北京市海淀區(qū)水木龍華培訓(xùn)學(xué)校 張靖華

對于三角形內(nèi)的費爾馬點問題的討論已屢見不鮮，本文將給出凸多邊形內(nèi)的一點到相鄰三頂點距離之和的最小值的計算公式。

定理1：在凸多邊形A1A2…An中， 若 (∠ AiAi+1Ai+2， ∠ Ai+1Ai+2Ai，∠Ai+2AiAi+1)max＜120°，則△AiAi+1Ai+2內(nèi)有且只有一點，使得PAi+PAi+1+PAi+2之和最小，且最小值為：

證明：在凸多邊形A1A2…An中，相鄰三頂點Ai，Ai+1，Ai+2構(gòu)成的△AiAi+1Ai+2中，滿足(∠AiAi+1Ai+2，∠Ai+1Ai+2Ai，∠Ai+2AiAi+1)max＜120°，由費爾馬命題知：

在△AiAi+1Ai+2中存在一點，使得PAi+PAi+1+PAi+2之和最小，因為△AiAi+1Ai+2凸多邊形A1A2…An，故該點的存在性獲證。

設(shè)點 是凸多邊形 A1A2…An內(nèi)一點，連接 PAi，PAi+1，PAi+2，把△PAiAi+1繞頂點Ai+1逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則△P'Ai'Ai+1≌△PAiAi+1，連接，則△PP'Ai+1為等邊三角形。故 P'Ai＝ PAi，Ai'Ai+1＝ AiAi+1，PAi+1＝PP'

由此可得：（PAi+PAi+1+PAi+2）min=（P'Ai'+PP'+PAi+2）min=（Ai'Ai+2）

此時P點在線段Ai'Ai+2上，易知異于P點的任何點不產(chǎn)生最小值。

推論：當AiAi+1=Ai+1Ai+2時，

定理2：順次連接正四、五邊形內(nèi)的費爾馬點得到的正四、五邊形分別與原正四、五邊形相似，且相似比分別為

由（2）式知：點P1是 的平分線AP1與 的交點，由對稱性類似地可得P2P3P4，易知四邊形P1P2P3P4為正方形且與四邊形 相似。

在△AP1B中由正弦定理知：

定義2：把順次連接正多邊形內(nèi)的費爾馬點形成的正多邊形稱之為“費爾馬正多邊形”。

證明：用Si表示第i個費爾馬正方形的面積，由定理2知這些所有的費爾馬正方形的面積構(gòu)成一個公比為的無窮遞縮等比數(shù)列。