廣西北海市合浦縣廉州中學(xué) 錢曉萍

一、導(dǎo)數(shù)

高中數(shù)學(xué)中，教師在開展關(guān)于導(dǎo)數(shù)解題內(nèi)容教學(xué)的過程中，需要始終遵循幾大原則：①將學(xué)生作為教學(xué)活動開展的主體。②為同學(xué)們所展示的題目應(yīng)該具有良好的代表性或者典型性。③課堂時(shí)間有限，因此向?qū)W生講解題目的個數(shù)應(yīng)該適量，追求講題質(zhì)量，保證符合學(xué)生的接受能力。④導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的教學(xué)過程不能一蹴而就，應(yīng)該經(jīng)歷循序漸進(jìn)的誘導(dǎo)過程。⑤合理選用教學(xué)模式，以多樣化形式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。⑥課內(nèi)外相互滲透。

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用

1.函數(shù)最值

高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值問題，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在將導(dǎo)數(shù)知識融入高中階段數(shù)學(xué)教材之前，對函數(shù)最值求解的方法多種多樣。而在將導(dǎo)數(shù)引入教材之后，對最值求解的題目，不但為學(xué)生提供了一種解題思路和方法，也為很多題目的解題提供了更大的便利。二次函數(shù)屬于函數(shù)最值當(dāng)中比較經(jīng)典的題型，在絕大多數(shù)高考題目當(dāng)中，二次函數(shù)所對應(yīng)的區(qū)間最值，指的是二次函數(shù)所處特定區(qū)間中的最小值或者最大值，該類題目當(dāng)中通常會含有參數(shù)，屬于高考當(dāng)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。倘若利用數(shù)形結(jié)合的方式對該類題目進(jìn)行解答，其過程會十分復(fù)雜，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)則會顯得十分簡便、清晰。導(dǎo)數(shù)最為主要的作用是對函數(shù)在區(qū)間當(dāng)中單調(diào)性以及極值點(diǎn)的判斷，題目解析的關(guān)鍵在于考察學(xué)生二次函數(shù)極值點(diǎn)跟區(qū)間之間的相對位置。

例1：在已知a∈R的情況下，分析函數(shù)f（x）=ex（x2+ax+a+1）極值的具體個數(shù)。

解：f'（x）= ex（x2+ax+a+1）+ ex（2x+a）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]，

若使f'（x）=0，則可得x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

（1）在Δ=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0，也就是a＜0或者a＞4的情況下，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

有兩個不同實(shí)根x1與x2，我們假設(shè)x1＜x2，

依據(jù)f'（x）=ex（x-x1）（x-x2），獲得下表：

x (-∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)f '(x) + 0 - 0 +f (x) ↗ f (x1)是極大值 ↘ f (x2)是極小值 ↗

所以，在這種情況下，f（x）具有兩個極值點(diǎn)。

（2）在Δ=0，也就是a=0或者a=4的時(shí)候，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0 有兩個相同實(shí)根 x1=x2，所以 f'（x）= ex（x-x1）2。

所以在x＜x1的情況下，f'（x）＞0；在x＞x2的情況下，fˊ（x）＞0，所以f（x）沒有極值。

（3）在Δ＜0，也就是0＜a＜4的時(shí)候，x2+（a+2）x+（2a+1）＞0，

f'（x）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）] ＞ 0，所以f（x）是增函數(shù)，這個時(shí)候f（x）沒有極值。

2.函數(shù)單調(diào)性

在將導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué)教材之前，對函數(shù)單調(diào)性的判斷所應(yīng)用最常規(guī)的辦法為定義法，不過定義法通常被用在對一些簡易函數(shù)單調(diào)性的判斷，如果有復(fù)雜程度稍高的函數(shù)，應(yīng)用定義法進(jìn)行判斷便顯得十分繁瑣。相比之下，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性判斷更為簡便。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性判斷的主要原理是，對于一個函數(shù)f（x），倘若其導(dǎo)數(shù)f'（x）在區(qū)間[a，b]上大于0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]中則單調(diào)遞增，反之則單調(diào)遞減。

例2：已知有函數(shù)f（x）=x2eax（a≤0），分析f（x）的單調(diào)性。

解：f'（x）=x（ax+2）ex。

在a＞0時(shí)，使f'（x）=0，則得到x=0，

如果x＞0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）當(dāng)中便是單調(diào)遞增；

如果x＜0，則f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）當(dāng)中便是單調(diào)遞減。

在對此類型題目進(jìn)行解答的過程中需要關(guān)注兩個方面：①要對常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法形成良好掌握，特別是對復(fù)合函數(shù)相應(yīng)函數(shù)的求法要形成足夠的重視。②在對函數(shù)單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行說明的過程中，必須要說明在哪個區(qū)間當(dāng)中所呈現(xiàn)何種單調(diào)性。

總而言之，導(dǎo)數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的相互融合，已經(jīng)成為目前高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容，必須對其形成足夠的重視。作為一名高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該在日常工作中積極探索，對國內(nèi)外其他優(yōu)秀教育工作者的優(yōu)秀教育經(jīng)驗(yàn)與理念加以借鑒，繼而與自身的實(shí)際教學(xué)情況相結(jié)合，創(chuàng)建出一套更為優(yōu)質(zhì)的教學(xué)體系，為國家教育事業(yè)的發(fā)展貢獻(xiàn)出自己的力量，為國家培養(yǎng)出一批又一批現(xiàn)代化人才。