趙瑞斌，徐亞敏

（天津城建大學(xué) a.土木工程學(xué)院；b.天津市軟土特性與工程環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384）

國(guó)內(nèi)外眾多震害資料均顯示，沉積河谷對(duì)地震動(dòng)的擾動(dòng)效應(yīng)顯著[1-2].如汶川大地震，國(guó)道G213 左側(cè)某河谷場(chǎng)地在地震中出現(xiàn)附近山體滑坡現(xiàn)象[3]；在唐山地震、四川廬山地震等涉及沉積河谷的工程震害均造成非常嚴(yán)重的后果.河谷擾動(dòng)效應(yīng)主要源于兩方面：一方面為土體介質(zhì)自身松軟特性；另一方面為河谷邊緣對(duì)土體的盆地中心處形成聚焦效應(yīng)，使得面波在其邊緣轉(zhuǎn)換，并與河谷下部的體波發(fā)生干涉作用，在淺層和地表形成地震波的放大效應(yīng).

沉積河谷對(duì)地震波的散射作用可采用兩種方法求解，解析波函數(shù)展開法[4-6]和數(shù)值法.河谷數(shù)值模擬放大效應(yīng)方面，已有的文獻(xiàn)分別采用有限單元[7-11]、離散波函數(shù)法[12]、邊界單元離散法[13-20]和混合法[21-22]研究了沉積盆地對(duì)地震波的地震響應(yīng).上述文獻(xiàn)給出平面SH 波在河谷體系的出平面散射情況，而筆者則側(cè)重于進(jìn)一步研究河谷整體模型在P 波入射下的平面內(nèi)地震響應(yīng).對(duì)比SH 波的散射情況，鑒于存在不同體波耦合面波的效應(yīng)，計(jì)算和規(guī)律將復(fù)雜化.基于MATLAB 編程計(jì)算，采用邊界間接積分方程法（indirect boundary integral equation method，簡(jiǎn)稱 IBIEM），討論頻率、入射角和土層深度等對(duì)平面P 波在河谷體系的散射規(guī)律.

1 沉積河谷地震動(dòng)分析模型

沉積河谷地震反應(yīng)計(jì)算模型如圖1 所示，其中半圓形沉積河谷存在于半空間.為簡(jiǎn)化計(jì)算，將模型分為半空間域、沉積域，各域假設(shè)為各向同性的均勻介質(zhì)，定義半空間域和沉積域分別為DⅠ和DⅡ，沉積域與半空間域的交界面為T1.

圖1 沉積河谷地震反應(yīng)計(jì)算模型

各組成散射場(chǎng)構(gòu)造如圖2 所示.圖2a 中，半空間散射波場(chǎng)在沉積邊界作用下的虛擬波源記作S1；圖2b中，沉積區(qū)散射波場(chǎng)在沉積邊界作用下的虛擬波源記作S2，取S1、S2虛擬波源面的形狀一致于河谷邊界形狀.

圖2 各區(qū)域散射場(chǎng)構(gòu)造

2 計(jì)算方法

2.1 自由場(chǎng)

依據(jù)Wong 等[23]的理論推導(dǎo)和文獻(xiàn)成果，設(shè)在xoy坐標(biāo)系下，半空間固體介質(zhì)密度ρ，拉梅常數(shù)λ 和μ，P波入射角和反射角均為α，SV 波反射角為β.忽略時(shí)間因子后，入射P 波、反射P 波和反射SV 波的波勢(shì)函數(shù)可分別表達(dá)為

式中：φ1、φ2分別為 P 波入射與反射時(shí)的勢(shì)函數(shù)；Ψ1為SV 波反射時(shí)的勢(shì)函數(shù)；Vα、Vβ分別為半空間固體介質(zhì)中的縱波和橫波速度；Vx為波沿自由表面?zhèn)鞑サ乃较蛞曀俣?

反射 P、SV 波系數(shù) A2、B1與入射 P 波系數(shù) A1之比為

解得水平向和豎向位移函數(shù)ux和uy表達(dá)式為

式中：ω 為入射波的頻率.

應(yīng)力由幾何方程和物理方程推得.

2.2 散射場(chǎng)

半空間DⅠ區(qū)散射位移波函數(shù)和應(yīng)力波函數(shù)為

由式（8）和式（9）的積分形式轉(zhuǎn)化，得

沉積DⅡ區(qū)散射位移波函數(shù)和應(yīng)力波函數(shù)為

由式（12）和式（13）的積分形式轉(zhuǎn)化，得

2.3 邊界條件與求解

對(duì)于半空間中的P 波，構(gòu)造半空間域動(dòng)力格林函數(shù)符合地表應(yīng)力為零條件；考慮交界面處位移、應(yīng)力連續(xù)性，得

交界面T1位移u 連續(xù)性條件

交界面T1應(yīng)力σ 連續(xù)性條件

邊界T1及波源面S1和S2做如圖2 所示的離散處理，將沉積域邊界T1離散為均勻的N1 個(gè)觀測(cè)點(diǎn).交界面T1附近均布的S1、S2兩圈波源點(diǎn)分別離散為M1和M2 個(gè)對(duì)沉積域與半空間域散射的波源點(diǎn).由此可建立關(guān)于虛擬荷載密度的大矩陣方程

式中：G1為對(duì)沉積界面離散點(diǎn)作用的S1上所有波源點(diǎn)的應(yīng)力格林函數(shù)矩陣；G2為對(duì)沉積界面離散點(diǎn)作用的S2上所有波源點(diǎn)的應(yīng)力格林函數(shù)矩陣；T1為對(duì)沉積界面離散點(diǎn)作用的S1上所有波源點(diǎn)的位移格林函數(shù)矩陣；T2為對(duì)沉積界面離散點(diǎn)作用的S2上所有波源點(diǎn)的位移格林函數(shù)矩陣；FG為自由場(chǎng)應(yīng)力；FT為自由場(chǎng)位移，Yi為波源密度.

解該矩陣可得虛擬波源密度.疊加自由場(chǎng)和散射場(chǎng)可得半空間反應(yīng)的總位移u、總應(yīng)力σ

式中：uf、σf分別為平面P 波在自由場(chǎng)中的位移與應(yīng)力；us、σs分別為平面P 波在散射場(chǎng)中的位移與應(yīng)力.沉積河谷域僅需求得散射場(chǎng).

3 精度檢驗(yàn)

無量綱頻率被定義為 η=2R/λ =ωR/πβ.經(jīng)過大量參數(shù)計(jì)算表明：邊界殘值和邊界離散點(diǎn)數(shù)成反比，對(duì)于低頻η=0.5 及高頻η=2.0，殘差值均在10-5數(shù)量級(jí)以下，說明該方法具有很好的計(jì)算精度.

圖3 為P 波作用情況下的地表位移幅值.本文程序參數(shù)設(shè)定：a = 30 m，E/a 為地表水平位移幅值，F(xiàn)/a為地表豎向位移幅值.黏滯阻尼比ζ=0.002，無量綱頻率η = 0.5，河谷與半空間的剪切模量比為μ1∶μ2=4 ∶1，河谷半徑 R/a=1.0（R=30 m）.選取 P 波垂直入射的情況，由圖3 可知，本文模型的數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[21]所得地表位移曲線幅值一致，從而驗(yàn)證本文方法的正確性.

圖3 本文模型退化后地表位移與相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)比曲線

4 數(shù)值結(jié)果與分析

基于邊界元間接積分方程法對(duì)比了大量的參數(shù)計(jì)算結(jié)果，著重討論不同深度、入射角、頻率作用時(shí)水平和豎向的土體內(nèi)部位移因子的變化規(guī)律.波在兩種介質(zhì)（半空間，沉積區(qū)）中的剪切模量及傳播速度比分別為 μ1∶μ2=4 ∶1，β1∶β2=2 ∶1.

4.1 多角度入射和不同頻率下沉積域位移云圖

為研究河谷在半空間的反應(yīng)規(guī)律，圖4-5 分別給出單一沉積場(chǎng)地內(nèi)部水平和豎向位移云圖.計(jì)算參數(shù)：a =30 m，E/a 為地下半空間沉積域內(nèi)部土體水平位移幅值，F(xiàn)/a 為地下半空間沉積域內(nèi)部土體豎向位移幅值.沉積域河谷半徑R/a=1（R=30 m），入射角度分別為 0°、60°，無量綱頻率 η 分別為 0.5、1.0、2.0.如圖5 所呈現(xiàn)，沉積區(qū)域內(nèi)部的位移特征由頻率、入射角度等影響因子決定.垂直入射情況（即0°入射），低頻時(shí)，位移峰值大多數(shù)聚焦于地表附近，峰值分布關(guān)于y 軸對(duì)稱，且圖形布局簡(jiǎn)單；高頻時(shí)，沉積域?qū)ξ灰频臄_動(dòng)效應(yīng)鑒于空間震蕩的加劇變得更為復(fù)雜；地表和沉積內(nèi)部同時(shí)出現(xiàn)數(shù)個(gè)地震波聚焦影響區(qū)域，這些峰值區(qū)域?qū)Φ叵陆Y(jié)構(gòu)造成一定的潛在安全影響.斜入射情況（即60°入射），位移峰值所在集中區(qū)域發(fā)生移動(dòng)，且水平向位移放大幅值顯著，可達(dá)到7.0.

4.2 不同觀測(cè)點(diǎn)位和不同土層深度下位移頻譜

圖4 多角度入射和不同頻率下沉積域內(nèi)水平位移幅值云圖

圖5 多角度入射和不同頻率下沉積域內(nèi)豎向位移幅值云圖

圖6 為單一沉積河谷給出的不同深度土層的位移頻譜.參數(shù)設(shè)置：a=30 m，F(xiàn)/a 為地下半空間沉積土體豎向位移幅值.沉積河谷半徑為R/a=1（R=30 m），無量綱頻率η 取值范圍0～10，土層深度分別為d/a =0.5、0.6、0.7（d=15，18，21 m），選取 6 個(gè)有代表性的觀測(cè)點(diǎn) x/a=0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0（x=0，6，12，18，21，27 m），地震波垂直入射.

圖6 沉積域內(nèi)不同深度土層位移頻譜圖

由圖6 可知：不同深度土層介質(zhì)在0～2 的無量綱頻率范圍內(nèi)，其位移頻譜曲線特征值變化趨勢(shì)與峰值大小較接近；而在2～10 無量綱頻率范圍內(nèi)有明顯差異，究其根本在于受沉積域不同深度自身固有頻率的影響.沉積域同一深度的土體位移幅值隨坐標(biāo)點(diǎn)遠(yuǎn)離中心區(qū)域而變小，原因在于地震波垂直入射，經(jīng)土層介質(zhì)散射削弱了地震波的能量傳播，所以在中心處取得最大峰值，在x/a=0.4（x=12 m）的位置處有突變?cè)谟诖藚^(qū)域的土層介質(zhì)頻率與地震波頻率接近，產(chǎn)生共振后的能量聚集效應(yīng).例如，土層深度為d/a=0.6（d =18 m）時(shí)，x/a=0.4（x=12 m）的位置附近，位移峰值于無量綱頻率為1.5 時(shí)達(dá)到6，高出同參數(shù)下無量綱頻率為0.5、6 時(shí)的位移幅值55%、60%.

4.3 Tar-Tarzana波入射沉積河谷內(nèi)部土層加速度響應(yīng)

時(shí)域結(jié)果的求解過程為：在頻域無量綱頻率0.05～10 內(nèi)取200 個(gè)插值點(diǎn)，基于邊界元-間接積分耦合法，輸入Tar-Tarzana 波，頻域位移經(jīng)傅里葉變換得時(shí)域不同深度土層主方向位移時(shí)程和加速度時(shí)程.美國(guó)北嶺地震Tar-Tarzana 波的位移時(shí)程曲線的卓越周期是0.336 s，時(shí)間間隔0.02 s，峰值加速度1 744 mm/s2.

圖7 為Tar-Tarzana 波型P 波垂直入射時(shí)，沉積河谷內(nèi)部不同深度土層典型觀測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)程，土體深度分別為d=15，18，21 m.

從圖7 整體上觀察，加速度時(shí)程峰值與土層深度成正比.例如，典型代表點(diǎn)x/a=0（x=0 m）位置處，土層深度為 d/a=0.5、0.6、0.7（d=15，18，21 m）的最大峰值分別為1.9、2.0、2.1，分析其原因應(yīng)為地震波在沉積區(qū)的散射隨土層深度的加大而復(fù)雜化.

圖7 沉積河谷內(nèi)部不同土層深度加速度時(shí)程曲線

4.4 Tar-Tarzana波入射沉積河谷內(nèi)部土層位移響應(yīng)

圖8 為Tar-Tarzana 波型P 波垂直入射時(shí)，沉積河谷內(nèi)部不同深度土層典型觀測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程，a=30 m，土體深度分別為 d/a= 0.5、0.6、0.7（d = 15，18，21 m），F(xiàn)/a 為地下半空間沉積土體豎向位移幅值.

由圖8 可知：不同深度的位移時(shí)程曲線的變化趨勢(shì)和峰值特征無明顯差異，說明深度對(duì)土體位移時(shí)程影響不大.距離中心點(diǎn)的遠(yuǎn)近則導(dǎo)致峰值大小差距較大，且峰值大小與距中心點(diǎn)的距離成反比.例如：時(shí)間為2.5 s 時(shí)，土層深度d/a = 0.5（d = 15 m）處觀測(cè)點(diǎn)x/a =0（x=0 m）的土體介質(zhì)位移幅值是6，而同參數(shù)下觀測(cè)點(diǎn) x/a=0.2、0.4、0.6、0.8、1.0（x=6，12，18，21，27 m）處的位移幅值分別為 4、3、2.5、2.2、2.1.對(duì)比圖 8 表明，沉積河谷中心點(diǎn)處位移震蕩最劇烈，遠(yuǎn)離中心點(diǎn)則趨于平緩，因此實(shí)際地下工程應(yīng)盡可能規(guī)避軟土沉積河谷中心地帶，或者采取有針對(duì)性的抗震加固措施.

圖8 沉積河谷內(nèi)部不同土層深度位移時(shí)程曲線

5 結(jié) 論

從地震工程學(xué)角度，采用彈性波的邊界間接積分方程法，分析了平面P 波對(duì)沉積河谷體系的散射規(guī)律，著重論述了沉積河谷土體的位移與頻率、角度、深度的規(guī)律，結(jié)論如下.

（1）在0～2 無量綱頻率范圍內(nèi)，沉積域不同深度土層介質(zhì)位移隨頻率的變化趨勢(shì)較一致；在2～10 無量綱頻率范圍內(nèi)，位移變化趨勢(shì)有較大的差異.

（2）中心觀測(cè)點(diǎn)x/a=0（x=0 m）處位移時(shí)程取得最大峰值，遠(yuǎn)離中心點(diǎn)的最大峰值逐漸減弱.因此地下結(jié)構(gòu)穿越沉積谷地時(shí)，須考慮河谷內(nèi)部和邊界的地震動(dòng)的聚焦區(qū)域，以及復(fù)雜峰值分布特征，進(jìn)而可優(yōu)化地下結(jié)構(gòu)線路規(guī)劃，并適當(dāng)加強(qiáng)地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防等級(jí).

（3）隨土體深度的增加，加速度峰值振蕩加劇，但增幅較小，說明淺層土體的深度變化對(duì)加速度時(shí)程影響較小.