王慧蓉，賈武艷

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域中，常常會(huì)遇到求解線性方程組的問(wèn)題，而方程組解的準(zhǔn)確性則由其性態(tài)所決定。病態(tài)線性方程組是在計(jì)算過(guò)程中經(jīng)常要遇到的問(wèn)題，因其系數(shù)矩陣的條件數(shù)很大，故會(huì)使得解嚴(yán)重失真。近年來(lái)，求解病態(tài)線性方程組的新算法不斷推出，文獻(xiàn)[1]采用了正則化方法求解病態(tài)方程組，文獻(xiàn)[2]提出了病態(tài)問(wèn)題的增廣方程組法，文獻(xiàn)[3]給出了精細(xì)積分解法等，并給出了一些數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明有較好的效果。但這些算法中選取的數(shù)值例子比較單一，大多數(shù)都以Hilbert矩陣為例來(lái)研究病態(tài)線性方程組，而針對(duì)系數(shù)矩陣為范德蒙德矩陣的研究相對(duì)較少。

文章選取以系數(shù)矩陣為范德蒙德矩陣的病態(tài)線性方程組，借鑒文獻(xiàn)[4]提供的單參數(shù)迭代法和文獻(xiàn)[5]中的新主元加權(quán)迭代法，對(duì)病態(tài)線性方程組進(jìn)行分析求解。結(jié)果表明選取的迭代方法切實(shí)可行，對(duì)分析此病態(tài)線性方程組有很大幫助。

1 范德蒙德矩陣的病態(tài)性分析

選取n階的范德蒙德矩陣如下：

估計(jì)其階數(shù)與2-條件數(shù)的關(guān)系，分析其病態(tài)性。

表1 階數(shù)n與條件數(shù)

由表1的數(shù)據(jù)可知，隨著范德蒙德矩陣階數(shù)的增加，其2-條件數(shù)也越來(lái)越大，病態(tài)性也越來(lái)越嚴(yán)重參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7]。為更直觀地了解階數(shù)與條件數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)條件數(shù)增長(zhǎng)率進(jìn)一步分析，如圖1所示。

圖1 2-條件數(shù)的對(duì)數(shù)（log（cond（H）））與階數(shù)n的關(guān)系圖

從圖1中可以看出，當(dāng)范德蒙德矩陣的階數(shù)增加時(shí)，其對(duì)應(yīng)的條件數(shù)在不斷增加，病態(tài)程度也越嚴(yán)重。

2 單參數(shù)迭代法求解病態(tài)線性方程組

設(shè)病態(tài)線性方程組為：

其中系數(shù)矩陣A為范德蒙德矩陣，

即

對(duì)于上述線性方程組，取n=10，A的條件數(shù)為cond2（A）≈1.2×1014，可以看出此時(shí)矩陣A是嚴(yán)重病態(tài)的矩陣。用單參數(shù)迭代法對(duì)這個(gè)線性方程組進(jìn)行求解，其中單參數(shù)迭代算法的參數(shù)ρ=1.000001（經(jīng)過(guò)多次驗(yàn)證所得），得到表2的數(shù)值結(jié)果。

由表2可得：?jiǎn)螀?shù)迭代法對(duì)此病態(tài)線性方程組的求解效果比較好，迭代次數(shù)上有比較明顯的優(yōu)勢(shì)，此方法對(duì)求解一般的病態(tài)方程組是非常有效的。

表2 解的近似值（n=10，ρ=1.000001）

3 新主元加權(quán)迭代法求解病態(tài)線性方程組

設(shè)病態(tài)線性方程組：

其中系數(shù)矩陣為范德蒙德矩陣，

下面用新主元加權(quán)迭代法對(duì)這個(gè)線性方程組進(jìn)行求解，得到的結(jié)果如表3所示。

表3 解的近似值（n=10加權(quán)因子為ρ=1.000001）

由表3的數(shù)據(jù)可知，此方法相較于文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[8]中的方法，迭代次數(shù)明顯減少，收斂速度也更快，解的精確度也非常高。在經(jīng)過(guò)多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)選取合適的加權(quán)因子后，對(duì)求解階數(shù)不高時(shí)的病態(tài)線性方程組是有效的。

下面進(jìn)一步分析加權(quán)因子取值的不同對(duì)此病態(tài)線性方程組解的影響。

表4 加權(quán)因子與絕對(duì)誤差

從表4可以看出，對(duì)于加權(quán)因子ρ=0.0001，隨著階數(shù)的增加，絕對(duì)誤差在增大。當(dāng)階數(shù)增加到12時(shí)，在重新選擇ρ=0.0001的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)絕對(duì)誤差繼續(xù)增大，說(shuō)明本方法還有待進(jìn)一步改進(jìn)。

4 結(jié)論

由上述研究結(jié)果可知，方法一（單參數(shù)迭代法）收斂速度快，是比較實(shí)用和有效的算法。方法二（新主元加權(quán)法）降低了矩陣的條件數(shù)，提高了收斂速度和精度。通過(guò)Mat l a b軟件編程并運(yùn)算以系數(shù)矩陣為范德蒙德矩陣的病態(tài)線性方程組可知，這兩種方法都有較好的求解效果。但是對(duì)于矩陣元素過(guò)大的病態(tài)線性方程組，加權(quán)因子ρ應(yīng)如何更合理地選取，還有待進(jìn)一步研究，以提高算法的有效性。