蒙惠芳 符方健 陳振華

[摘? ? ? ? ? ?要]? 統(tǒng)計與概率是小學數(shù)學教材中唯一研究不確定現(xiàn)象的內(nèi)容。但是由于許多老師的統(tǒng)計與概率學科知識不扎實，加上一些陳舊思想的影響，導致本領(lǐng)域內(nèi)容的教學難以達到新課標的要求。以通俗易懂的語言簡述概率統(tǒng)計的基本學科知識，使小學數(shù)學教師能站在更高層面理解統(tǒng)計與概率內(nèi)容，提高統(tǒng)計與概率內(nèi)容的教學實效。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 義務(wù)教育;新課程標準;概率統(tǒng)計;學科知識

[中圖分類號]? G623.5? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）10-0046-02

統(tǒng)計與概率是小學教材中的四大學習領(lǐng)域之一，但小學教師對統(tǒng)計與概率的理解程度如何呢？本人多次深入小學聽課或擔任比賽課評委，并與小學數(shù)學教師座談，發(fā)現(xiàn)問題多多，一些教師面對概率問題的理解時，僅看到隨機事件的表面，沒看到實質(zhì)，沒看到隱藏在內(nèi)面的規(guī)律性。新課程標準的十個核心概念中提出要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用能力，但如果老師對隨機性的內(nèi)涵都理解不深，如何開展數(shù)學探究活動呢？如何培養(yǎng)創(chuàng)新意識和應用能力等核心素養(yǎng)呢？本文將結(jié)合概率統(tǒng)計學科理論知識，談?wù)勑W階段統(tǒng)計與概率的教學問題，以饗讀者。

一、正確認識統(tǒng)計與概率的關(guān)系

統(tǒng)計與概率兩者關(guān)系如何呢？統(tǒng)計是以概率為基礎(chǔ)，還是概率以統(tǒng)計為基礎(chǔ)呢？新課標修訂后，學生在第一階段不再學習概率，僅學習統(tǒng)計內(nèi)容，主要理由是在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計的重要性是大于概率的，正是基于此，大多數(shù)小學教師認為概率是以統(tǒng)計為基礎(chǔ)的。實際上，當前正邁向人工智能時代，人工智能就是要對歷史隨機大數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，找出大量隨機數(shù)據(jù)隱藏的內(nèi)在規(guī)律，以概率說明隨機數(shù)據(jù)發(fā)生的可能性大小，從而作出決策。因此，對大數(shù)據(jù)進行分析時，需要利用概率理論知識進行推斷分析，沒有概率理論知識為基礎(chǔ)，是無法對大量隨機數(shù)據(jù)做出科學判斷的，因此統(tǒng)計是以概率為基礎(chǔ)的。在小學階段，因為我們涉及的數(shù)據(jù)是少量的，因此還沒體現(xiàn)出概率在統(tǒng)計分析中的作用。綜上可見，正確認識統(tǒng)計與概率的關(guān)系，對課堂教學具有非常積極的意義和作用。

二、整體認識事件

常言道，要給人一點水，自己必須有一桶水。小學教師對概率統(tǒng)計的教學，不能僅僅憑經(jīng)驗、憑感覺，對教學教材上的內(nèi)容要有一定的學科知識支撐。從事小學概率的教學，必須對事件概念有全面的認識。簡單來說，隨機事件就是試驗時可能產(chǎn)生的結(jié)果。不可再分的結(jié)果稱為基本事件，基本事件對應試驗的具體結(jié)果，基本事件不可能同時發(fā)生，基本事件發(fā)生的可能性是相等的，也稱為等可能性;由二個（含二個）以上的基本事件復合而成的結(jié)果稱為復合事件，復合事件可以分解為多個基本事件，復合事件是可以同時發(fā)生的。注意到，事件概念中加了“可能”二字。因為，概率統(tǒng)計的任務(wù)就是在試驗之前對某個結(jié)果在試驗中以多大可能性出現(xiàn)做預測，根據(jù)出現(xiàn)的可能性大小來指導決策的，也就是它是站在試驗之前來考量的。如果站在試驗之后去考量，那么只有兩種結(jié)果：要么發(fā)生（稱為必然事件，概率為1），要么不發(fā)生（稱為不可能事件，概率為0），這兩種情況都屬于確定性現(xiàn)象，沒有研究的必要。譬如以彩票開獎為例，假設(shè)昨天（假設(shè)是11日）已開出的四字彩大獎號碼為1234。今天（12日）來說，昨天11日開的七星彩大獎號碼為1234的概率為1（已開出，成為必然事件），但如果是站在10日前天來預測，昨天11日開的四字彩大獎號碼為1234的概率為1/10000（隨機事件）。顯然，11日開什么碼，只有在11日開獎之前去預測才有價值，12日去研究就沒有意義了。特別的由所有基本事件復合而成的復合事件是必然發(fā)生的，是必然事件。

三、正確認識概率概念與意義

概率是用來刻畫隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標。隨機事件具有兩面性：表面上的偶然性與內(nèi)部蘊涵著的必然性。在表面上是偶然性起作用的地方，這種偶然性始終受到內(nèi)部隱藏著的規(guī)律支配，而問題只在于發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律。實際上，在相同條件下，大量重復進行同一個隨機試驗時，其隨機事件的內(nèi)部規(guī)律性是可以呈現(xiàn)出來的，概率統(tǒng)計的主要任務(wù)就是用數(shù)學的理論和方法揭示并研究隨機現(xiàn)象的這種統(tǒng)計規(guī)律性。注意到：隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性是在相同條件下進行大量試驗時才逐漸體現(xiàn)出來的，這從概率的統(tǒng)計定義及伯努利定理更能深刻認識。

定義1：設(shè)隨機事件A在那次重復試驗中發(fā)生了k次，則比值k/n稱為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率。

定義2：在一組不變的條件下，重復作n次試驗，設(shè)事件A在n次試驗中發(fā)生了k次。當試驗次數(shù)n增大時，如果頻率k/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p的附近擺動，則稱此常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率，記為P（A）=p.稱此概率為隨機事件A的統(tǒng)計概率。

由此可見，伯努利定理從理論上闡明了頻率的穩(wěn)定性：只要隨機試驗的次數(shù)n充分大，事件A出現(xiàn)的頻率k/n與事件發(fā)生的概率P無限的接近，這就是統(tǒng)計概率的理論基礎(chǔ)。定義和定理為小學的驗證性試驗提供了方法論：試驗時得到的實際是事件A發(fā)生的頻率，只有進行很多很多次實驗時，頻率才接近概率。關(guān)于扔一個硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的頻率情況，歷史上曾經(jīng)有幾位著名的數(shù)學家做了試驗，結(jié)果如下：

由此可見，扔一個硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的頻率情況，要進行成千上萬次的試驗其規(guī)律才呈現(xiàn)出來，才發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率在1/2周圍波動不大，因此1/2代表正面向上的概率。關(guān)于小學生課堂上每個學生少量的試驗，是不足以發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的。課堂上，可以通過逐步把部分學生的試驗統(tǒng)計數(shù)目累加起來，當學生的人數(shù)逐步增多，試驗的總次數(shù)逐漸增大時，可以發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率在1/2周圍擺動的幅度越來越小，這時才水到渠成地讓學生知道扔一個硬幣，正、反面向上的機會是一樣大的。

作為一名小學老師，對可能性大小的判斷，不能只通過做試驗來去認識，實際上，小學研究的概率是理論概率，試驗屬于驗證性的試驗，但課堂上的少量試驗是驗證不出來的。因此，小學教師應對理論概率有深入的理解，才能駕馭課堂試驗的開展，才能因勢利導，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識。小學研究的是簡單事件的概率問題，它實際上就是古典概型的概率。

定義3.設(shè)隨機試驗具有下面兩個特性：

（1）有限性：只有有限個不同的基本事件;

（2）等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性均等。

則稱這種隨機試驗模型為古典概型。在古典概型的隨機試驗中，隨機事件A發(fā)生的概率為

例2.隨機扔一個硬幣，求正面向上的概率。

解：隨機扔一個硬幣，基本事件為{正面向上}，{反面向上}，共有2個，其中{正面向上}是其中的一個，因此P=1/2.

例3.隨機扔2個硬幣，求兩個正面都向上的概率。

解：隨機扔2個硬幣，基本事件由（正、正）、（正、反）（反、正）（反、反）共四個，其中（正、正）占其中一個，因此兩個正面都向上的概率為1/4.

如果求出現(xiàn)一正一反的概率，則P=2/4=1/2.

四、結(jié)束語

根據(jù)我們多次深入小學對統(tǒng)計與概率內(nèi)容的教學調(diào)研，發(fā)現(xiàn)許多老師對統(tǒng)計與概率內(nèi)容的理解錯誤百出，深表痛心。本著對基礎(chǔ)教育的一片責任心，本文從統(tǒng)計與概率的學科知識方面給老師“補補短”，期望老師能科學對待統(tǒng)計與概率的教學，正確理解事件與概率，培養(yǎng)學生打破確定性思維，能用隨機思想正確分析簡單的不確定現(xiàn)象，達到新課標要求。

參考文獻：

[1]王元.高等數(shù)學基礎(chǔ)[M].人民教育出版社，2010.

[2]趙冬雪.探討新課標理念下小學數(shù)學的教與學[J].中國校外教育，2018（23）.

◎編輯 張 慧