四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100)蔣紅珠 李 玉 劉成龍

問題(2016年山西四校聯(lián)考(二))已知F1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn),P 是橢圓上一點(diǎn)(異于左、右頂點(diǎn)),過點(diǎn)P 作∠F1PF2的角平分線交x 軸于點(diǎn)M,若2|PM|2=|PF1|·|PF2|,則橢圓的離心率為____.

簡評該問題具有一定的難度、深度和廣度,不偏不怪、解法多樣、內(nèi)涵豐富、數(shù)學(xué)味濃、不設(shè)陷阱、可一般化,有助于學(xué)生加深知識理解、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究程式.因此,該試題是一個值得研究的好問題.

為便于下文敘述,先作以下說明：

如圖1,F1(-c,0)、F2(c,0)是橢圓=1(a ＞b ＞0)的兩個焦點(diǎn),A1(-a,0)、A2(a,0)為x 軸上的兩頂點(diǎn),B(0,b)為y 軸正半軸上的頂點(diǎn),e 為橢圓離心率,P 是橢圓上異于A1、A2的一動點(diǎn),設(shè)∠F1F2P=2β,∠PF1F2=2α,∠PMF2=δ,F1P=m,PF2=n,PM=v,F1M=t,F2M =2c-t.

圖1

一、問題解決

問題解決常常被看作是能動的、不斷發(fā)展的過程,是數(shù)學(xué)思維不斷數(shù)學(xué)化的過程,是一個探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程.[1]從不同角度解決問題,有助于學(xué)生多角度理解問題,發(fā)展求異思維.

分析1特殊化視角

問題作為一個填空題,從小題巧做的思路來看,可以考慮將問題特殊化.

方法1設(shè)P 與B 重合,O 與M 重合.因?yàn)?|PM|2=|PF1| · |PF2|,可 知2b2=a2,又a2=b2+ c2,得e =

分析2模型化視角

數(shù)學(xué)模型是將具體的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來反應(yīng)特定的問題或特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu),一般以公式或者結(jié)論的形式呈現(xiàn).數(shù)學(xué)模型代表一類數(shù)學(xué)問題,是一類數(shù)學(xué)問題的高度概括與解決.下面從模型的視角來解答.

方法2如圖1,由文[2] 構(gòu)建的模型可知：e =整理得由正弦定理得

由2|PM|2=|PF1||PF2|,可得

由∠F1MP +∠F2MP =π,∠F1MP =+β-α,得

所以

即2 sin 2α·sin 2β =cos2(α-β),所以

即

整理得cos2(α-β)=2 cos2(α+β),則

方法3如圖1,由角平分線定理得則所以t=me,同理2c-t=ne.由余弦定理可知

又因?yàn)?|PM|2=|PF1| · |PF2|,所以則由①×n+ ②×m,可知

分析3向量視角

方法4由題意得即

解得

則

又因?yàn)?|PM|2=|PF1|·|PF2|,可知

解得

點(diǎn)評分析1 是最簡單的方法,也是最容易想到的辦法,分析2-3 有助于學(xué)生對橢圓的概念、幾何性質(zhì)、余弦定理的理解,有助于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與劃歸能力.

二、問題推廣

張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一,數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識的基礎(chǔ)上,向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展,從實(shí)際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題.”[3]

分析1已知條件2|PM|2=|PF1|·|PF2|中的“2”很特殊,于是嘗試將“2”推廣成一般量k.

推廣1已知F1、F2是橢圓(a ＞b ＞0)的左右焦點(diǎn),P 是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作∠F1PF2的角平分線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1|·|PF2|(k ＞1),則橢圓的離心率為

證明提示由方法4,可知

由k|PM|2=|PF1|·|PF2|得又因?yàn)閙+n=2a,所以所以

分析2問題研究的是“∠F1PF2角平分線”這一條件下的離心率,自然想到將條件改成“△F1PF2邊F1F2的中線、高線”,問題的結(jié)果會有什么樣的變化呢?

推廣2(中線)已知F1、F2是橢圓(a ＞b ＞0)的左右焦點(diǎn),P 是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作△F1PF2邊F1F2中線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1|·|PF2|,且|PF1|·|PF2|=sa2(k,s ＞0),則橢圓的離心率為(其中)

證明提示因?yàn)镻M 為中線,所以

所以由k|PM|2=|PF1|·|PF2|,可知mn,即又因?yàn)閙+n=2a 且|PF1|·|PF2|=sa2,所以所以離心率為

推廣3(高線)已知F1、F2是橢圓(a ＞b ＞0)的左右焦點(diǎn),P 是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作△F1PF2邊F1F2高線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1| · |PF2|,且|PF1| · |PF2|=sa2(k,s ＞0),則橢圓的離心率為(其中且

證明提示由海倫公式可知

又因?yàn)?/p>

且m+n=2a,則

分析3問題以橢圓為載體,背景改為雙曲線呢? 繼而將新問題的條件改成雙曲線中“∠F1PF2的角平分線、△F1PF2邊F1F2的中線、高線”,問題的結(jié)果又將如何變化呢?

推廣4(角平分線)已知F1、F2是雙曲線(a,b ＞ 0)的左右焦點(diǎn),P 是雙曲線上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作∠F1PF2的角平分線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1| · |PF2| 且|PF1| · |PF2|=sa2(k,s ＞0),則雙曲線的離心率為(其中

證明提示由方法4,可知

由k|PM|2=|PF1| · |PF2| 得又因?yàn)閨m - n|=2a 且|PF1| · |PF2|=sa2,所 以所以

推廣5(中線)已知F1、F2是雙曲線(a,b ＞0)的左右焦點(diǎn),P 是雙曲線上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作△F1PF2邊F1F2中線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1|·|PF2|,且|PF1|·|PF2|=sa2(k,s ＞0),則雙曲線的離心率為其中

證明提示由中線的性質(zhì)可知

由k|PM|2=|PF1|·|PF2|得又因?yàn)閨m-n|=2a,|PF1|·|PF2|=sa2,所以所以

推廣6(高線)已知F1、F2是雙曲線(a,b ＞0)的左右焦點(diǎn),P 是雙曲線上異于左、右頂點(diǎn)的一動點(diǎn),過點(diǎn)P 作△F1PF2邊F1F2高線交x 軸于點(diǎn)M,若k|PM|2=|PF1|·|PF2|,且|PF1|·|PF2|=sa2(k,s ＞0),則雙曲線的離心率為其中Δ2=且

證明提示由海倫公式可知

又因?yàn)?/p>

點(diǎn)評立足成立條件、結(jié)構(gòu)及解決方法將原問題進(jìn)行推廣,對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題有積極意義.