萬志敏， 王 婷， 李 霖， 陸瓊曄

(1.南通職業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 南通 226007；2.南通職業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南通 226007；3.華中科技大學(xué) 機械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430074)

在許多實際工程問題中，精確地掌握作用于結(jié)構(gòu)上的外載荷及參數(shù)[1-6]對結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計、響應(yīng)重構(gòu)、故障診斷以及健康監(jiān)測等起著非常重要的作用。然而，現(xiàn)實情況下，載荷很難測量出來，而結(jié)構(gòu)參數(shù)往往也是未知的。那么，結(jié)構(gòu)載荷和參數(shù)的聯(lián)合識別已成為當(dāng)今結(jié)構(gòu)動力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點。

Yang等[7]提出了基于擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Fiter，EKF)的EKF-UI法來連續(xù)識別載荷及參數(shù)。最近Lei等[8]采用最小二乘法推導(dǎo)出了EKF-UI，并指出傳統(tǒng)的EKF-UI的推導(dǎo)方法過于繁瑣。另外，Lei等[9]還采用簡化版的EKF-UI法來識別非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)。Naets等[10]基于增廣卡爾曼濾波(KF)提出了A-DEKF(Dual Extended Kalman Fiter)法來識別狀態(tài)/載荷/參數(shù)，核心思想是將狀態(tài)/載荷/參數(shù)作成增廣狀態(tài)，進而采用KF法來識別增廣狀態(tài)。不過，該方法需要一個合適的未知載荷方差估計，該方差估計對算法的穩(wěn)定性影響很大。作者最近也基于GDF法提出了擴展GDF法(EGDF)來連續(xù)識別載荷和參數(shù)，其思想是利用EKF的非線性系統(tǒng)一階線性化[11]。不過，EGDF存在兩個主要的問題，一是需要已知未知載荷自由度上的加速度響應(yīng)；二是僅采用加速度響應(yīng)識別，會產(chǎn)生位移、載荷識別的低頻漂移現(xiàn)象，這是因為加速度和位移響應(yīng)分別包含了高低頻振動特性。

本文針對上述兩個缺點，來改進EGDF法。首先，基于模態(tài)空間將笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)，那么動力學(xué)問題則變?yōu)樽R別模態(tài)位移以及模態(tài)載荷。然后，基于模態(tài)縮減法來降低整個系統(tǒng)的維數(shù)，從而提高計算效率，便于實時識別。最后，再融合個別位移響應(yīng)來與部分加速度響應(yīng)共同識別系統(tǒng)，可以避免識別的位移和載荷出現(xiàn)低頻漂移現(xiàn)象。數(shù)值算例分別采用桁架以及單層浮筏為對象，來驗證本文方法的有效性。

1 EGDF法回顧

對于線性時不變動態(tài)系統(tǒng)，其離散狀態(tài)空間方程可以表示為

(1)

zk+1=fk(zk,uk)+wkk=1,2,…,T

(2)

yk=hk(zk)+Dkuk+vkk=1,2,…,T

(3)

式中：下標(biāo)k為t=(k+1)Δt時刻；Δt為采樣時間間隔；f(·)和h(·)為非線性函數(shù)；另外，wk和vk分別為系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，他們通常被假設(shè)為互不相關(guān)、均值為零，方差分別為Gk、Rk。

在上述條件下，可以得到連續(xù)識別載荷和增廣狀態(tài)的EGDF算法，主要包含三步：

(1) 載荷識別步

(4)

(5)

(6)

(7)

(2) 測量更新步

(8)

(9)

(10)

(11)

(3) 時間更新步

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

顯然，EGDF法是借助于EKF一階線性化的思想，如果狀態(tài)傳遞及觀測方程皆為線性方程，則上述EGDF法退化為GDF法。

2 位移及加速度融合下的EGDF法

工程實際中，采用加速度傳感器來測量振動響應(yīng)的應(yīng)用更為廣泛。然而，采用部分加速度響應(yīng)來識別系統(tǒng)的GDF算法具有本征的不穩(wěn)定性，它會給識別位移及載荷值帶來所謂的虛假低頻漂移現(xiàn)象。導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因是因為加速度信號對于輸入載荷的準(zhǔn)靜態(tài)分量不靈敏[12]。盡管正則化的方法以及一些信號后處理方法可以解決該問題，但是這些方法都不適合載荷、參數(shù)的實時反演。本文采用個別位移響應(yīng)加上部分加速度響應(yīng)信號來共同識別未知載荷和增廣狀態(tài)。這是因為加速度信號和位移信號分別包含了高、低頻振動特性。那么，加速度及位移數(shù)據(jù)融合下的測量響應(yīng)應(yīng)包含在式(3)中的yk中，這就導(dǎo)致了式中hk(zk)及Dk發(fā)生改變。

3 模態(tài)EGDF法

增廣狀態(tài)向量的維數(shù)為2n+a(a為未知參數(shù)的數(shù)目)，而EGDF法的計算階數(shù)為(2n+a)3，那么即使是針對一個簡單結(jié)構(gòu)的識別也將會消耗很大的計算資源。本文采用模態(tài)縮減法來拓展EGDF法，即使用較低的幾階主導(dǎo)模態(tài)即可識別結(jié)構(gòu)載荷和參數(shù)，使得EGDF法更具工程實用性。引入模態(tài)坐標(biāo)變換，

p(t)=Φq(t)

(17)

(18)

(19)

γi=2ζiωi

(20)

式中：γi為第i階模態(tài)阻尼，其中ζi是第i階模態(tài)阻尼率。

fc(z(t),u(t))

(21)

觀測方程同樣可用增廣模態(tài)狀態(tài)向量表示為

(22)

其中

(23)

D=ΦsΦTBu

(24)

式中：Φs為s個測量響應(yīng)對應(yīng)的振型系數(shù)矩陣，可以看出D矩陣為可逆矩陣。

將模態(tài)狀態(tài)傳遞方程式(21)離散線性化，可得

(25)

其中

(26)

(1) 特征值靈敏度矩陣

(27)

其中

(28)

(2) 特征向量靈敏度矩陣

(29)

式中，第i階特征向量的靈敏度可以由下式計算

(30)

系數(shù)Cij為

(31)

(32)

(33)

由式(33)可知，當(dāng)ζ是其中的未知參數(shù)時，有

(34)

當(dāng)ζ不是未知參數(shù)時，有

(35)

另外，可得靈敏度矩陣

(36)

(37)

采用“2”節(jié)中的位移、加速度融合響應(yīng)來識別，那么綜上所述，結(jié)合模態(tài)變換法即可得EGDF的模態(tài)形式，為了提高計算效率，僅需取結(jié)構(gòu)的前r階主導(dǎo)模態(tài)，而忽略后面n-r階模態(tài)即可。

(38)

4 數(shù)值分析

u1=40sin(24πt)+40sin(48πt)

(39)

載荷u2為隨機激勵載荷。

(a) 桁架結(jié)構(gòu)

(b) 桁架有限元模型和傳感器布置

假設(shè)桿單元5、7、10、14、15和17的剛度是未知的，初始值為759.5 N/m、633.0 N/m、1 342.5 N/m、1 163.5 N/m、759.5 N/m、633.0 N/m。通常，采用的模態(tài)數(shù)越多，識別的參數(shù)結(jié)果越準(zhǔn)確，但是計算量也隨之變大。本文的模態(tài)EGDF法僅采用前5階主導(dǎo)模態(tài)來識別。

首先，僅采用7個加速度測量響應(yīng)來識別未知載荷、狀態(tài)以及參數(shù)，它們分別是節(jié)點2、3、5、7、8、10的加速度響應(yīng)，不同于EGDF法，模態(tài)EGDF法無需載荷位置自由度的加速度測量響應(yīng)信號。5%的環(huán)境噪聲加在了測量響應(yīng)中。圖2～圖3是載荷的識別圖，由圖可知，識別值出現(xiàn)了漂移現(xiàn)象，且相對誤差達到10.23%。另外，所有的位移和速度都被識別，其中圖4展示了節(jié)點7的位移及速度識別值，由圖4可知，速度值識別的結(jié)果很好，但是位移值不出意外的也出現(xiàn)了低頻漂移現(xiàn)象。

為了解決上述的漂移現(xiàn)象，個別測量位移也用來和上述加速度測量響應(yīng)一起來反演未知載荷、狀態(tài)及參數(shù)，此時節(jié)點3和節(jié)點10的豎直位移是增加的測量響應(yīng)。圖5～圖7分別展示了載荷、位移和速度識別值(其中載荷識別值的相對誤差減小到3.68%)，可以看出采用了位移、加速度融合的手段，可以消除載荷及位移的低頻漂移現(xiàn)象，識別的圖線基本與理論值一致。另外，桁架的7個未知剛度識別值，如表1所示?？芍瑒偠茸R別值的準(zhǔn)確性非常高。綜上所述，本文的模態(tài)EGED法以及融合策略對于解決結(jié)構(gòu)的載荷、狀態(tài)以及參數(shù)識別問題具有很強的適用性。

圖2 載荷u1的實際值和識別值

(a) 載荷u2的實際值和識別值

(b) 圖3(a)的局部放大圖(1～1.1 s)

5 結(jié) 論

(1) 基于模態(tài)縮減拓展了傳統(tǒng)EGDF法來進行載荷、狀態(tài)及參數(shù)的聯(lián)合識別，使得反演過程中無需載荷所在自由度的加速度測量信號。

(2) 為避免位移及載荷識別結(jié)果出現(xiàn)低頻漂移現(xiàn)象，采用個別位移響應(yīng)融合原始加速度測量響應(yīng)來共同識別系統(tǒng)。

(a) 節(jié)點7豎直位移的理論值及識別值

(b) 節(jié)點7豎直速度的理論值及識別值

圖4 節(jié)點7豎直位移和速度的理論值及識別值

Fig.4 The theoretical and identified vertical displacement and velocity at Node 7

圖5 采用數(shù)據(jù)融合下的載荷u1的實際值和識別值

Fig.5 The actual and identified results of forceu1by data fusion

(a) 數(shù)據(jù)融合的載荷u2的實際值和識別值

(b) 圖6(a)的局部放大圖(19～19.1 s)

圖6 數(shù)據(jù)融合的載荷u2的實際值和識別值

Fig.6 The actual and identified results by data fusion

(a) 數(shù)據(jù)融合的節(jié)點7豎直位移的理論值及識別值

(b) 節(jié)點7豎直速度的理論值及識別值

圖7 數(shù)據(jù)融合的節(jié)點7豎直位移和速度的理論值及識別值

(3) 數(shù)值算例驗證了本文方法的有效性。當(dāng)前的載荷假設(shè)為集中載荷，下一步的研究內(nèi)容可以進一步考慮分布載荷下的系統(tǒng)聯(lián)合識別。