寧波濱海學(xué)校 章丹賽

數(shù)形結(jié)合思想是充沛利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來，協(xié)助同學(xué)正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡明直觀。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的思想方法不像一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富自身的內(nèi)涵。下面舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在高中各知識模塊中的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合在解決集合問題中的應(yīng)用

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖像等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準(zhǔn)確地獲解。

例1 已知全集U={不大于20的質(zhì)數(shù)}，M，N是U的兩個子集，且滿足M∩（CUN）={3，5}，（CUM）∩N={7，19}，（CUM）∩（CUN）={2，17}，求 M，N。

提示：由韋恩圖可以很容易知道答案為M={3,5,1,13}，N={7,1,13,19}。

二、數(shù)形結(jié)合在方程與函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑。獲得答案的重要工具。函數(shù)的圖像和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，實質(zhì)是相同的，在解題時經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)問題，尤其是較為煩瑣的（如分類討論、求參數(shù)的范圍等）問題時要充分發(fā)揮圖像的直觀作用，如：求解函數(shù)的值域時，可給一些代數(shù)式賦予一定的幾何意義，如直線的斜率，線段的長度（兩點間的距離）等，把代數(shù)中的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。

方程 f（x）=g（x）的解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù) y= f（x）和 y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題。

不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖像位于函數(shù)y=g（x）的圖像上方的那部分點的橫坐標(biāo)的集合。

分析：本題主要考查函數(shù)的基本知識，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

例3 方程lgx=sinx解的個數(shù)為（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：畫出函數(shù)y=lgx與y=sinx的圖像（如圖），注意兩個圖像的相對位置關(guān)系。

答案：C。

三、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題

數(shù)列可看成以n為自變量的函數(shù)，等差數(shù)列可看成自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項和可看成自然數(shù)n的缺常數(shù)項的“二次函數(shù)”，等比數(shù)列可看成自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”，在解決數(shù)列問題時可借助相應(yīng)的函數(shù)圖像來解決。

四、不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中圖像的特點，可從圖形上尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解。

五、求極值問題中的數(shù)形結(jié)合

許多代數(shù)極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，啟發(fā)思維，難題巧解。

六、數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)的幾何意義包括兩方面內(nèi)容：一是與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，二是與復(fù)平面上從原點出發(fā)的向量一一對應(yīng)，這使得復(fù)數(shù)可以從解析幾何的角度來審視，可借助數(shù)與形的互化來解題。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時要注意以下兩點：其一，注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題應(yīng)是等價的。違背了這個原則的數(shù)形結(jié)合，將會引起錯誤。其二，注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。有些問題所對應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后，再進行討論求解。

總之，學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技巧，如果只理解了幾個典型習(xí)題，就認(rèn)為領(lǐng)會了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是錯誤的。所以要認(rèn)真上好每一堂課，深入學(xué)習(xí)新教材的系統(tǒng)知識，掌握各種函數(shù)的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質(zhì)。教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況，注意改變觀察和理解問題的角度，揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算，從而使問題得到解決。在平日的教學(xué)中，要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的思維能力。只有這樣，運用數(shù)形結(jié)合才能不斷深化提高。