趙 密 王亞?wèn)| 高志懂 段亞偉 杜修力

（北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

引言

關(guān)于場(chǎng)地地震反應(yīng)的分析已有大量研究成果（Hashash 等，2010），研究表明土壤在地震作用下會(huì)表現(xiàn)出材料非線性效應(yīng)（Joyner 等，1975；Huang 等，2001；Arslan 等，2006；Hosseini等，2012）。等效線性化方法（Schnabel 等，1972；Idriss 等，1992；Bardet 等，2000；王篤國(guó)等，2016）是一種頻域方法，通過(guò)在不同土體應(yīng)變條件下選擇等效阻尼比和剪切模量，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題。當(dāng)采用材料非線性本構(gòu)模型描述土體非線性時(shí)，需采用時(shí)間積分算法求解非線性動(dòng)力有限元方程。時(shí)間積分算法可分為隱式方法和顯式方法（Crisfield，1991；Chopra，2009）。隱式算法（欒茂田等，1992；Chopra，2009）每時(shí)刻需求解線性代數(shù)方程組，計(jì)算效率相對(duì)較低，如Wilson-θ 法和Newmark 法等。顯式算法無(wú)需求解線性代數(shù)方程組，適合于強(qiáng)非線性和自由度數(shù)目較大的問(wèn)題。研究者已提出多種顯式時(shí)間積分算法（Chung 等，1994；王進(jìn)廷等，2002；Belytschko 等，2014）。作者Zhao 等（2019）近期提出一種二階精度的單步顯式算法，該算法適合變時(shí)步問(wèn)題，在線彈性范圍內(nèi)穩(wěn)定性較好。本文將該算法推廣至求解非線性動(dòng)力有限元方程中，并將其應(yīng)用于地震波垂直入射時(shí)非線性地震反應(yīng)分析。

1 非線性動(dòng)力有限元方程的顯式時(shí)間積分算法

2 地震波垂直入射時(shí)場(chǎng)地非線性地震反應(yīng)分析

本節(jié)將上述非線性有限元方程的顯式時(shí)間積分算法應(yīng)用于地震波垂直入射時(shí)場(chǎng)地非線性地震反應(yīng)分析中。假定基巖為線彈性半空間，考慮基巖上覆土層的材料非線性，不考慮土體阻尼。在土層下部設(shè)置黏性邊界條件模擬半空間基巖的輻射阻尼，并在該處以等效結(jié)點(diǎn)力的方式實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)輸入。

計(jì)算模型見(jiàn)圖2，選取A 點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)。土體非線性材料本構(gòu)模型選取鄧肯-張模型（Duncan 等，1970），土體線彈性參數(shù)見(jiàn)表1（杜修力等，2016），杜修力等（2016）未給出配套的非線性參數(shù)，故算例中的非線性參數(shù)參考實(shí)際情況選取，后續(xù)研究中將使用更真實(shí)表現(xiàn)土體非線性行為的本構(gòu)模型及真實(shí)工程場(chǎng)地參數(shù)。算例中的大氣壓參數(shù)取100kPa，內(nèi)摩擦角增量取0°。入射地震動(dòng)分別選取狄拉克脈沖和實(shí)測(cè)地震動(dòng)（Gilroy Array #3，Coyote Lake, 1979）。入射狄拉克脈沖見(jiàn)圖3，觀測(cè)點(diǎn)結(jié)果見(jiàn)圖4，實(shí)測(cè)地震動(dòng)見(jiàn)圖5，觀測(cè)點(diǎn)結(jié)果見(jiàn)圖6。圖4、圖6 中給出采用中心差分法的計(jì)算結(jié)果作為參考解，由圖4、圖6 可知，本文算法與中心差分法計(jì)算結(jié)果吻合較好，說(shuō)明本文算法的有效性。

圖2 大開(kāi)車站沿線土層縱斷面構(gòu)造 Fig.2 Site condition of the Daikai subway station in vertical direction

表1 土層參數(shù) Table 1 Parameters of soils

圖3 狄拉克脈沖速度和加速度時(shí)程圖 Fig.3 Velocity and acceleration time history of the Dirac pulse

圖4 狄拉克脈沖入射時(shí)場(chǎng)地反應(yīng)分析結(jié)果 Fig.4 Results of site analysis under the incident of Dirac pulse

圖5 實(shí)測(cè)地震動(dòng)速度和加速度時(shí)程圖 Fig.5 Velocity and acceleration time history of the seismic motion

圖6 實(shí)測(cè)地震動(dòng)入射時(shí)場(chǎng)地反應(yīng)分析結(jié)果 Fig.6 Results of site reaction analysis under the incident of the seismic motion

3 結(jié)論

本文發(fā)展一種求解材料非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的顯式時(shí)間積分算法，并應(yīng)用于地震波豎直入射時(shí)非線性地震反應(yīng)分析中，通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的有效性。該顯式算法具有無(wú)需對(duì)角阻尼矩陣、單步、穩(wěn)定性良好等優(yōu)點(diǎn)。本文考慮了鄧肯-張非線性彈性本構(gòu)模型，下步研究可考慮將該顯式算法擴(kuò)展到彈塑性本構(gòu)模型及更能反映土層真實(shí)變形的本構(gòu)模型中。