劉杉杉 高飛 李文琴

摘 要：針對(duì)二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程的求解問題，引進(jìn)了一種離散化方法對(duì)其進(jìn)行離散求解。首先，將二維Logistic整數(shù)階微分方程推廣到分?jǐn)?shù)階微積分領(lǐng)域;其次，分析相應(yīng)具有分段常數(shù)變?cè)亩SLogistic分?jǐn)?shù)階微分方程并應(yīng)用提出的離散化方法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解;然后，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論討論該合成動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，給出了在參數(shù)空間內(nèi)二維Logistic分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)發(fā)生第一次分岔的邊界方程;最后，借助Matlab對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，并結(jié)合Lyapunov指數(shù)、相圖、時(shí)間序列圖、分岔圖探討模型更多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。仿真結(jié)果顯示，所提方法成功對(duì)二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行離散。

關(guān)鍵詞：二維Logistic微分方程;時(shí)滯;分段常數(shù)變?cè)?不動(dòng)點(diǎn);分岔;混沌

中圖分類號(hào)： TP391.9; TP301.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： Focusing on the problem of solving coupled Logistic fractional-order differential equation， a discretization method was introduced to solve it discretly. Firstly， a coupled Logistic integer-order differential equation was introduced into the fields of fractional-order calculus. Secondly， the corresponding coupled Logistic fractional-order differential equation with piecewise constant arguments was analyzed and the proposed discretization method was applied to solve the model numerically. Then， according to the fixed point theory， the stability of the fixed point of the synthetic dynamic system was discussed， and the boundary equation of the first bifurcation of the coupled Logistic fractional-order system in the parameter space was given. Finally， the model was numerically simulated by Matlab， and more complex dynamics phenomena of model were discussed with Lyapunov index， phase diagram， time series diagram and bifurcation diagram. The simulation results show that， the proposed method is successful in discretizing coupled Logistic fractional-order differential equation.

Key words： coupled Logistic differential equation; time delay; piecewise constant argument; fixed point; bifurcation; chaos

0 引言

混沌被認(rèn)為是繼量子力學(xué)與相對(duì)論之后的第三大科學(xué)發(fā)現(xiàn)?；煦缦到y(tǒng)是非線性動(dòng)力學(xué)映射主要表現(xiàn)形式之一，具有良好的類隨機(jī)、非周期、對(duì)初始值敏感、歷經(jīng)各態(tài)并可確定等特性[1-4]。其中Logistic混沌系統(tǒng)是May[5]在《Nature》上發(fā)表的一篇影響甚廣的綜述中提出來的，后來Feigenbaum[6]指出Logistic是通過倍周期分岔到達(dá)混沌的。之后，眾多學(xué)者一直致力于Logistic的相關(guān)研究[7-9]。在此基礎(chǔ)上，研究者們又研究了二維Logistic映射的分岔特性和混沌現(xiàn)象及其在生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用[10-11]。因在對(duì)一維映射到高維的研究中，二維Logistic映射起著銜接作用，且對(duì)二維映射中混沌現(xiàn)象和混沌控制的研究有助于認(rèn)識(shí)和控制更復(fù)雜的高維動(dòng)力系統(tǒng)的性態(tài)[12]，故引起了各個(gè)領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注[13-17]。因此，本文對(duì)二維Logistic微分方程進(jìn)行研究。

而近幾十年來，分?jǐn)?shù)階（非整數(shù)）混沌系統(tǒng)迅速發(fā)展。但研究人員發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一些分?jǐn)?shù)階微積分總表現(xiàn)出階數(shù)小于3的混沌行為，如Hartley等[18]的研究闡述了該現(xiàn)象。分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)適合刻畫描述具有記憶、遺傳等特性的過程，區(qū)別于整數(shù)階微分系統(tǒng)，也是研究分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的必要因素。整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)階次取整數(shù)時(shí)的特例，因此采用分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)對(duì)混沌現(xiàn)象進(jìn)行描述更具有普適性。此外大量研究表明，當(dāng)混沌系統(tǒng)的階數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)仍表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象，并且更能反映系統(tǒng)的工程物理現(xiàn)象。故本文將二維Logistic微分方程推廣到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，并引進(jìn)了一種離散化方法對(duì)其進(jìn)行離散求解，該離散化過程對(duì)分?jǐn)?shù)階求解提供了理論指導(dǎo)，為分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用開拓了新領(lǐng)域。接下來，根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性定理和混沌動(dòng)力學(xué)分析研究二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以及混沌現(xiàn)象。

1 二維Logistic分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

1.1 混沌的定義

設(shè)（X，ρ）是一緊致的度量空間，f：X→X是連續(xù)映射，稱f在X是混沌的，如果：1）f具有初值敏感依賴性;2）f在X上拓?fù)鋫鬟f;3）f的周期點(diǎn)在X中稠密[13]。

由于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌具有不可預(yù)測性、不可分解性和具有規(guī)律行為等特性，非線性系統(tǒng)隨時(shí)間的演變將趨向于維數(shù)比原來相空間低的極限集合，即吸引子。隨著控制參數(shù)的變化，簡單吸引子發(fā)展為奇異吸引子，此時(shí)系統(tǒng)是混沌的。

1.2 混沌的刻畫

1.3 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)微分和積分以任意階整數(shù)的一般化，近幾年因分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，吸引到很多學(xué)者，他們利用數(shù)值仿真研究該類方程。因?yàn)镃aputo型分?jǐn)?shù)階微分[20]描述問題的初始條件與整數(shù)階微分方程是一致的，因此本文選用Caputo型分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行研究，首先闡述Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分的定義：

2 離散化過程

當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分模型建立之后，便面臨著如何求解的問題。目前，對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程的求解主要采用兩種方法：頻域法[21]和時(shí)域法[22]。但近來研究發(fā)現(xiàn)，第二種更加有效，因第一種方法在檢測混沌現(xiàn)象時(shí)不總是可靠的。

通常分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解求解困難，于是不得不借助數(shù)值解的方法并輔助計(jì)算機(jī)仿真。分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的方法主要包括：有限元方法、變分迭代法、Adomain分解法、預(yù)估校正法等。其中在文獻(xiàn)[23]分別對(duì)分?jǐn)?shù)階Logistic模型和分?jǐn)?shù)階Henon模型給出了分?jǐn)?shù)階的數(shù)值求解方法，但該方法與預(yù)估校正法類似，求解結(jié)果比其他算法相比較為精確，但是兩者計(jì)算結(jié)果都比較復(fù)雜，并且前者的數(shù)值解不僅與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)而且依賴過去所有狀態(tài)，故在進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)加大了實(shí)驗(yàn)難度，進(jìn)而較難分析模型的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

而近年來，具有時(shí)滯和分段常數(shù)變量的微分方程受到越來越多生態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)者的關(guān)注，這一模型正解的穩(wěn)定性、有界性、吸引性以及振動(dòng)性得到了較全面的研究[24-26]。本文參考文獻(xiàn)[27-29]的離散化過程，定義了具有分段常數(shù)變?cè)亩SLogistic分?jǐn)?shù)階微分方程，并對(duì)其進(jìn)行離散化處理。方程表達(dá)如下：

3 二維Logistic系統(tǒng)中的混沌

3.2 不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性判別

根據(jù)3.1節(jié)給出的不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性判定條件，此時(shí)將不動(dòng)點(diǎn)f1fixed=（0，0）代入式（10），可得|K|max=1+4Wρ+Wγ，進(jìn)而得出K+>1、K->1。可知不動(dòng)點(diǎn)1為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)1是不穩(wěn)定的。將不動(dòng)點(diǎn)f2fixed=（（4ρ+γ）/（4ρ），（4ρ+γ）/（4ρ））代入式（10）可以推得，當(dāng)0<γ<（2-4Wρ）/（3W）時(shí)，|K+|<1，|K-|<1，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)2為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn);當(dāng)（2-4Wρ）/（3W）<γ<（2-4Wρ）/W時(shí)，|K+|<1，|K-|>1，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)2為鞍點(diǎn);而當(dāng)γ>（2-4Wρ）/W，|K+|>1，|K-|>1，此不動(dòng)點(diǎn)2為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。此外將不動(dòng)點(diǎn)2代入式（13）可知，當(dāng)γ<1/（2W）-2ρ時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生第一次分岔的分岔點(diǎn)為γ=（2-4Wρ）/（3W）或γ=（2-4Wρ）/W。本文將參數(shù)取值設(shè)定為ρ=2、α=0.95時(shí)，可計(jì)算得出γ=（2-4Wρ）/（3W）=0.34719和γ=（2-4Wρ）/W=1.04159，見圖1（a），該點(diǎn)為系統(tǒng)的分岔點(diǎn)。

3.3 通向混沌的道路

在動(dòng)力系統(tǒng)中當(dāng)控制參數(shù)變化到某個(gè)臨界值時(shí)，非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)發(fā)生定性變化的現(xiàn)象被稱為分岔，它是非線性系統(tǒng)內(nèi)部固有的一種特性[32]。1981年，Eckmann[33]曾對(duì)各種可能的分岔現(xiàn)象進(jìn)行了研究，歸納出走向混沌的三種途徑：1） Feigenbaum途徑（通過倍周期分岔）;2） Ruelle-Takens-Newhouse途徑（通過Hopf分岔）;3） Pomeau-Manneville途徑（通過陣法混沌）。

4 數(shù)值仿真與分析

為了在控制參數(shù)空間對(duì)系統(tǒng)的行為進(jìn)行較全面的考察，這里有選擇地研究了控制參數(shù)沿該空間中軌線變化時(shí)系統(tǒng)行為的演化，且具代表性。

本章主要借助Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真來說明理論結(jié)果以及揭示系統(tǒng)式（8）復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。這里主要采用控制變量法，即在其余參量保持正常值的條件下單獨(dú)探討一個(gè)參量對(duì)系統(tǒng)的影響[34]。本文探討了系統(tǒng)參數(shù)γ、階數(shù)α對(duì)分?jǐn)?shù)階微分的影響。此外，一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生混沌與否，一個(gè)關(guān)鍵的參考依據(jù)就是最大Lyapunov指數(shù)（Le）。故最大Lyapunov指數(shù)是對(duì)混沌最好的觀測者，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生混沌時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)為正，反之為負(fù)。

圖1為參數(shù)ρ1=ρ2=ρ=2、γ∈（0，1.6）時(shí)系統(tǒng)式（8）行為的演化規(guī)律，一般設(shè)定α=0.95，初值這里?。▁0，y0）=（0.1，0.2），迭代次數(shù)為300，步長為0.002?？芍?dāng)γ=0.25時(shí)系統(tǒng)趨于相平面的一穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)（圖1（a））所示;當(dāng)γ=1.0時(shí)，相平面出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)（圖2（a））;當(dāng)γ增加至1.1時(shí)，兩個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)，新的穩(wěn)定狀態(tài)是圍繞著原有不動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)極限環(huán)（圖2（b）），這個(gè)過程稱為Hopf分岔;當(dāng)γ=1.2時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期五窗口（圖2（c））;當(dāng)γ增加至1.238時(shí)，相平面出現(xiàn)是奇怪吸引子（圖2（d）），可知此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)L1>0（圖1（b）），系統(tǒng)的行為是混亂的;但隨著γ增加至1.259時(shí)，李雅普諾夫指數(shù)L1<0（圖1（b）），系統(tǒng)又回到了周期狀態(tài)，出現(xiàn)周期3窗口（圖2（e）），此時(shí)一般二維Logistic是按周期行為與混沌現(xiàn)象交替出現(xiàn)的間歇突發(fā)通向混沌的;γ繼續(xù)增加，軌道上的點(diǎn)按復(fù)雜方式扭曲，當(dāng)γ=1.3，由圖1（b）可知此時(shí)L1>0，相平面出現(xiàn)的是奇怪吸引子，系統(tǒng)的行為是混沌的，并且隨著γ的增加，奇怪吸引子尺寸變大且靠近的程度縮小，彼此靠近（圖2（g）～圖2（h））。故可知，該演化行為是按周期行為與混沌現(xiàn)象交替出現(xiàn)的間歇通向混沌的，屬于Pomeau-Manneville途徑的典型代表，且該間歇與Hopf分岔有關(guān)。

接下來改變階數(shù)α，分?jǐn)?shù)階階次α取定為0.80到0.95，此時(shí)分?jǐn)?shù)階階次具有一般性，初值為（x0，y0）=（0.1，0.2），迭代次數(shù)為300，步長為0.002，如圖3所示。此時(shí)以參數(shù)α為控制變量，觀察在此區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)隨著參數(shù)改變的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。從圖3可知，隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)α減小，分岔提前，穩(wěn)定區(qū)域變小。

從圖3可以看出，分?jǐn)?shù)階階次的改變影響著系統(tǒng)式（8）的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故選定α為控制變量，變量區(qū)間為（0.8，1.3），步長為0.001，迭代次數(shù)為300，初值選定為x0=0.1，y0=0.2，不失一般性，這里分別選定γ=1.1和γ=1.35做出分岔圖如圖4所示。從圖4可以看出，隨著階數(shù)α的增加，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定。

此外混沌動(dòng)力系統(tǒng)最重要的特性之一是對(duì)初值變化十分敏感，這意味著對(duì)當(dāng)前軌跡的任意小的擾動(dòng)都可能被放大，并在多次迭代之后導(dǎo)致顯著不同的未來行為。從（o（x1，y1），o′（x1′，y1′））不同的兩個(gè)點(diǎn)出發(fā)，兩條路徑之間的距離用歐氏距離衡量，表達(dá)如下：

為了顯示混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性，圖5繪制兩個(gè)無限接近但不相同的初始點(diǎn)（o（0.1，0.2），o′（0.1001，0.2））之間的距離（用“*”型線表示）。

由圖5可以看出，對(duì)于混沌系統(tǒng)而言，盡管對(duì)初值擾動(dòng)很小，但在幾次迭代后被放大。而由穩(wěn)定系統(tǒng)生成的另一基準(zhǔn)線（用“”表示），盡管兩條軌跡從兩個(gè)差異略大的點(diǎn)（o（0.1，0.2），o′（0.19，0.2））出發(fā)，但隨著迭代進(jìn)行，兩條軌跡之間的距離趨于0，表現(xiàn)出明顯的初始敏感性，進(jìn)而驗(yàn)證了上述的結(jié)論。

5 結(jié)語

本文研究了二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程，并運(yùn)用了一種離散化方法對(duì)其進(jìn)行離散求解、并以α、γ為控制參數(shù)通過數(shù)值仿真，并通過分岔圖、Lyapunov指數(shù)、相圖、時(shí)序圖對(duì)其離散化的二階差分模型的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行分析。此外，探究了二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程離散化模型不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)，給出了在參數(shù)空間中二維Logistic差分模型發(fā)生第一次分岔的邊界方程，并指出系統(tǒng)是按Pomeau-Manneville途徑走向混沌的，其間歇性與Hopf分岔有關(guān)。最后注意到當(dāng)α→1時(shí)，即歐拉離散過程。但是區(qū)別于歐拉法的是，本文成功對(duì)二維Logistic分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行離散[29]。

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