shí)質(zhì)是第二抽屜原理的應(yīng)用，構(gòu)造6個(gè)抽屜，由第二抽屜原理12÷7≈1.71，[1.71]=2，故至少有一個(gè)抽屜要放置兩個(gè)點(diǎn).根據(jù)對(duì)角線最長原理，容易得到5.

（三）對(duì)抽屜原理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要.包括必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力.提高提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

以2004年審議通過的人民教育出版社出版的人教A版普通高中實(shí)驗(yàn)教科書的編排來看，在必修三用一冊(cè)書來在義務(wù)教育的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步講統(tǒng)計(jì)概率，學(xué)完這部分知識(shí)，中學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)具有了很強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)思維以及概率意識(shí)，但是，對(duì)學(xué)過的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的有用性缺乏信心，在這樣的情況之下數(shù)學(xué)教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者可以給出利用階段學(xué)過的知識(shí)為背景的一個(gè)情境豐富，實(shí)際應(yīng)用性較強(qiáng)的關(guān)于抽屜原理的案例，幫助這個(gè)階段的學(xué)生提升對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要性的認(rèn)識(shí).同時(shí)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

例 證明對(duì)任意給定的2010個(gè)自然數(shù)ai（1≤i≤2010）中可以找到若干個(gè)數(shù)，使得它們的和是2010的倍數(shù).

證明 以0，1，2，…，2009，即被2010除的余數(shù)分類制造抽屜，將下列數(shù)作為抽屜中的元素：

s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…，s2010=a1+a2+a3+…+a2009+a2010.

如果上述2010個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是2010的倍數(shù)，則問題得證;如若不然，根據(jù)抽屜原理，至少存在兩個(gè)數(shù)sm，sn，它們被2010整除余數(shù)相同，則它們的差sm-sn，仍然為ai（1≤i≤2010）中若干個(gè)數(shù)之和可以被2010整除，綜上，命題得證.

五、小 結(jié)

總之，在給出抽屜原理的背景及相關(guān)概念的基礎(chǔ)之上，結(jié)合現(xiàn)行使用相對(duì)廣泛的初等數(shù)學(xué)教材教法詳細(xì)分析了在初等數(shù)學(xué)教學(xué)之中講述抽屜原理的時(shí)間階段、內(nèi)容、程度，力求符合數(shù)學(xué)教育學(xué)的規(guī)律和教育心理學(xué)對(duì)學(xué)生身心發(fā)展的要求，并且希望通過抽屜原理滲透數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)史的一些內(nèi)容使得學(xué)生在初等數(shù)學(xué)階段愛上數(shù)學(xué)，同時(shí)對(duì)廣大的中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)有所幫助和啟發(fā).

【參考文獻(xiàn)】

[1]張文俊.數(shù)學(xué)欣賞[M].北京：科學(xué)出版社，2011：137-142.

[2]李雪敏，沈林.抽屜原理及其應(yīng)用[J].旅游縱覽，2013（9）：292.