袁小平 蔣碩

摘 要：針對(duì)粒子群優(yōu)化（PSO）算法容易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不高、收斂速度較慢的問(wèn)題，提出一種基于分層自主學(xué)習(xí)的改進(jìn)粒子群優(yōu)化（HCPSO）算法。首先，根據(jù)粒子適應(yīng)度值和迭代次數(shù)將種群動(dòng)態(tài)地劃分為三個(gè)不同階層;然后，根據(jù)不同階層粒子特性，分別采用局部學(xué)習(xí)模型、標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)模型以及全局學(xué)習(xí)模型，增加粒子多樣性，反映出個(gè)體差異的認(rèn)知對(duì)算法性能的影響，提高算法的收斂速度和收斂精度;最后，將HCPSO算法與PSO算法、自適應(yīng)多子群粒子群優(yōu)化（PSO-SMS）算法以及動(dòng)態(tài)多子群粒子群優(yōu)化（DMS-PSO）算法分別在6個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明，HCPSO算法的收斂速度和收斂精度相對(duì)給出的對(duì)比算法均有明顯提升，并且算法執(zhí)行時(shí)間和基本PSO算法執(zhí)行時(shí)間差距在0.001量級(jí)內(nèi)，在不增加算法復(fù)雜度的情況下算法性能更高。

關(guān)鍵詞：群體智能;粒子群優(yōu)化算法;粒子差異性;種群多樣性;自主學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)： TP301.6; TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： Focusing on the shortages of easily falling into local optimal， low convergence accuracy and slow convergence speed in Particle Swarm Optimization （PSO） algorithm， an improved Particle Swarm Optimization based on HierarChical autonomous learning （HCPSO） algorithm was proposed. Firstly， according to the particle fitness value and the number of iterations， the population was dynamically divided into three different classes. Then， according to characteristics of different classes of particles， local learning model， standard learning model and global learning model were respectively adopted to increase particle diversity and reflect the effect of individual difference cognition on performance of algorithm and improve the convergence speed and convergence precision of algorithm. Finally， HCPSO algorithm was compared with PSO algorithm， Self-adaptive Multi-Swarm PSO algorithm （PSO-SMS） and Dynamic Multi-Swarm PSO （DMS-PSO） algorithm on 6 typical test functions respectively. The simulation results show that the convergence speed and convergence accuracy of HCPSO algorithm are obviously higher than these of the given algorithms， and the execution time difference of the proposed algorithm and basic PSO algorithm is within 0.001 orders of magnitude. The performance of the proposed algorithm is improved without increasing complexity.

Key words： group intelligence; Particle Swarm Optimization （PSO） algorithm; particle difference; population diversity; autonomous learning

0 引言

群體智能算法是通過(guò)觀察動(dòng)物群體的捕食、遷徙等活動(dòng)，進(jìn)行仿真模擬而產(chǎn)生的智能算法，粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法是Kennedy等[1]在1995年提出的一種基于種群的智能算法。PSO算法是定義于連續(xù)空間的群智能算法，具有參數(shù)較少、原理簡(jiǎn)單、并行搜索和全局收斂等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于永磁電機(jī)關(guān)鍵參數(shù)調(diào)整[2-3]、人臉識(shí)別[4]、分配優(yōu)化問(wèn)題[5]等相關(guān)領(lǐng)域;但是，PSO算法也存在收斂精度不足、搜索速度較慢以及容易早熟收斂等缺點(diǎn)。針對(duì)這些問(wèn)題，研究人員通過(guò)引入相關(guān)理論改進(jìn)學(xué)習(xí)模型、改變參數(shù)調(diào)整方式、引入學(xué)習(xí)算子、算法融合以及多子群等方法對(duì)基本算法進(jìn)行改進(jìn)研究。文獻(xiàn)[6]引入混沌量子理論改進(jìn)PSO算法理論模型，結(jié)合高效局部搜索機(jī)制和自適應(yīng)動(dòng)態(tài)懲罰方法進(jìn)行約束處理，提高求解精度，并用之于優(yōu)化問(wèn)題中。文獻(xiàn)[7]使用策略協(xié)同機(jī)制，引入反向?qū)W習(xí)、高斯變異和柯西分布等概念，改進(jìn)PSO算法理論模型，提高算法收斂精度。文獻(xiàn)[8]采用自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整方式，平衡算法的全局和局部搜索能力，提高算法的優(yōu)化性能，但是慣性權(quán)重調(diào)整方式對(duì)算法的性能提高有限。文獻(xiàn)[9]中提出多慣性權(quán)重的調(diào)整方式調(diào)整慣性權(quán)重提高算法的性能，但是算法穩(wěn)定性較差。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)PSO算法中的學(xué)習(xí)因子，變化學(xué)習(xí)因子的取值，提高速度更新和學(xué)習(xí)過(guò)程，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證取得一定的效果。文獻(xiàn)[11]通過(guò)動(dòng)態(tài)速度修改和引入免疫學(xué)習(xí)算子對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，并將改進(jìn)算法應(yīng)用于電機(jī)參數(shù)估計(jì)，優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)模型取得較好效果。文獻(xiàn)[12]通過(guò)模糊高斯學(xué)習(xí)策略構(gòu)建精英粒子群進(jìn)化融合機(jī)制，提高種群多樣性與收斂性，增強(qiáng)算法逃離局部最優(yōu)位置的能力。文獻(xiàn)[13]通過(guò)將PSO算法和混合教學(xué)算法進(jìn)行融合互補(bǔ)，彌補(bǔ)算法全局搜索能力不足的問(wèn)題，取得一定效果，但是將算法復(fù)雜化。文獻(xiàn)[14]首次提出多子群策略優(yōu)化算法性能，為算法改進(jìn)提供了新思路。文獻(xiàn)[14]首次提出多子群策略優(yōu)化算法性能，為算法改進(jìn)提供了新思路。文獻(xiàn)[15]進(jìn)一步對(duì)多子群策略進(jìn)行研究，提出動(dòng)態(tài)多子群粒子群優(yōu)化（Dynamic Multi-Swarm Particle Swarm Optimization， DMS-PSO）算法，優(yōu)化效果較為突出。文獻(xiàn)[16]以自主學(xué)習(xí)和精英群策略對(duì)多子群PSO算法進(jìn)行改進(jìn)，提高算法收斂精度，縮短尋優(yōu)時(shí)間。文獻(xiàn)[17]將遺傳算法和多子群算法進(jìn)行融合，變換子群的更新方式，加強(qiáng)算法在全局搜索和局部搜索之間的平衡能力，提升算法性能，取得一定的效果。文獻(xiàn)[18]將種群分為精英亞群和幾個(gè)正常亞群并通過(guò)一組基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證了算法的收斂速度和全局收斂能力，并應(yīng)用于永磁同步電機(jī)參數(shù)估計(jì)，取得較好效果。

上述研究中對(duì)PSO算法的理論模型、重要參數(shù)設(shè)置以及算法融合方面的改進(jìn)都能在一定程度上提高PSO算法的性能，但本質(zhì)上依然未解決提升PSO算法的收斂精度和搜索速度之間的矛盾問(wèn)題，多子群策略雖然能夠取得較好的效果，但是依然存在分群過(guò)程中粒子數(shù)量過(guò)多、計(jì)算量巨大以及粒子學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)習(xí)模式固定、缺乏自主獨(dú)立性等問(wèn)題。

基于此，以分級(jí)策略作為切入點(diǎn)，通過(guò)類似多子群的方式，提出基于分層自主學(xué)習(xí)的改進(jìn)粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization based on HierarChical autonomous learning， HCPSO）算法，對(duì)種群進(jìn)行動(dòng)態(tài)分層，在不增加種群粒子數(shù)量的情況下，根據(jù)不同階層粒子特性采用不同的學(xué)習(xí)模型，提高粒子學(xué)習(xí)的自主性，反映出個(gè)體差異和認(rèn)知對(duì)其進(jìn)化的影響，以中間層實(shí)現(xiàn)粒子間的信息交流，隨著算法迭代動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子學(xué)習(xí)模型，提高算法性能。

1 基本粒子群算法

基本PSO算法的數(shù)學(xué)描述如下。

粒子群的初始種群規(guī)模設(shè)定為N，粒子維數(shù)為n維，在t時(shí)刻粒子i在解空間的坐標(biāo)定義為Xti=（xti1，xti2，…，xtin），i=1，2，…，N，其速度大小決定了粒子每次在解空間飛行距離大小，用Vti=（vti1，vti2，…，vtin）表示，則粒子i在時(shí)刻t的第j（j=1，2，…，n）維空間中的速度以及位置更新公式如式（1）～（3）所示：

其中：ω為慣性權(quán)值;c1和c2為加速因子;r1和r2是在[0，1]區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，粒子在解空間進(jìn)行搜索的過(guò)程中，粒子的速度會(huì)被限定在一個(gè)最大搜索范圍之內(nèi)，速度最大值用vmax表示，限定粒子在搜索過(guò)程中的范圍，改善算法性能。gbest為全局極值，而pij表示個(gè)體極值。

2 HCPSO算法

2.1 HCPSO算法原理

在基本PSO算法中，種群中所有粒子都是單純地按照式（1）和（3）更新，使得種群在收斂時(shí)，降低了多樣性，導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)。有研究表明，在尋優(yōu)過(guò)程中較優(yōu)粒子會(huì)有更大概率靠近最優(yōu)位置，而較差粒子更偏離最優(yōu)位置[18]，因此，本文根據(jù)粒子適應(yīng)度值和函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)將種群動(dòng)態(tài)劃分為三個(gè)不同階層，對(duì)不同階層的粒子采用不同的學(xué)習(xí)方式。這種分級(jí)策略在增加種群多樣性的同時(shí)，一定程度上提高了粒子的搜索速度。上層粒子較優(yōu)，其鄰域內(nèi)存在更好解的可能性更大，因此對(duì)其采用局部學(xué)習(xí)模型，加強(qiáng)局部范圍搜索能力;中層粒子處于優(yōu)劣之間，作為整個(gè)群體信息交流的橋梁，兼顧全局與局部搜索能力，保留基本學(xué)習(xí)模型;下層粒子較差，因此讓其以一定概率隨機(jī)游走，并采用全局學(xué)習(xí)模型，增強(qiáng)種群多樣性。

算法迭代初期，種群中大部分粒子距離最優(yōu)位置較遠(yuǎn)，因此使上層粒子較少、下層粒子較多，增強(qiáng)算法全局搜索能力;算法迭代后期，粒子逐漸向最優(yōu)位置靠攏，需對(duì)解空間進(jìn)行細(xì)致搜索，因此增加上級(jí)階層粒子，同時(shí)減少下級(jí)階層粒子，加強(qiáng)算法局部搜索能力，提高收斂速度。隨著算法迭代，各階層粒子的數(shù)量變化如圖1所示。

2.2 HCPSO算法具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程

PSO算法優(yōu)化過(guò)程中，設(shè)當(dāng)代全體粒子適應(yīng)度值大小用集合F={f1， f2，…， fN}表示，其中：N代表粒子總數(shù)， fi代表的是第i個(gè)粒子適應(yīng)度值大小。根據(jù)適應(yīng)度值大小對(duì)全體粒子進(jìn)行升序排列（此處適應(yīng)度值越小代表粒子位置越優(yōu)），形成新的粒子序列集合X={x1，x2，…，xN}，重新排序后粒子的序號(hào)唯一標(biāo)識(shí)粒子的優(yōu)劣程度，如圖2所示。

由圖2可知，重新排序后，粒子序號(hào)越大，表示粒子適應(yīng)度值越差，因此，將重新排序后的粒子序號(hào)作為劃分粒子為不同階層的依據(jù)。設(shè)定全局最優(yōu)粒子重新排序后的序號(hào)為NXl，low和up分別表示分層的下界和上界，具體更新方式如式（4）和（5）所示：

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為Intel Core i5-4258U CPU @ 2.40GHz，內(nèi)存為8GB，在Matlab 2017a下完成。

為增強(qiáng)可比性，選擇多子群方面的改進(jìn)算法來(lái)進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，選取基本PSO算法、DMS-PSO算法、PSO-SMS（Self-adaptive Multi-Swarm PSO）[19]算法與HCPSO算法進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)適應(yīng)度誤差均值與標(biāo)準(zhǔn)差，算法各自獨(dú)立運(yùn)行50此處為50次，而3.4節(jié)中卻是30次，不一致，是寫(xiě)錯(cuò)了，還是我們理解錯(cuò)了？請(qǐng)明確?；貜?fù)：那個(gè)實(shí)驗(yàn)是兩次實(shí)驗(yàn)，分開(kāi)的，也可以理解成我重復(fù)了兩次實(shí)驗(yàn)，但是第二次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)只進(jìn)行了30次。第一次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行了50次，這個(gè)沒(méi)有寫(xiě)錯(cuò)。次。不同的PSO設(shè)置了統(tǒng)一參數(shù)。算法參數(shù)設(shè)置為：ω=0.7296，最大迭代次數(shù)T=2000，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，粒子維數(shù)分別取10維和30維，其他對(duì)比算法的特定參數(shù)選取如參考文獻(xiàn)所述，此處不再贅述。

3.3 算法收斂情況分析

表2給出了4種算法在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的粒子平均適應(yīng)度（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）的統(tǒng)計(jì)對(duì)比數(shù)據(jù)，粒子分別取10維和30維。

由表2中數(shù)據(jù)可以看出，不管對(duì)單峰函數(shù)、多峰函數(shù)、噪聲函數(shù)還是旋轉(zhuǎn)多峰函數(shù)，HCPSO算法相對(duì)于基本PSO算法和其他兩種對(duì)比算法在收斂精度和穩(wěn)定性上都有較為明顯的優(yōu)勢(shì)。函數(shù)1～3均為單峰函數(shù)，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)于函數(shù)1～2幾種算法都能取得一定的優(yōu)化效果，但是HCPSO算法的優(yōu)化精度明顯更高，穩(wěn)定性也更好，函數(shù)3是相對(duì)更為復(fù)雜的單峰函數(shù)，由表中可以看出其他對(duì)比算法優(yōu)化效果較差，而HCPSO算法依然可以保持較好的優(yōu)化效果;函數(shù)4～6均為多峰函數(shù)，由表2中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，針對(duì)多峰函數(shù)，HCPSO算法依然有較高的收斂精度，PSO算法很快就陷入局部最優(yōu)，PSO-SMS算法以及DMS-PSO算法在10維的時(shí)候能夠取得一定的優(yōu)化效果，但是隨著維數(shù)增加，其優(yōu)化效果變得較差，而HCPSO算法隨著維度的增加，收斂精度波動(dòng)較小，證明HCSPO算法對(duì)于高維多峰問(wèn)題有較好的適應(yīng)性，對(duì)于多峰函數(shù)，HCPSO算法收斂精度較高，證明下層粒子按照全局學(xué)習(xí)模型以及擾動(dòng)方式更新可以增加粒子多樣性，提高算法前期的全局搜索能力，讓粒子在搜索過(guò)程中更容易跳出局部最優(yōu)位置，找到更好的解;函數(shù)7為噪聲函數(shù)，由表2中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在10維的時(shí)候HCPSO算法的優(yōu)化效果較好，基本PSO算法的優(yōu)化效果次之，而PSO-SMS算法和DMS-PSO算法優(yōu)化效果較差，可以看出HCPSO算法抗干擾能力較好，隨著維度的增加，PSO-SMS算法和DMS-PSO算法的抗干擾能力相對(duì)有所提升，但是和HCPSO算法相比依然有較大差距;函數(shù)8～9為典型的旋轉(zhuǎn)多峰函數(shù)，由表2中的數(shù)據(jù)可以看出，不管實(shí)在10維還是30維的情況下HCPSO算法相對(duì)其他對(duì)比算法都有明顯的優(yōu)勢(shì)，特別是對(duì)函數(shù)9優(yōu)勢(shì)較大。

為了更直觀地表現(xiàn)出算法在迭代過(guò)程中的收斂情況，圖4給出了粒子維數(shù)取30維的情況下，各算法在不同測(cè)試函數(shù)上的優(yōu)化對(duì)比曲線，縱坐標(biāo)是以10為底取對(duì)數(shù)后的結(jié)果。在算法迭代初期，保持下層粒子較多，粒子更容易跳出局部最優(yōu)位置，找到更好的解，由圖4中（a）、（c）、（e）、（g）和（h）可以看出，算法在迭代過(guò)程中有明顯跳出局部最優(yōu)的過(guò)程，證明下層粒子的擾動(dòng)和更新策略的有效性。上層粒子隨著算法迭代的進(jìn)行，粒子數(shù)逐漸增加，由圖中曲線的變化趨勢(shì)可以看出，HCPSO算法的收斂速度對(duì)比其他算法有明顯提高，證明上層粒子進(jìn)行局部搜索能夠在一定程度上加快算法后期收斂，驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。

3.4 算法復(fù)雜度分析

如表3所示，給出了4種算法在6個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次，平均每次所需的時(shí)間（計(jì)算機(jī)性能對(duì)時(shí)間影響較大），粒子維數(shù)為30維，最大迭代次數(shù)為2000。

由表3可以看出，在相同的迭代次數(shù)下，基本PSO算法迭代所用時(shí)間最短，DMS-PSO算法由于分群原因，其粒子數(shù)較多，運(yùn)行時(shí)間相對(duì)增加，而PSO-SMS算法雖然分群過(guò)程中各子群的粒子較少，但是需要對(duì)粒子進(jìn)行多次重組增加了運(yùn)行時(shí)間，HCSPO算法所需時(shí)間對(duì)比基本PSO算法差別并不明顯，由此可以看出所提出的改進(jìn)策略并沒(méi)有以消耗運(yùn)行時(shí)間為代價(jià)來(lái)提高算法的性能。

由基本PSO算法的執(zhí)行流程可以看出，算法的時(shí)間復(fù)雜度主要來(lái)自于粒子位置初始化以及粒子速度和位置更新部分，其時(shí)間復(fù)雜度均可以表示為O（N·D）。對(duì)2.3節(jié)中HCPSO算法偽代碼的描述進(jìn)行分析，得出算法在運(yùn)行過(guò)程中增加了對(duì)粒子所在層級(jí)的判斷，需要按照適應(yīng)度值的大小對(duì)粒子進(jìn)行排序，排序部分時(shí)間復(fù)雜度表示為O（N2），在粒子維數(shù)較小時(shí)，維度大小近似和種群規(guī)模相同，而實(shí)際情況中，粒子維度取值一般比較適中，所以HCPSO算法的時(shí)間復(fù)雜度近似記為O（N·D），并未在數(shù)量級(jí)上改變算法的復(fù)雜度。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)PSO算法的原理進(jìn)行了深入分析研究，針對(duì)基本PSO算法易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不高、收斂速度較慢的問(wèn)題，提出一種基于分層自主學(xué)習(xí)的改進(jìn)PSO算法。首次提出類似多子群方式的分層方式，通過(guò)對(duì)種群進(jìn)行動(dòng)態(tài)分層，根據(jù)不同層級(jí)粒子特性采用不同的學(xué)習(xí)模型，增加粒子多樣性和自主學(xué)習(xí)能力，讓算法更容易跳出局部最優(yōu)位置。動(dòng)態(tài)分層方式可以在不增加粒子數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)類似分群的效果，并且中間層作為通信橋梁避免了粒子信息交流過(guò)程中通信周期難以確定的問(wèn)題。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。然而本文算法存在有待改進(jìn)之處，例如中級(jí)階層粒子數(shù)較多，對(duì)算法的影響較大，基本學(xué)習(xí)模型還有進(jìn)一步改進(jìn)優(yōu)化空間，并且將算法在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行驗(yàn)證，將理論應(yīng)用于實(shí)際有待深入討論，這將是下一步需要研究的問(wèn)題。

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