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        超可加對策的邊際等分集

        2019-07-25 02:56:06常麗娜
        長治學院學報 2019年2期
        關鍵詞:平均主義子集邊際

        張 莉,常麗娜

        (長治學院 數(shù)學系,山西 長治 046011)

        1 引言

        文章將邊際主義原則與平均主義原則加以結(jié)合,針對超可加對策提出了一種新的集合解—邊際等分集。證明了邊際等分集中的每一個解都滿足有效性與個體理性,也就是說它們都包含在分配集中,由此可見,邊際等分集是比較合理的分配方式。其次,文章給出了邊際等分集的分配單調(diào)性,越早瓜分收益的參與人得到的收益越多,以此鼓勵參與者積極為大聯(lián)盟的形成做貢獻。最后,證明了邊際等分集是均分核心的子集。

        2 預備知識

        一個對策 v 是超可加的,若 v(S∪T)≥v(S)+v(T)對所有的且都成立。本文中沒有強調(diào)的對策v均是超可加對策。

        1972年Selten提出了等分配核[8]的概念

        3 主要結(jié)論

        在給出邊際等分集之前,我們先來定義一個序列博弈。

        定義1給出了一個序列博弈,從大聯(lián)盟N中逐步剔除一些參與者,由剩下的參與者以及他們的特征函數(shù)構(gòu)成新的對策。

        定義3 給定一個恰當有序劃分π=〈T1,T2,…,Tk〉,基于π的邊際等分解

        事實上,根據(jù)定義1,邊際等分解可以表示為

        對于一個超可加對策v,可能存在多個恰當有序劃分,每個恰當有序劃分都可以得到一個邊際等分解,那么所有邊際等分解的集合,我們稱為邊際等分集(marginal equal split set),簡稱 MESS。

        為了幫助理解邊際等分集的概念,我們先來看兩個例子。

        例 1 設有合作對策 v,N={1,2,3},

        v(1)=2,v(2)=3,v(3)=1,v(12)=6,v(13)=4,v(23)=5,v(123)=8,

        求該博弈的邊際等分集。

        解:(1)先求每個聯(lián)盟對于大聯(lián)盟N的平均邊際貢獻:

        (2)剔除參與者2后對策v2為v2(1)=2,v2(3)=1,v2(13)=4。

        所以,T2={1},x1=3。

        (3)剔除參與者1后對策v3為v3(3)=1。

        所以,T3={3},x3=1。

        綜上所述,該對策的恰當有序劃分為π=〈{2},{1},{3}〉,其邊際等分集 MESS(v)={(3,4,1)}。

        例 2 設有合作對策 v,N={1,2,3,4},

        求該博弈的邊際等分集。

        (2)剔除參與者1、2,對策v2為v2(3)=0,v2(4)=0,v2(34)=0。

        所以 T2={3,4},x3=x4=0。

        綜上所述在恰當有序劃分 π=〈{1,2},{3,4}〉下,該對策的邊際等分解為(50,50,0,0)。

        同理考慮所有的恰當有序劃分,最終求得該對策的邊際等分集

        邊際等分集是一個集合解,它具有較好的性質(zhì),我們可以證明超可加對策的邊際等分集是其分配集的子集。

        證明:即證對任意的x∈MESS(v),則x∈I(v)。也就是說對任意的x∈MESS(v)都滿足有效性與個體理性。

        取任意的x∈MESS(v),其對應恰當有序劃分〈T1,T2,…,Tk〉。

        所以x是有效的。

        令 i∈Tr,r∈{1,2,…,k}

        其中,第一個不等式是根據(jù)邊際等分集的定義,第二個不等式是因為對策v是超可加的。

        因此,x是個體理性的。

        根據(jù)邊際等分集的分配方式,我們推測越早分到收益的參與者,分得的收益也應該越多。事實上,我們可以證明在超可加對策中,邊際等分集滿足這樣的分配單調(diào)性。

        性質(zhì) 6 設 v 是一個超可加對策,〈T1,T2,…,Tk〉是對策v的一個恰當有序劃分,則

        對所有的 r∈{1,2,…,k-1}均成立。

        證:根據(jù)定義

        所以

        超可加對策的邊際等分集與已有的解之間也存在一定關系。超可加對策的邊際等分集是等分配集的子集。

        令 x∈MESS(v),其對應恰當有序劃分〈T1,T2,…,Tk〉。

        4 總結(jié)

        文章結(jié)合“邊際主義”和“平均主義”原則提出了邊際等分集這一集合解,并給出了邊際等分集的一些良好的性質(zhì),以此說明邊際等分集的相對合理性。缺陷在于邊際等分集只是針對超可加對策,對于一般合作對策不適用。在接下來的研究中,我們可以結(jié)合“邊際主義”和“平均主義”提出針對所有合作對策都適用的一般解,并說明該解的公平合理性。

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