王 帥， 劉 寧， 周 飛

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094)

陶瓷材料作為一種先進(jìn)的高新技術(shù)材料，具有高強(qiáng)度、高硬度、高耐磨、耐腐蝕、抗高溫以及低密度等優(yōu)良的抗沖擊特性，已成為一種重要的裝甲防護(hù)材料。但是，陶瓷是一種脆性材料，受一次打擊后容易發(fā)生破碎飛濺，靶板的抗彈性能隨之降低。陶瓷材料受彈體撞擊后經(jīng)歷材料損傷、裂紋形成擴(kuò)展并最終破壞的復(fù)雜響應(yīng)過(guò)程。目前對(duì)陶瓷靶板的抗沖擊性能和破壞機(jī)理研究多集中在實(shí)驗(yàn)工作和唯象認(rèn)識(shí)，深入研究陶瓷材料破壞機(jī)制已成為裝甲防護(hù)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)陶瓷材料沖擊破壞問(wèn)題開(kāi)展了大量的實(shí)驗(yàn)研究，申志強(qiáng)等[1]通過(guò)設(shè)計(jì)7.62 mm穿甲子彈侵徹陶瓷靶板實(shí)驗(yàn)，分析了不同區(qū)域的破壞形態(tài)；Lundberg[2]通過(guò)X光攝像技術(shù)測(cè)定了鎢彈作用于陶瓷靶板的界面擊潰與侵徹的過(guò)渡速度。數(shù)值計(jì)算已成為研究侵徹問(wèn)題的重要方法， 陶瓷材料沖擊破壞數(shù)值模程，數(shù)學(xué)表達(dá)形式為一組包含空間導(dǎo)數(shù)的偏微分方程組，然而在面對(duì)斷裂破壞不連續(xù)問(wèn)題時(shí)位移偏導(dǎo)數(shù)并不存在，從而出現(xiàn)了求解困難。

一種新興的基于非局部思想的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法(Peridynamics，PD)從根本上解決了傳統(tǒng)數(shù)值方法面臨的求解困難，該方法采用積分形式基本方程分析求解，適用于物體連續(xù)或不連續(xù)任何區(qū)域，在模擬裂紋萌生、擴(kuò)展、分離等不連續(xù)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出了獨(dú)特優(yōu)勢(shì)[6]。

Kilic[7-8]對(duì)PD理論的本構(gòu)模型、裂紋萌生及穩(wěn)定性等問(wèn)題進(jìn)行了分析，并根據(jù)實(shí)際些情況對(duì)PD本構(gòu)模型做了相應(yīng)改進(jìn)，使其適用于各種材料破壞分析。Wang等[9]通過(guò)改變特定的影響因素，模擬了極地船螺旋槳與冰面的接觸問(wèn)題，分析了葉片上銑削載荷的變化規(guī)律。秦洪遠(yuǎn)等[10]通過(guò)改進(jìn)非局部鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，提出了用來(lái)反應(yīng)混凝土巖石類材料的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了不同初始裂紋對(duì)構(gòu)件的破壞影響規(guī)律。從模擬結(jié)果來(lái)看，近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)在脆性材料研究領(lǐng)域具有很好的實(shí)用性。

本文基于鍵基(bond-based)近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)本構(gòu)模型研究陶瓷靶板沖擊破壞行為，為降低模型的“網(wǎng)格”依賴性，采用非規(guī)則布點(diǎn)方法離散計(jì)算域，發(fā)展陶瓷靶板穿甲侵徹?cái)?shù)值模擬程序，模擬陶瓷靶板損傷破壞的動(dòng)態(tài)過(guò)程，分析靶板的破壞發(fā)生機(jī)理與抗彈耗能機(jī)制，并對(duì)比了不同速度下靶板損傷程度變化規(guī)律。

1 鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)基本理論

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中，通過(guò)虛功原理得到的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為

(1)

T與U分別代表物質(zhì)本身具有的動(dòng)能與勢(shì)能，經(jīng)過(guò)拉格朗日變換，推導(dǎo)出如下表達(dá)式

(2)

式中

t(u′-u,x′-x,t)=-t′(u-u′,x-x′,t)=

(3)

1.1 本構(gòu)力函數(shù)

由微勢(shì)能推出的f為內(nèi)部粒子之間的本構(gòu)力函數(shù)，包含材料所有本構(gòu)信息，變形前后兩粒子之間本構(gòu)力大小與粒子之間的相對(duì)位移關(guān)系，即

(4)

式中:g為體積微元修正系數(shù)，大小取決于粒子在近場(chǎng)鄰域中的位置，y與y′為x與x′粒子變形后位置，計(jì)算涉及材料參數(shù)被限定為固定泊松比約束下的唯一常數(shù)c，c值大小取決于材料屬性，可由微勢(shì)能原理推導(dǎo)出計(jì)算式(5)，其中κ為材料體積模量；代表粒子之間相對(duì)伸長(zhǎng)率，表達(dá)式如下

(5)

(6)

圖1 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型中粒子相互作用關(guān)系

1.2 斷裂判據(jù)

當(dāng)鍵兩端粒子相對(duì)位移達(dá)到一定程度，s值超過(guò)極限相對(duì)伸長(zhǎng)率即判定該鍵發(fā)生斷裂，在三維問(wèn)題中表征鍵之間極限相對(duì)伸長(zhǎng)率的s0表達(dá)式為

(7)

式中G0為粒子之間的斷裂能，在PD理論數(shù)值模擬計(jì)算中，極限相對(duì)伸長(zhǎng)率隨時(shí)間變化，表達(dá)式為

sc(t)=s0-αsmin(t)

(8)

式中:α為泊松比，smin為前一時(shí)刻粒子近場(chǎng)鄰域中應(yīng)變最小值，兩粒子之間鍵的失效判定函數(shù)為

(9)

當(dāng)粒子在其近場(chǎng)范圍內(nèi)與其他粒子之間鍵斷裂數(shù)量到達(dá)一定數(shù)量，代表該粒子處發(fā)生了斷裂，這個(gè)“程度”可由粒子的損傷系數(shù)表示，即由近場(chǎng)域內(nèi)與該粒子有相互作用的失效的鍵的數(shù)量與總鍵數(shù)的比值表示，即

(10)

2 數(shù)值模型

2.1 控制方程離散形式

利用CFD前處理軟件GAMBIT，對(duì)計(jì)算域進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，通過(guò)提取單元節(jié)點(diǎn)信息實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算域的非規(guī)則節(jié)點(diǎn)劃分，降低節(jié)點(diǎn)布置方式對(duì)PD計(jì)算結(jié)果的影響。對(duì)任一節(jié)點(diǎn)i，只受其近場(chǎng)鄰域范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)的作用，基本方程離散形式為

(11)

(12)

2.2 彈靶沖擊接觸算法

彈丸著靶后，建立彈靶接觸算法實(shí)現(xiàn)對(duì)靶板毀傷過(guò)程，其接觸模型如圖2所示。將彈丸視為剛性體，彈丸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷把靶板節(jié)點(diǎn)從其運(yùn)動(dòng)軌跡上排擠開(kāi)，受排擠靶板節(jié)點(diǎn)速度可表示為

(13)

(14)

圖2 彈靶接觸模型

2.3 短程排斥力

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型中，當(dāng)粒子擺脫鍵力束縛成為自由粒子后，為防止發(fā)生非物理穿透現(xiàn)象，建立短程力模型

(15)

式中dji代表j，i粒子之間短程距離，短程力只存在排斥力，cs表達(dá)式如下

(16)

短程力作用距離表達(dá)式為

dji=min{0.9||xj-xi||,1.35lji}

(17)

2.4 體積微元修正系數(shù)

考慮非局部作用積分項(xiàng)，如圖1所示，積分域?yàn)镠，部分粒子處于鄰域邊界，積分項(xiàng)體積微元不完全處于鄰域內(nèi)，此時(shí)需要對(duì)處于邊界上的粒子體積微元進(jìn)行修正，體積微元修正系數(shù)表達(dá)式如下

(18)

3 彈丸侵徹陶瓷靶板計(jì)算分析

建立了陶瓷靶板彈丸沖擊模型，如圖3所示，靶板為Al2O3陶瓷材料，長(zhǎng)和寬均為80 mm，厚度為hc=6 mm，質(zhì)量密度ρ=3 500 kg/m3，楊氏模量E=300 GPa，泊松比α=0.25。彈丸為7.62 mm穿甲彈，質(zhì)量m=7.9 g，沖擊速度為v=530 m/s。靶板離散為71 940個(gè)不規(guī)則分布節(jié)點(diǎn)，時(shí)間步長(zhǎng)取Δt=5.7×10-8s,共計(jì)算2 000步。

圖3 沖擊模型

3.1 計(jì)算結(jié)果

圖4為7.62 mm子彈沖擊陶瓷靶板計(jì)算結(jié)果，由圖可見(jiàn)，靶板彈著點(diǎn)附近大量陶瓷節(jié)點(diǎn)的PD鍵全部斷裂，從靶板分離形成自由粒子，構(gòu)成了粉末化破壞區(qū)域，該區(qū)域向外形成了放射性徑向裂紋及環(huán)向裂紋，靶板破壞為大量的陶瓷碎片。靶板最終破壞形貌的PD計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)圖像吻合較好，較好地刻畫(huà)了裂紋損傷的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，而傳統(tǒng)有限元方法只能粗略模擬出徑向與環(huán)向裂紋[5]，顯示了PD方法處理陶瓷材料沖擊破壞問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。

圖4 仿真損傷結(jié)果(左)與實(shí)驗(yàn)[1] 損傷結(jié)果(右)

由PD方法仿真得出的環(huán)向裂紋平均半徑為29 mm，接近試驗(yàn)結(jié)果中的半徑為30 mm的環(huán)向裂紋半徑，在不同厚度靶板時(shí)所得到的中心粉碎區(qū)域半徑與實(shí)驗(yàn)中粉碎區(qū)半徑如表1所示。誤差e為仿真結(jié)果與試驗(yàn)相比較而來(lái)的誤差，誤差小于5%，也進(jìn)一步驗(yàn)證了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性。

表1 粉碎區(qū)域半徑試驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比

3.2 靶板破壞過(guò)程分析

由PD方法仿真得到靶板破壞過(guò)程，可將靶板沖擊破壞過(guò)程分為3個(gè)階段。

第一階段，開(kāi)坑階段。子彈著靶后，彈丸在與靶板接觸部位產(chǎn)生強(qiáng)制性破壞，使陶瓷表面產(chǎn)生界面擊潰，在彈著點(diǎn)處形成彈坑，彈坑逐漸發(fā)展形成貫穿性損傷，如圖5所示。

圖5 靶板漸進(jìn)損傷圖

第二階段，陶瓷錐形成階段。陶瓷靶板由界面擊潰向侵徹轉(zhuǎn)變，彈丸著靶產(chǎn)生沖擊壓縮波，經(jīng)邊界反射后形成拉伸波，在應(yīng)力波反復(fù)作用下，粒子之間相互作用逐漸弱化，鍵損傷的不斷積累，在靶板內(nèi)部形成了逐漸擴(kuò)大的錐形破壞域，即陶瓷錐，如圖6所示。錐形域內(nèi)完全損傷粒子居多，呈粉碎性破壞，此過(guò)程靶板耗能機(jī)制主要為陶瓷的粉碎耗能。

圖6 應(yīng)力波云圖

由理論公式計(jì)算陶瓷錐形成時(shí)間[11]

(19)

式中:CL為縱波波速，vcrack為裂紋擴(kuò)展速度，由文獻(xiàn)[12]中的假設(shè)，vcrack=CL/5。得到陶瓷錐形成時(shí)間為3.6 μs，PD計(jì)算結(jié)果陶瓷錐形成時(shí)間為3.9 μs，圖7為彈丸侵徹過(guò)程中剩余速度時(shí)間曲線，在0～3.9 μs期間，彈丸速度迅速降低到476 m/s，之后速度緩慢下降到465 m/s，說(shuō)明在陶瓷錐形成階段中，彈丸動(dòng)能損耗最大，約占總體耗能的82%。

第三階段，裂紋擴(kuò)展階段。伴隨著彈體的運(yùn)動(dòng)，陶瓷錐形破壞域不再繼續(xù)擴(kuò)大，陶瓷錐粉碎耗能結(jié)束。與此同時(shí)靶板表面裂紋不斷擴(kuò)展，由于部分裂紋尖端區(qū)域能量過(guò)高，導(dǎo)致尖端出現(xiàn)次級(jí)裂紋，次級(jí)裂紋之間相互貫通形成了環(huán)形裂紋，進(jìn)而使靶板發(fā)生破碎現(xiàn)象，此過(guò)程耗能機(jī)制主要取決于裂紋的擴(kuò)展耗能。

圖7 彈丸剩余速度時(shí)間曲線

定義區(qū)域內(nèi)完全損傷粒子數(shù)目與總粒子數(shù)比值為區(qū)域破碎程度，統(tǒng)計(jì)40 μs時(shí)不同區(qū)域破碎程度，其云圖如圖8所示。在紅色區(qū)域(距中心0～5 mm,5～10 mm)分別為0.989 0與0.790 0，該區(qū)域粉化末破壞情況嚴(yán)重，而且可以看出靶板破片尺度與距著彈部位距離成正比，說(shuō)明彈體在侵徹過(guò)程中，彈丸動(dòng)能不斷被吸收耗散，彈體能量不斷減弱，當(dāng)陶瓷靶板裂紋擴(kuò)展至遠(yuǎn)端時(shí)，大尺度碎片會(huì)阻礙裂紋的擴(kuò)展，使區(qū)域內(nèi)破碎單元保持相對(duì)的完整性。

圖8 不同區(qū)域破碎程度云圖(40 μs)

3.3 應(yīng)力波傳播過(guò)程

在破壞形成的3個(gè)階段中，應(yīng)力波傳播過(guò)程對(duì)破壞起主導(dǎo)作用。由沖擊載荷產(chǎn)生的壓縮應(yīng)力波在陶瓷靶板內(nèi)部傳播，遇到邊界后發(fā)生反射，由PD計(jì)算得到不同時(shí)刻應(yīng)力波傳播半徑如圖9所示，計(jì)算縱波波速約9 430 m/s。在沖擊動(dòng)力學(xué)中，應(yīng)力波波速理論公式如下

(20)

其中:CL為縱波波速，λ，μ為拉密常數(shù)，得到理論縱波波速為10 142 m/s，可見(jiàn)PD計(jì)算結(jié)果與理論值相近，PD結(jié)果較好地再現(xiàn)了應(yīng)力波的傳播過(guò)程。

3.4 子彈速度對(duì)陶瓷靶板損傷程度的影響

為了研究不同沖擊速度下靶板損傷程度，取子彈速度分別為100，200，300，400，530 m/s時(shí)，靶板厚度為6 mm，定義整個(gè)靶板完全損傷粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比為靶體損傷程度，得到靶體損傷程度隨子彈侵深的變化關(guān)系，如圖10所示。從圖中可以看出，靶板破壞速度隨彈丸速度的提高而減小，這說(shuō)明破壞速度只取決于靶板內(nèi)部應(yīng)力波的傳播與疊加過(guò)程。但是隨著子彈速度不斷增大，靶板最終損傷量不斷增加，說(shuō)明子彈速度越高，靶板內(nèi)部破壞越劇烈，破壞程度與子彈速度呈正相關(guān)，當(dāng)貫穿完成后，損傷量增速趨于平緩，同時(shí)彈丸速度越大，貫穿完成所需時(shí)間越短。

圖9 應(yīng)力波曲線

圖10 不同速度下靶體損傷程度

4 結(jié)論

1) 計(jì)算模型引入了非規(guī)則布點(diǎn)方法，降低模型對(duì)“網(wǎng)格”的依賴性，模擬得到最終破壞形貌與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，所得環(huán)向裂紋平均半徑接近真實(shí)情況。

2) 陶瓷靶板抗彈耗能機(jī)制主要包括陶瓷錐形成過(guò)程耗能與裂紋的擴(kuò)展耗能，以陶瓷錐形成過(guò)程耗能為主，約占總體耗能的82%。

3) 在破壞過(guò)程中，沖擊壓縮波，與邊界反射的稀疏拉伸波對(duì)陶瓷錐形成以及裂紋的形成發(fā)展起主導(dǎo)作用，由PD方法計(jì)算得到的應(yīng)力波傳播速度接近理論值10 142 m/s，陶瓷錐角形成時(shí)間接近理論計(jì)算值3.6 μs。

4) 在靶板厚度為6 mm時(shí)，沖擊速度越大，靶板損傷量增幅越大，總體損傷程度越大。

5) 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論可直接準(zhǔn)確模擬斷裂等大變形問(wèn)題，為穿甲毀傷過(guò)程靶板開(kāi)裂及裂紋擴(kuò)展過(guò)程的數(shù)值模擬提供了新方法。