四川

在近幾年高考數(shù)學(xué)試題中,筆者總結(jié)發(fā)現(xiàn)涉及三角函數(shù)這一板塊的考查常見的有函數(shù)的極(最)值、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、三角函數(shù)的恒成立、三角函數(shù)的圖象判斷和曲線的切線斜率等問題，若從導(dǎo)數(shù)這一角度去處理將給我們帶來不一樣的驚喜.本文通過近幾年高考題或模擬試題來說明導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用,以饗讀者.

一、有關(guān)極值點(diǎn)

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A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【評注】利用導(dǎo)數(shù)研究極值，極值點(diǎn)是關(guān)鍵.由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得到函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，建立等式關(guān)系，從而將x0轉(zhuǎn)化為m的表達(dá)式,進(jìn)一步用不等式進(jìn)行求解.當(dāng)然要留意導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).

二、有關(guān)圖象

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A

B

C

D

【評注】利用導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的圖象，不僅要看函數(shù)的奇偶性，還要看函數(shù)的一些局部性質(zhì)，如根據(jù)局部點(diǎn)的切線斜率的正負(fù)即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷單調(diào)性等，尤其在同一區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的絕對值越大，則圖象越陡，這也是判斷圖象之間區(qū)別的一個(gè)細(xì)微之處.

三、關(guān)于零點(diǎn)

【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為

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【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

【評注】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，實(shí)際是轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)問題，常常先將函數(shù)與方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其中常使用分離變量法構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、極值或最值，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，再進(jìn)一步研究兩圖象交點(diǎn)問題.其中參變分離有時(shí)易于減少討論，使用頻率較高.

四、求參數(shù)范圍

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【評注】函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性是通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，其中在函數(shù)的遞增區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零；在函數(shù)的遞減區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)恒小于等于零.

五、恒成立問題

【例5】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sin2x-1在區(qū)間[0,m]上單調(diào)遞增，則m的最大值是

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【評注】本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，同樣是將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.

六、解不等式

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【評注】解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式問題求解.

七、有關(guān)切線問題

【例7】(2017·山東卷理·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù).求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π，f(π))處的切線方程.

【解析】由題意f(π)=π2-2又f′(x)=2x-2sinx，所以f′(π)=2π，

因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(π，f(π))處的切線方程為y-(π2-2)=2π(x-π)，

即y=2πx-π2-2.

【評注】函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同.

八、有關(guān)比較大小問題

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A.a

C.b

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3x+2cosx，所以導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3-2sinx，

可得f′(x)=3-2sinx>0在R上恒成立，所以f(x)在R上為增函數(shù)，

【評注】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.此類題型的主要思想是將幾個(gè)式子中的變量盡可能轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而在單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大小.

九、有關(guān)極值問題

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【評注】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為0轉(zhuǎn)化為方程求解.

十、有關(guān)切線傾斜角

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【評注】導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率，與切線的傾斜角密不可分，所以三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常常聯(lián)系在一起，其中要注意正切函數(shù)只有單調(diào)增區(qū)間，以及周期性表達(dá)需完整.

十一、有關(guān)最值問題

【例11】(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

【評注】在求解函數(shù)最值的過程中，需要明確相關(guān)函數(shù)的求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，確定出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而求得相應(yīng)的三角函數(shù)值，代入即求得函數(shù)的最小值.

十二、求導(dǎo)函數(shù)的值

【評注】求導(dǎo)函數(shù)的值主要是在求解的過程中明確相關(guān)函數(shù)的求導(dǎo)公式，如果原式較復(fù)雜，可通過恒等變形化簡再求導(dǎo)，尤其要注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).

十三、求單調(diào)區(qū)間

【例13】(2014·湖南卷文·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=xcosx-sinx+1(x>0),所以f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.由f′(x)=-xsinx=0解得x=kπ(k∈N*)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ,(2k+1)π)(k∈N*),單調(diào)遞增區(qū)間為((2k+1)·π,(2k+2)π)(k∈N*).

【評注】對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)f′(x)(x>0),通過求f′(x)>0和f′(x)<0的解集分別得到函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間,但是必須注意正余弦函數(shù)的周期性和原函數(shù)的定義域(0,+∞).求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)尤其要注意周期性和表達(dá)式中k為整數(shù).