廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510600)何重飛 鐘進(jìn)均 陳 亮

立體幾何作為綜合考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的重要載體,是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一.近幾年來,立體幾何試題的題型題量、分值分配、難度系數(shù)等都相對穩(wěn)定,隨著新課改的不斷推進(jìn),特別是強(qiáng)調(diào)“以能力立意”逐漸轉(zhuǎn)向“以素養(yǎng)立意”為命題原則的背景下,立體幾何試題穩(wěn)中有變,如以往第19 題立體幾何,第20 題解析幾何,2018年全國II 卷中這兩題順序顛倒,說明立體幾何試題正在嘗試增加難度,能力要求也在提升,今后立體幾何試題將更加突出考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.另外,高考數(shù)學(xué)考試大綱從2017年起作調(diào)整,將以前三個選考模塊中的“幾何證明選講”模塊刪去,這并不意味著這塊內(nèi)容不考,而是融入到解析幾何特別是立體幾何中考查,考得更加隱蔽,更加靈活.因此,教師在立幾試題的遴選與命制過程中須充分考慮這一點,在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中,須明確考綱、注重基礎(chǔ)、重視概念、強(qiáng)化運算、提高素養(yǎng)、增強(qiáng)能力.

下面筆者以一道高三三校聯(lián)考立體幾何試題為例,談?wù)劰P者命制此題的一些背景、意圖和設(shè)想,然后依據(jù)此題解答過程與方法以及學(xué)生答題情況做出點評與分析,并就立幾內(nèi)容高考復(fù)習(xí)備考給出一些思考和建議,希望可以得到同行們的批評指正.

一、試題呈現(xiàn)

(此題是2019 屆高三理科三校(廣鐵一中、廣大附中、廣外)期末聯(lián)考試題第20 題)

如圖1,平面五邊形ABCDE 中,∠ABC=∠AEC =∠CDE=90°,AC//DE,AE=2,ED=3,將△ABC 沿AC 折起,使平面ABC⊥平面ACDE,得到如圖2所示的幾何體.

圖1

圖2

(I)求證：平面ABE⊥平面BCD；

二、試題評析

1.試題原型與背景

2017年起考試大綱刪除了《幾何證明選講》這一選考模塊,平面幾何內(nèi)容的考查將融入立體幾何和解析幾何試題當(dāng)中,立體幾何試題在側(cè)重考查空間想象能力和推理論證能力的同時,也適當(dāng)加大了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查； 2018年全國I卷文理科第18 題都考查了平面圖形翻折問題.在這一背景下,筆者結(jié)合最新考綱要求命制改編出此題,此題的原型是2017年廣州一測理科數(shù)學(xué)第19 題.

題目(2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)理科數(shù)學(xué)第19 題)如圖3,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點E 是BC 的中點,將△ABD 沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖4所示的幾何體.

(I)求證：AB⊥平面ADC；

(II)若AD=1,二面角C -AB-D 的平面角的正切值為求二面角B-AD-E 的余弦值.

圖3

圖4

2.命題意圖與設(shè)想

立體圖形中的翻折問題,在平面幾何問題與立體幾何問題之間建立了橋梁,對學(xué)生進(jìn)一步理解立體圖形發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.借助幾何直觀,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,把握圖形之間的關(guān)系,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),對提升幾何直觀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)大有幫助.因此,以簡單熟悉的平面圖形翻折問題為背景命制此題,預(yù)期達(dá)到考查學(xué)生能力提高學(xué)生素養(yǎng)的目的.一是翻折問題對學(xué)生空間想象能力要求較高,二是平面圖形設(shè)置了線段推理計算的障礙,鑒于此,從試卷的整體性考慮,把此題放在了全卷的第20 題.

第一問意圖考查空間(點線面等)位置關(guān)系中面與面垂直的證明問題,考查學(xué)生空間想象能力與推理論證能力,考查學(xué)生是否能抓住圖形翻折前后之間的關(guān)系,并應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想論證面面位置關(guān)系.

第二問意圖考查空間(角、距離、體積)度量關(guān)系中二面角的計算問題,考查學(xué)生識圖、構(gòu)圖、作圖、析圖的推理分析能力、空間想象能力以及數(shù)學(xué)運算能力,其中一個重要的創(chuàng)新亮點在于把平面幾何中的長度角度計算問題融入在此題中,間接考查平面幾何中的直角梯形、三角形全等與相似以及勾股定理等基礎(chǔ)知識.

3.試題解答與分析

試題解答

(I)證明：因為∠ABC =∠AEC =∠CDE =90°,所以AB⊥BC,CD⊥ED,又AC//DE,所以CD⊥AC,又因為平面ABC⊥平面ACDE,且平面ABC∩平面ACDE =AC,CD ?面ACDE,所以CD⊥平面ABC,又AB ?平面ABC,所以CD⊥AB,又BC ∩CD=C,且BC,CD ?平面BCD,所以AB⊥平面BCD,又AB ?平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCD.

點評這一問大部分學(xué)生都可以得分,相當(dāng)一部分學(xué)生拿不到滿分主要是書寫不規(guī)范,漏條件；也有少部分學(xué)生概念不清,不能夠準(zhǔn)確理解線面垂直、面面位置的判定與性質(zhì),邏輯推理論證能力不足,條理混亂.這一問關(guān)鍵點是需要抓住翻折過程中始終保持不變的△ABC 平面,即AB⊥BC；本題的一個難點是待證的兩個平面在幾何體中只出現(xiàn)了一個交點,另一個難點是線線垂直、線面垂直、面面垂直之間論證的定位與互相轉(zhuǎn)化；因此解決此類問題,須熟練掌握線面,面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理,加強(qiáng)邏輯推理與空間想象能力.

圖5

(II)法一(綜合法)如圖5所示,由題意知四邊形ACDE 為直角梯形,過點E 作EF⊥AC 交AC 于點F,所以四邊形EDCF為矩形,設(shè)EF=CD=x,因為AE=2,ED=3,且AE⊥EC,所以在R t △AEC 中,AE2+EC2=AC2,即解得由(1)知CD⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC,所以EF⊥AB,過點F 作FG⊥AB 交AB 于點G,連結(jié)GE,因為AB⊥GF,AB⊥EF,GF ∩EF=F,且EF,GF ?面GEF,所以AB⊥平面GEF,又GE ?面GEF,所以AB⊥GE,所以∠EGF 即為二面角C-AB-E的平面角,因 為所以又因為R t △AGF ∽R t △ABC,所以所以過點F 作FH⊥BC 交BC 于點H,連結(jié)HE,因為BC⊥HF,BC⊥EF,EF ∩HF =F,且EF,HF ?面EFH,所以BC⊥平面EFH,又HE ?面EFH,所以BC⊥HE,所以∠EHF 即為二面角A - BC - E 的平面角,又因為R t △CHF ∽Rt△CBA,所以所以在R t △EHF 中,則有所以

圖6

法二(坐標(biāo)法)如法一,先求得如圖6,過點F 作FZ⊥平面ACDE,則FE,FC,FZ 兩 兩垂 直,以分 別 為x 軸,y 軸,z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因為F(0,0,0)、A(0,-1,0)、設(shè)易知n1=(1,0,0)為平面ABC 的一個法向量.

設(shè)平面ABE 的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則由取x2=1 得設(shè)二面角C -AB-E 的平面角為θ1,則因為又

易知θ2為銳角,所以即二面角A-BC -E的余弦值為

點評第二問學(xué)生答題情況比較糟糕,得分率很低,極少數(shù)學(xué)生能拿到滿分,且拿滿分的學(xué)生大都是采用綜合法.此問不管是采用綜合法還是坐標(biāo)法,學(xué)生首要的障礙是平面直角梯形ACDE 中沒有給出CD 的長度,而是要通過已知條件中的長度角度關(guān)系來求解,這正是求解此問的難點和關(guān)鍵點,也是筆者精心設(shè)計此題的亮點所在.從學(xué)生的答題情況可以看出學(xué)生平面幾何基礎(chǔ)知識薄弱,漏洞較大,缺乏有效的訓(xùn)練.雖然現(xiàn)行考試大綱刪除了“幾何證明選講”模塊,但在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中平面幾何知識絕不能忽視,建議將這一部分內(nèi)容融入到解析幾何特別是立體幾何專題復(fù)習(xí)中,增強(qiáng)學(xué)生解決問題的靈活性與應(yīng)用型.

方法一采用綜合法,關(guān)鍵在于明確二面角的概念.首先根據(jù)空間圖形及點線面位置關(guān)系準(zhǔn)確作出所需二面角的平面角,其次根據(jù)二面角的定義利用三垂線定理及其逆定理證明所作之角即為所需二面角的平面角,最后依據(jù)點線面位置關(guān)系將空間需求的長度與角度計算問題轉(zhuǎn)化到平面幾何圖形中求解,這個解題過程即是綜合法求解空間角問題的“一作、二證、三計算”三步驟解題思路.可以看出,綜合法求解空間角須始終明確空間角的概念,準(zhǔn)確把握點線面的位置關(guān)系,明確空間角的概念是識圖、辨圖、構(gòu)圖、析圖的前提,是幾何法解決空間角問題的根本.

方法二采用坐標(biāo)法,前提跟法一一樣,須在平面直角梯形ACDE 中求出CD 長度,然后根據(jù)線面、面面位置關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.利用空間向量解決此問的一個明顯特征就是建系容易,標(biāo)坐標(biāo)不易,有的坐標(biāo)比如B 點坐標(biāo)還需要根據(jù)點線面的位置關(guān)系列出向量運算方程來求解,加大了難度,對代數(shù)方程思想的運用以及運算求解能力要求較高.一般情況下,在相對規(guī)則、“墻角”比較明顯、建系方便的立體圖形中,采用坐標(biāo)法解決空間角問題往往比較簡單,可以降低思維難度,以算代證,數(shù)形結(jié)合,需要學(xué)生重點掌握.

空間角是歷年高考的重點考查內(nèi)容,常見的解決方法有定義法、綜合法、向量法、坐標(biāo)法,其中定義法和綜合法強(qiáng)調(diào)幾何特性,需要明確概念的基礎(chǔ)上在立體圖形中找到二面角的平面角、線面角,方法簡捷優(yōu)美,但對學(xué)生邏輯推理能力和空間想象能力要求較高；而向量法和坐標(biāo)法解題程序化,思維套路化,避免了作角找角的困難,雖然易操作但過程多,對學(xué)生運算求解能力和方程思想運用能力要求較高.對于此問,綜合法明顯比坐標(biāo)法簡便,但許多學(xué)生習(xí)慣于一上手就建系利用空間向量“粗暴”解決題目,這不利于學(xué)生空間想象和邏輯推理能力的培養(yǎng),在立體幾何的復(fù)習(xí)備考教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生綜合法和坐標(biāo)法兩手抓,根據(jù)題設(shè)條件選擇恰當(dāng)方法解決問題,提升學(xué)生多角度分析問題和解決問題的能力.

4、試題講評與建議

(1)為了達(dá)到試題講評效果,建議試題設(shè)問總體上降低難度、設(shè)置梯度、增強(qiáng)變式、逐層鋪墊如下：

①求證：AB⊥CD；

②求證：AB⊥平面BCD；

③求證：平面ABE⊥平面BCD；

④求CD 的長度；

(2)結(jié)合2017年廣州一測理科第19 題及2018年全國I卷文理第19 題,分析比較綜合法與坐標(biāo)法解決問題的過程方法和優(yōu)劣,強(qiáng)化概念.

三、教學(xué)備考建議

1.熟讀課標(biāo)、明確考綱、把握方向

課程標(biāo)準(zhǔn)是服務(wù)教學(xué),指導(dǎo)教學(xué)的綱領(lǐng)性文件,熟讀課標(biāo)是一線教師的基本要求.對于空間向量與立體幾何教學(xué),《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“應(yīng)重視以下兩個方面：第一,引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法,經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程,探索空間向量與平面向量的共性與差異,引發(fā)學(xué)生思考維數(shù)增加帶來的影響；第二,鼓勵學(xué)生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法,從不同角度解決立體幾何問題(如距離問題),通過對比體會向量方法的優(yōu)勢.在上述過程中,引導(dǎo)學(xué)生理解向量基本定理的本質(zhì),感悟“基”的思想,并運用它解決立體幾何中的問題.”[2]

而考試大綱是高考命題的準(zhǔn)則,它規(guī)定了高考考查的內(nèi)容、范圍、力度和要求.只有認(rèn)真研讀分析考綱,研究比較新舊考綱之間的變化以及變化所帶來的影響,明確考試方向,才能有的放矢,把握備考方向,提高備考效率.比如現(xiàn)行考綱雖然刪除了“幾何證明選講”模塊,但這并不意味著這部分內(nèi)容不考,而是融入在立幾和解幾中考查,因此在復(fù)習(xí)備考教學(xué)時更要關(guān)注重視這一點,重視平面幾何基礎(chǔ)知識的教學(xué).

2.回歸教材、注重基礎(chǔ)、重視概念

高考命題源于教材又高于教材、許多高考試題的原型就是教材例習(xí)題的改編,立體幾何內(nèi)容的備考復(fù)習(xí)教學(xué)須回歸教材、落實基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的本質(zhì),數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)中的地位猶如游戲規(guī)則在游戲中的地位,規(guī)則不懂,談何游戲.比如在運用綜合幾何法解決空間角問題時,若不熟悉空間角的概念,則無法準(zhǔn)確找角和作角,熟悉空間角的概念是綜合法解決此類問題的前提.因此,備考教學(xué)的重點應(yīng)該放在基礎(chǔ)概念、定義、原理和方法尤其是基礎(chǔ)概念上,不論哪種層次的考生,基礎(chǔ)部分的分值至關(guān)重要；另外要重視必修二中點線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的教學(xué),加強(qiáng)學(xué)生推理論證能力.

3.強(qiáng)化運算、規(guī)范書寫、示范解題

運算素養(yǎng)的考查幾乎貫穿高考試題整卷,而強(qiáng)調(diào)計算與思維并重的立體幾何試題對學(xué)生的運算能力提出了的更高的要求.解決立體幾何距離、體積或空間角問題的一個難點就是計算關(guān),特別是利用空間向量法解決立體幾何問題時,計算量較大,學(xué)生容易算錯,在復(fù)習(xí)備考教學(xué)時,教師須深入研究立體幾何計算步驟中的算法算理,示范給學(xué)生,切實為學(xué)生計算減負(fù).

另外,答題書寫的規(guī)范性是歷年來高考立體幾何解答題評分的一個重要依據(jù),許多學(xué)生會證明,但漏條件或者邏輯混亂；懂原理,但符號亂用錯用；思路清晰,但筆誤較多,卷面不夠整潔,這些都會導(dǎo)致失分.在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中,除了落實基礎(chǔ)知識,基本技能外,還要重視解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練,教師教學(xué)過程中要以教材或高考真題的解答書寫為模板,示范給學(xué)生,讓學(xué)生加以模仿和訓(xùn)練,讓其養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣提升意識和能力,并對學(xué)生的作業(yè)練習(xí)多一些面批面改,嚴(yán)格要求,及時糾正不規(guī)范之處.

4.精選例題、適當(dāng)編題、提高效率

在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中,教輔資料,試題試卷非常多,如何在有限的備考時間內(nèi)選擇切實有效的、符合考綱也適合學(xué)生的試題和素材是每一位高三老師需要面對的問題.教師應(yīng)該在明確考綱、熟悉高考真題的基礎(chǔ)上,依綱精心選擇例題和習(xí)題讓學(xué)生加以學(xué)習(xí)與訓(xùn)練,避開難題、偏題和怪題,提高備考效率；另外,教師也應(yīng)適當(dāng)命制和改編一定數(shù)量的課本例習(xí)題或者高考真題.

5.滲透思想、提高素養(yǎng)、增強(qiáng)能力

高中立體幾何教學(xué)要教會學(xué)生從立體幾何圖形的識圖、構(gòu)圖、析圖等步驟多角度多方位剖析幾何體,注重綜合幾何法與向量坐標(biāo)法兩手抓,多視角從不同方法解決問題,加強(qiáng)學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)；通過空間點線面位置關(guān)系轉(zhuǎn)化論證教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理能力,教學(xué)中滲透代數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、構(gòu)造模型的數(shù)學(xué)思想方法,注重學(xué)法指導(dǎo),教會學(xué)生解決一般立體幾何問題的通性通法,在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),增強(qiáng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.