熊 樂(lè) ，盧 鑫 ，李志軍 ，曾以成

（1.湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105；2.湖南華南光電（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，湖南 常德 415007；3.湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105）

0 引言

因混沌現(xiàn)象廣泛存在并且有著十分廣闊的應(yīng)用前景，從而被研究者們深入研究［1-4］?；煦绲谋Ｃ苄阅荜P(guān)鍵在于混沌系統(tǒng)的復(fù)雜程度，用動(dòng)力學(xué)特性相對(duì)簡(jiǎn)單的混沌信號(hào)去作為加密信號(hào)使用的時(shí)候，保密系統(tǒng)就很容易被攻破。多翅膀、多渦卷混沌系統(tǒng)具有動(dòng)力學(xué)特性非常復(fù)雜等重要特點(diǎn)，可以用來(lái)提升混沌保密通信的安全性能，因此，研究多翅膀、多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建及其相關(guān)動(dòng)力學(xué)特征仍然是目前混沌理論及其應(yīng)用研究領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一［5-7］。

已經(jīng)有非常多的文獻(xiàn)通過(guò)在已知的混沌系統(tǒng)中添加非線性函數(shù)或著分段線性函數(shù)，以擴(kuò)展指標(biāo)2的平衡點(diǎn)，從而產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)特性更加復(fù)雜的多翅膀、多渦卷吸引子。自1993年Suykens和Vandewalle［8］成功地構(gòu)造出多渦卷混沌系統(tǒng)以后，研究者們又通過(guò)在一些經(jīng)典系統(tǒng)中添加一些分段線性函數(shù)，如多項(xiàng)式、飽和函數(shù)、周期脈沖和階躍函數(shù)等，實(shí)現(xiàn)了各種復(fù)雜的多渦卷混沌吸引子［9-11］。然后Liu［12］等人在2003年構(gòu)造出一個(gè)四翼蝴蝶混沌吸引子，盡管這個(gè)四翼混沌吸引子后來(lái)被證明是通過(guò)數(shù)值計(jì)算產(chǎn)生的一個(gè)偽四翼蝴蝶混沌吸引子，但這卻引起了研究者們對(duì)構(gòu)造多翼蝴蝶吸引子的興趣。文獻(xiàn)［13-14］分別是基于多項(xiàng)式變換和Julia過(guò)程，構(gòu)造出能夠產(chǎn)生環(huán)形多翼蝴蝶吸引子的混沌系統(tǒng)；文獻(xiàn)［15］是通過(guò)構(gòu)造異宿環(huán)，從而得到了能夠產(chǎn)生網(wǎng)格多翼蝴蝶混沌吸引子的系統(tǒng)；文獻(xiàn)［16-17］則是通過(guò)設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)姆侄尉€性函數(shù)，得到多翼蝴蝶混沌吸引子。

上面所述文獻(xiàn)基本上都是圍繞吸引子渦卷或著吸引子翅膀的數(shù)量進(jìn)行混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，并且一般都是在一維到三維空間上增加渦卷的數(shù)量，但是發(fā)現(xiàn)這樣混沌吸引子的結(jié)構(gòu)并沒(méi)有改變。本文在已知的Jerk系統(tǒng)基礎(chǔ)上，對(duì)Jerk系統(tǒng)方程組的第1、第2和第3子方程上分別添加符號(hào)函數(shù)，成功地構(gòu)造出一種和以往不同結(jié)構(gòu)的混沌吸引子。通過(guò)更改符號(hào)函數(shù)的幅值，可以看到吸引子的整個(gè)變化過(guò)程，是由一個(gè)簡(jiǎn)單的多渦卷混沌吸引子慢慢地轉(zhuǎn)變成一個(gè)呈嵌套式結(jié)構(gòu)的多渦卷混沌吸引子。然后通過(guò)周期脈沖對(duì)得到的嵌套式多渦卷混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展，得到在一維排列的嵌套式多渦卷混沌吸引子陣列。最后進(jìn)行混沌電子電路的設(shè)計(jì)和仿真，證實(shí)數(shù)值模擬和電子電路仿真結(jié)果的一致性。

1 新混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與基本分析

2000 年，Elwakil［19］提出了一種簡(jiǎn)單的 Jerk 系統(tǒng)方程如下：

其中，a為可調(diào)參數(shù)，f（x）=sgn（x）為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)a=0.8時(shí)系統(tǒng)有3個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，分別是O（0，0，0），P+（5/4，0，0），P-（-5/1，0，0）。此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生雙渦卷吸引子如圖1所示［19］。

圖1 Jerk混沌系統(tǒng)吸引子相圖

1.1 非對(duì)稱嵌套式四渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

在系統(tǒng)式（1）第1個(gè)子方程中添加非線性函數(shù)φ（y）=sgn（y），可構(gòu)造如下的三階自治系統(tǒng)：

當(dāng)a=0.8，b=28時(shí)，混沌系統(tǒng)的Poincaré映射圖如圖2（a）所示，功率譜圖如圖2（b）所示。當(dāng)b的數(shù)值從3增加到28時(shí)，系統(tǒng)的吸引子由一個(gè)雙渦卷逐漸地演變成一個(gè)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的四渦卷吸引子，吸引子相圖的轉(zhuǎn)變過(guò)程如圖3所示。

圖2 系統(tǒng)式（2）的Poincaré截面圖和功率譜圖

圖3 系統(tǒng)式（2）隨參數(shù)b的相圖轉(zhuǎn)變過(guò)程

從系統(tǒng)的各個(gè)相圖、功率譜圖和龐加萊映射截面上點(diǎn)的分布，可以看出該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

1.2 非對(duì)稱嵌套式六渦卷和八渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

在系統(tǒng)式（2）的第2個(gè)子方程中添加函數(shù)準(zhǔn)（z）=sgn（z），可構(gòu)造如下的三階自治系統(tǒng)：

當(dāng)參數(shù)a=0.8，c=1，d=1，參數(shù)b的數(shù)值從3到28變化時(shí)，系統(tǒng)式（3）的吸引子相圖轉(zhuǎn)變過(guò)程如圖4所示。從圖4可以看出，此時(shí)系統(tǒng)的吸引子從一個(gè)四渦卷吸引子逐漸變成一個(gè)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的六渦卷吸引子。當(dāng)a、d值保持不變，c=3，b的值從3到28變化時(shí)，式（3）的吸引子相圖轉(zhuǎn)變過(guò)程如圖5所示。由圖5可知，此時(shí)系統(tǒng)的吸引子由一個(gè)嵌套式的四渦卷吸混沌引子逐漸變成一個(gè)嵌套的八渦卷混沌吸引子。而且在此參數(shù)條件下，得到的嵌套式八渦卷吸引子具有雙層嵌套的結(jié)構(gòu)。

圖4 c=1，d=1時(shí)，式（3）隨參數(shù)b的相圖轉(zhuǎn)變過(guò)程

1.3 對(duì)稱嵌套式六渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

在式（3）第3個(gè)方程中再添加非線性函數(shù)準(zhǔn)（z）=sgn（z），可構(gòu)造如下的三階自治系統(tǒng)：

圖6 式（4）的動(dòng)力學(xué)行為分析

當(dāng)參數(shù) a=0.8，c=3，d=3，b=28，e 的值由 3 到 5增加時(shí)，式（4）所得到的吸引子由一個(gè)非對(duì)稱的具有嵌套式結(jié)構(gòu)的六渦卷逐漸演變?yōu)橐粋€(gè)雙邊對(duì)稱的嵌套式六渦卷吸引子，吸引子相圖的轉(zhuǎn)變過(guò)程如圖6所示。從圖6（c）和6（d）可以看出，當(dāng)e的值取3時(shí)，式（4）所產(chǎn)生的吸引子是一個(gè)只有單邊四渦卷被嵌的六渦卷吸引子，而當(dāng)e的值取5時(shí)，混沌吸引子的相圖如圖6（b）所示，此時(shí)x軸正方向被嵌的是一個(gè)雙渦卷，并且x軸的負(fù)方向也生成了一個(gè)雙渦卷，被嵌入到一個(gè)大的雙渦卷中，由此形成了一個(gè)對(duì)稱的具有嵌套式結(jié)構(gòu)的六渦卷吸引子。

2 動(dòng)力學(xué)特性分析及數(shù)值仿真

2.1 耗散性和吸引子的存在性

同理，混沌系統(tǒng)式（3）和式（2）有著一樣的耗散性，但式（4），由于因此，混沌系統(tǒng)式（4）有著一個(gè)特殊的點(diǎn)，即當(dāng)z=0時(shí)，有 △V=-（a-e），當(dāng) a>e時(shí)，混沌式（4）是耗散的。當(dāng) z≠0時(shí)，有 △V=-a，此時(shí)式（4）的耗散性與混沌系統(tǒng)式（2）和式（3）保持一致。

2.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

S0=（0，0，0）；S1=（11/4，1，0）；S2=（-19/4，1，0）；

S3=（19/4，-1，0）；S4=（-11/4，-1，0）。

把式（3）在平衡點(diǎn)S0處進(jìn)行線性化，得其Jacobian矩陣為

其特征多項(xiàng)式為

同理，對(duì)于平衡點(diǎn) S1、S2、S3和 S4，特征根都為1=-0.899 4，2=0.049 7+0.941 7i，3=0.049 7-0.941 7i。由于特征根1是負(fù)實(shí)數(shù)，且特征根2和3是實(shí)部為正的共軛復(fù)數(shù)，因此，平衡點(diǎn) S1、S2、S3和 S4也都為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

由混沌吸引子的運(yùn)動(dòng)特性可知，吸引子有著兩種運(yùn)動(dòng)方向，一切在吸引子之外的運(yùn)動(dòng)都向它靠攏，對(duì)應(yīng)著穩(wěn)定的方向，而一切到達(dá)吸引子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)軌道都相互排斥，對(duì)應(yīng)著不穩(wěn)定的方向。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)式（2）平衡點(diǎn)的計(jì)算分析可知，系統(tǒng)式（2）有5個(gè)指標(biāo)2的平衡點(diǎn)，且除零點(diǎn)外其余4個(gè)平衡點(diǎn)都隨參數(shù)b數(shù)值的增大而向x軸的兩端遠(yuǎn)離。當(dāng)參數(shù)a=3時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的是一個(gè)雙渦卷，此時(shí)渦卷只分布在x軸一側(cè)，故渦卷由平衡點(diǎn)S1和S3決定。當(dāng)參數(shù)a在0~7.7變化時(shí)，雙渦卷的平衡點(diǎn)隨著a的增大向x軸的正方向平移。當(dāng)參數(shù)a=6時(shí)，通過(guò)圖2（b）可知，吸引子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)軌道相互排斥開(kāi)始向外圍延伸，并開(kāi)始向雙渦卷外圍環(huán)繞。因4個(gè)平衡點(diǎn)的性質(zhì)一致，都是指標(biāo)2的平衡點(diǎn)，所以都能夠形成吸引子。當(dāng)參數(shù)a=7.71時(shí)，x軸正方向雙渦卷消失，而x軸負(fù)方向產(chǎn)生雙渦卷且此渦卷繼續(xù)向外擴(kuò)展，嵌入到一個(gè)大的雙渦卷中。當(dāng)參數(shù)a=28時(shí)，雙渦卷被完全嵌入到一個(gè)大的雙渦卷吸引子中，且在大的渦卷中，左邊以平衡點(diǎn)S2和S4的雙渦卷為中心，右邊以平衡點(diǎn)S1和S3為中心且關(guān)于y軸對(duì)稱。

同理，對(duì)于式（3）和式（4），通過(guò)分析可知式（3）和式（4）的混沌吸引子軌跡運(yùn)行和式（2）基本上是一致的，但混沌式（3）和式（4）的平衡點(diǎn)更多，有17個(gè)指標(biāo)2的平衡點(diǎn)，因此，其混沌吸引子的相圖跟隨系統(tǒng)參數(shù)的轉(zhuǎn)變過(guò)程更加豐富。特別是圖5（a）~圖 5（d）和圖 6（a）~ 圖 6（b）所示的混沌吸引子的轉(zhuǎn)變過(guò)程。從圖5（a）~圖5（d）相圖的轉(zhuǎn)變過(guò)程和幅度分析能夠看出，混沌吸引子的軌道運(yùn)行被嵌套了兩次，由本來(lái)的一個(gè)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的四渦卷吸引子再不斷地向外環(huán)繞，形成了一個(gè)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的八渦卷混沌吸引子。由圖6（a）~圖6（b）所示的吸引子運(yùn)行軌道分析可以得出，在參數(shù)d=3時(shí)，雖然混沌吸引子的相圖和圖2（d）很相似，但其實(shí)渦卷的數(shù)量并不相等。這里被嵌套的是一個(gè)四渦卷混沌吸引子，因此，此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的是一個(gè)非對(duì)稱的具有嵌套式結(jié)構(gòu)的六渦卷混沌吸引子。而當(dāng)參數(shù)d=5時(shí)，混沌吸引子之外的運(yùn)動(dòng)繼續(xù)向吸引子靠攏，并在大的渦卷里面形成一個(gè)小的雙渦卷吸引子，與此同時(shí)先前被嵌套的四渦卷混沌吸引子變?yōu)橐粋€(gè)兩渦卷吸引子，由此形成一個(gè)對(duì)稱的六渦卷嵌套式吸引子。

通過(guò)本節(jié)的分析，可以得到Jerk系統(tǒng)能夠產(chǎn)生具有嵌套式結(jié)構(gòu)的多渦卷吸引子所滿足的幾個(gè)因素：

1）系統(tǒng)有多個(gè)平衡點(diǎn)，除零點(diǎn)外，其他平衡點(diǎn)均勻分布在x軸的兩側(cè)。

2）在吸引子沒(méi)嵌套前，混沌吸引子只在x軸的一側(cè)生成。

3）系統(tǒng)在逐漸加大符號(hào)函數(shù)幅值時(shí)，平衡點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)值也在加大，并且在不斷地相對(duì)于x軸向兩側(cè)遠(yuǎn)離，此變化的過(guò)程中，系統(tǒng)兩側(cè)平衡點(diǎn)的位置是關(guān)于y軸對(duì)稱保持不變的。

3 構(gòu)建單方向嵌套式多渦卷陣列混沌系統(tǒng)

在系統(tǒng)式（3）的基礎(chǔ)上，利用周期脈沖，構(gòu)建往x軸方向上擴(kuò)展的具有嵌套式結(jié)構(gòu)的多渦卷混沌系統(tǒng)。在式（3）的第3個(gè)子方程中添加一個(gè)周期脈沖f（t），構(gòu)造出如下的三階混沌系統(tǒng)：

其中，f（t）為復(fù)合脈沖激勵(lì)源，且

當(dāng) a=0.8，c=3，d=3，b=28，令 A1=6，w1=0.06 時(shí)，得到的嵌套式12渦卷混沌吸引子相圖如圖7所示，其中圖7（c）為圖7（a）中被嵌的八渦卷吸引子的x-y相平面圖，從圖7（c）所示的相平面圖中能夠看出被嵌的兩個(gè)吸引子都是四渦卷吸引子。當(dāng)A1=6，w1=0.06，A2=4，w2=0.02時(shí)，有如圖8所示的嵌套式30 渦卷混沌吸引子，其中圖 8（c）為圖 8（a）中左半部被嵌的12多渦卷吸引子的x-y相平面圖，從圖8（a）所示的相平面圖中能夠看出，嵌套的多渦卷是兩邊對(duì)稱的渦卷，圖8（c）中能夠看出被嵌的3個(gè)吸引子都是四渦卷吸引子。

圖7 嵌套式12渦卷的相平面圖

圖8 嵌套式30渦卷的相平面圖

從圖7和圖8可以看出，在加入周期脈沖后，系統(tǒng)由原來(lái)的嵌套式六渦卷在x軸上進(jìn)行擴(kuò)展，得到嵌套式12渦卷和嵌套式30渦卷。但由于嵌套式渦卷是大套小的結(jié)構(gòu)，且大渦卷幅值范圍比較大，在擴(kuò)展嵌套式多渦卷的同時(shí)，可以看出，擴(kuò)展的嵌套式渦卷幅值范圍在不斷縮小。因此，在嵌套式30渦卷的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擴(kuò)展式（8）平衡點(diǎn)得到多渦卷的時(shí)候，雖然渦卷的數(shù)量不斷在增加，但已逐漸地不呈現(xiàn)嵌套的結(jié)構(gòu)。

4 系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)和仿真

混沌系統(tǒng)最直接的物理實(shí)現(xiàn)是通過(guò)電子電路來(lái)完成的，許多混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都通過(guò)實(shí)際的電子電路得到了驗(yàn)證［20］。同樣這個(gè)新的三維具有嵌套式結(jié)構(gòu)的吸引子混沌系統(tǒng)也可以通過(guò)電子電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。因?yàn)橐话闱闆r下直接依據(jù)系統(tǒng)微分方程設(shè)計(jì)出的電子電路很難正常運(yùn)行，因此，有必要對(duì)原系統(tǒng)方程作適當(dāng)?shù)刈儞Q，這樣做是為了利用線性變換，使得系統(tǒng)狀態(tài)變量數(shù)值的變化范圍在相應(yīng)的集成電路能夠?qū)崿F(xiàn)的工作電壓范圍內(nèi)，這樣做在一定程度上也能夠簡(jiǎn)化電路。

本文3個(gè)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的吸引子混沌系統(tǒng)都是在Jerk混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，故只需Jerk混沌系統(tǒng)電子電路和符號(hào)函數(shù)電路就能夠設(shè)計(jì)出式（2）~式（4）的混沌電子電路。設(shè)計(jì)出的混沌系統(tǒng)式（2）模擬電子電路圖如圖9所示，其中符號(hào)函數(shù)電子電路由U6、R13、R14、R15和R16組成。該電子電路運(yùn)用的運(yùn)算放大器型號(hào)為AD844和TL082，其電源電壓都是E=±15 V。此電子電路結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單，只需要6個(gè)運(yùn)算放大器，相比較其他公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)所用運(yùn)算放大器更少，更加容易實(shí)現(xiàn)。式（3）和式（4）的模擬電子電路只需要在式（2）電子電路的基礎(chǔ)上，在y和z兩個(gè)通道再分別添加一個(gè)符號(hào)函數(shù)就可以了。下頁(yè)圖10給出了3個(gè)新混沌系統(tǒng)在設(shè)置不同的參數(shù)值時(shí)相對(duì)應(yīng)的吸引子電子電路實(shí)驗(yàn)仿真效果圖，其中圖 10（a）和圖 10（b）對(duì)應(yīng)式（2）b=28 時(shí)的 x-y，x-z相截面圖；圖 10（c）和圖 10（d）對(duì)應(yīng)式（3）c=1，d=1，b=22 和 b=8 時(shí)的 x-y相截面圖；圖 10（e）和圖10（f）對(duì)應(yīng)于式（4）e=3和e=5時(shí)的x-y相截面圖。將混沌系統(tǒng)的Matlab仿真圖和電子電路仿真結(jié)果圖對(duì)比分析可以看出，電子電路仿真輸出的結(jié)果與數(shù)值模擬輸出的結(jié)果完全一致。

圖9 混沌系統(tǒng)式（2）的電路原理圖

5 結(jié)論

圖10 電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果

通過(guò)在Jerk系統(tǒng)的3個(gè)子方程上分別添加符號(hào)函數(shù)，構(gòu)造出3個(gè)新的混沌系統(tǒng)。新系統(tǒng)在平衡點(diǎn)數(shù)量不改變的條件下，改變平衡點(diǎn)所在的位置，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)渦卷數(shù)量的控制，還生成一種新結(jié)構(gòu)的混沌吸引子——嵌套式吸引子。對(duì)新混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，包括系統(tǒng)的Poincaré截面圖、耗散性等。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的變化進(jìn)行分析，解釋了嵌套式混沌吸引子的轉(zhuǎn)變過(guò)程。然后設(shè)計(jì)新系統(tǒng)的硬件電路，軟件仿真輸出的結(jié)果證實(shí)了嵌套式結(jié)構(gòu)吸引子的可實(shí)現(xiàn)性。因?yàn)榫哂星短资浇Y(jié)構(gòu)的混沌吸引子相比以往發(fā)現(xiàn)的混沌吸引子，不論結(jié)構(gòu)還是形態(tài)都更為復(fù)雜，因此，能夠更好地應(yīng)用于混沌保密通信領(lǐng)域，具有更高的使用價(jià)值。然而，本文還只在Jerk系統(tǒng)上得到了嵌套式吸引子，且最多只實(shí)現(xiàn)了吸引子的雙層嵌套。因此，下一步的主要工作是能夠在更多的經(jīng)典混沌系統(tǒng)上，實(shí)現(xiàn)具有嵌套式結(jié)構(gòu)的吸引子并做到更多層次的嵌套。