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球是立體幾何的重要內(nèi)容.多面體的外接球問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的重要載體.因此，在近幾年的高考、自主招生和數(shù)學(xué)競賽中，頻頻出現(xiàn)了與多面體相關(guān)的外接球的問題.這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，解決問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置.本文從課堂教學(xué)出發(fā),立足基礎(chǔ)知識和基本技能,談?wù)勥@類問題的處理方法和技巧.

一、基本知識

定義：空間中，若一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)幾何體的各頂點(diǎn)的距離都相等，則這個(gè)定點(diǎn)就是該幾何體的外接球的球心.

性質(zhì)：球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓.

根據(jù)上述的定義與性質(zhì)，可以確定簡單多面體外接球的球心的位置有如下結(jié)論:

1.長方體的外接球的球心是該長方體的體對角線的中點(diǎn),半徑為體對角線長的一半.

2.直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)的外接球的球心是該直三棱柱上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn),半徑可在以球心、底面圓心和底面三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.

3.正棱錐的外接球球心在該正棱錐的高上，半徑可在以球心、底面中心和底面正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.

4.若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

5.過幾何體其中兩個(gè)面(外心較易找到)的外心分別作這兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)即為球心.

當(dāng)畫球O的內(nèi)接四面體的底面△ABC時(shí)，通常將一點(diǎn)A畫在邊界上，另外兩點(diǎn)B,C放置于截面圓O1的圓弧其他位置.當(dāng)△ABC分別為任意三角形、等邊三角形和直角三角形時(shí)的情形及幾何量內(nèi)在基本關(guān)系如圖1，圖2，圖3(其中，O1為△ABC的外心，OO1⊥平面ABC，OO1=d,r是圓O1的半徑，球O的半徑為R,R2=d2+r2).

圖1.

圖2.

圖3

二、基本方法

1.定義找心

在幾何體中，可以通過以下途徑找到到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn).

1.1若四面體兩個(gè)面是公共斜邊的直角三角形，則球心為斜邊中點(diǎn)

( )

所以PA2+PC2=AC2，故△APC為直角三角形.

取△APC與△ABC的公共斜邊AC的中點(diǎn)O，則有AO=PO=CO=BO，故點(diǎn)O為三棱錐P-ABC外接球的球心，外接球的半徑為AO=2，球的表面積為4πAO2=16π，故選D.

1.2直三棱柱的外接球的球心在該直三棱柱的上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)處

【例2】(2010·課程標(biāo)準(zhǔn)卷理·10)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

( )

解析：設(shè)O1,O2分別是正三角形A1B1C1和正三角形ABC的中心，因?yàn)槿庵鵄1B1C1-ABC是正三棱柱，所以其外接球的球心O是O1O2的中點(diǎn)，如圖，于是其外接球的半徑為

2.垂線找心

如圖，選取球面上的任意兩個(gè)截面圓(不平行),過其圓心作兩個(gè)圓面的垂線,這兩條垂線的交點(diǎn)即為球心.這兩個(gè)截面圓即多面體的兩個(gè)面的外接圓,因此可在過多面體面的外心且垂直于該面的直線上尋找多面體外接球的球心.

為便于找到球心，常選擇多面體中具有特殊形狀的面(如直角三角形、等腰三角形或正方形等)進(jìn)行分析.

2.1多面體有一個(gè)面為直角三角形

若多面體有一個(gè)面為直角三角形，則在過斜邊中點(diǎn)且垂直于該直角三角形所在平面的直線上尋找球心.

( )

A.1 B.2

C.4 D.8

解析：如圖，因?yàn)镃D2=BC2+BD2,所以∠CBD=90°，取CD的中點(diǎn)H，則CH=BH=4，球心O1在過H且垂直底面BCD的直線上.

解得O1A=5,O1H=3.

顯然當(dāng)球O2與平面BCD相切且在平面BCD下方與球O1內(nèi)切時(shí)直徑最大，最大值為O1H與球O1半徑之和，故球O2直徑的最大值為8.

2.2多面體有一個(gè)面為等邊三角形

若多面體有一個(gè)面為等邊三角形，則在過等邊三角形的中心且垂直于該等邊三角形所在平面的直線上找球心.

【例4】在四面體ABCD中，有一條棱長為3，其余五條棱長皆為2，則其外接球的半徑為________.

解法1：不妨設(shè)BC=3，通過分析過等腰△ABC的外心且垂直于該等腰三角形所在平面的直線尋找球心.

AB=AC=AD=BD=CD=2.過點(diǎn)D作DH⊥平面ABC，垂足為H.則由AD=BD=CD，易知AH=BH=CH，則點(diǎn)H是△ABC的外心，從而DH上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A,B,C的距離都相等.取BC的中點(diǎn)E，連接AE,DE，則由AB=AC可得AE為BC的中垂線，從而點(diǎn)H在AE上.取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則由圖形的對稱性易知AE=DE,EF為AD的中垂線.設(shè)DH∩EF=O，則有OA=OD.

綜上，可知點(diǎn)O到點(diǎn)A,B,C,D的距離相等，則點(diǎn)O就是四面體ABCD的外接球的球心.

解法2：不妨設(shè)AB=3，通過分析過等邊△BCD和△ACD的外心且分別垂直于它們所在平面的兩垂線尋找球心.

AC=AD=BC=BD=CD=2.取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，可得AE⊥CD，BE⊥CD，則由△BCD和△ACD都是等邊三角形可知它們的中心M,N分別在BE，AE上，且BM=2ME，AN=2NE.

在△ABE內(nèi)，過點(diǎn)M作BE的垂線，過點(diǎn)N作AE的垂線，設(shè)其交點(diǎn)為O.連接OB,OE，因?yàn)锳E⊥CD，BE⊥CD，則CD⊥平面ABE，進(jìn)而CD⊥OM，CD⊥ON.結(jié)合OM⊥BE，ON⊥AE，可知OM⊥平面BCD，ON⊥平面ACD.由此再結(jié)合BM=CM=DM=AN=CN=DN，可知點(diǎn)O到點(diǎn)A,B,C,D的距離相等，故點(diǎn)O就是四面體ABCD的外接球的球心.

2.3多面體有一個(gè)面為矩形

若多面體有一個(gè)面為矩形，則在過矩形的中心且垂直于該矩形所在平面的直線上找球心.

【例5】四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐外接球的表面積為

( )

正視圖

側(cè)視圖

俯視圖

解析：根據(jù)三視圖還原幾何體直觀圖，如圖所示.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，PA=PD=3,AD=4，四邊形為矩形，CD=2.過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩垂線交于一點(diǎn)O，點(diǎn)O即為四棱錐外接球的球心.

2.4多面體中有二面角模型

若多面體涉及二面角大小，設(shè)過二面角的兩個(gè)半平面所在三角形外心且垂直所在面的直線為l1，l2，則球心為l1與l2的交點(diǎn).

三棱錐S-ABC外接球的球心是平面SAB過點(diǎn)E且垂直于該平面的直線與平面ABC過點(diǎn)I且垂直于該平面的直線的交點(diǎn)O.

在平面四邊形OEDI中，∠OED=∠OID=90°,DE=DI,∠EDI=120°,所以Rt△ODI≌Rt△ODE.

3.補(bǔ)形找心

對某些特殊多面體，可通過構(gòu)造直三棱柱和長方體等幾何體，使多面體的頂點(diǎn)為直三棱柱或長方體的頂點(diǎn)，將多面體“鑲嵌”在直三棱柱或長方體內(nèi)，借助直三棱柱或長方體外接球的球心尋找所研究多面體的球心.

3.1側(cè)棱垂直于底面的棱錐補(bǔ)成直棱柱

解析：由題意，可得AB2+BC2=22+32=13=AC2，

所以AB⊥BC.同理，AB⊥BD.

過點(diǎn)C作CE∥AB,且CE=AB，過點(diǎn)D作DF∥AB,且DF=AB，連接AE,EF,AF，則易知三棱柱AEF-BCD是正三棱柱，則四面體ABCD的外接球與正三棱柱的外接球相同，其球心在該正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)處，容易求得球的半徑為

故外接球的表面積為4π×22=16π.

3.2三條棱兩兩垂直的四面體補(bǔ)成長方體

3.2.1“墻角”型

三條棱兩兩垂直且共頂點(diǎn)：如果三棱錐A-BCD中，過點(diǎn)A的三條棱兩兩互相垂直，即AB⊥AC,AD⊥AC,AD⊥AB，則可構(gòu)造以AB,AC,AD分別為長、寬、高的長方體.

解析：因?yàn)镻A,PB,PC兩兩互相垂直，故正三棱錐P-ABC的外接球即是以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球，球心是在該正方體的體對角線的交點(diǎn)處，如圖，易證OP⊥平面ABC，所以球心O到截面ABC的距離即為球的半徑R減去正三棱錐P-ABC的高.設(shè)PA=a,則(2R)2=3a2，所以a=2.

3.2.2“直角+垂線”型

三條棱兩兩垂直且不共頂點(diǎn)：如果三棱錐D-ABC中，DC⊥平面ABC,∠BAC=90°，則可構(gòu)造以底面ABC的兩條直角邊AB,AC和垂線CD分別為長、寬、高的長方體,長方體的體對角線的中點(diǎn)即為球心.

3.2.3 “對棱”相等型

若四面體三組對棱相等，則可構(gòu)造以三組對棱為六個(gè)面的對角線的長方體.

特別地，當(dāng)AD=BC=AB=CD=AC=BD時(shí)(即四面體DABC為正四面體)，長方體就變成了正方體.

4.坐標(biāo)找心

通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等求出球心坐標(biāo).

設(shè)球心O(x,y,z)，由OA=OB=OC=OD可得