張神駒

在解決某些問題時(shí)，先設(shè)出一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)，然后根據(jù)問題的條件逐步確定這些待定字母的值，進(jìn)而解決問題，這樣的解題方法我們稱之為待定系數(shù)法.它是數(shù)學(xué)中的一種重要解題方法，

應(yīng)用廣泛，本文以質(zhì)檢與高考試題為例，談?wù)劥ㄏ禂?shù)法在空間直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用.

1 利用待定系數(shù)法確定點(diǎn)的坐標(biāo)

建立空間直角坐標(biāo)系是解決立體幾何的一種重要手段，然而關(guān)于空間直角坐標(biāo)系數(shù)的建立，教材與雜志的一些文章中，強(qiáng)調(diào)具有垂直關(guān)系，特別是有長(zhǎng)方體或有線面垂直時(shí)才使用.其實(shí)不然，按照空間直角坐標(biāo)系的定義，可選取空間中任一點(diǎn)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的射線分別為x，y，z軸，且滿足右手系即可建立直角坐標(biāo)系.這說(shuō)明了空間直角坐標(biāo)系的建立具有普遍意義，當(dāng)然在實(shí)際應(yīng)用中我們應(yīng)該選擇便于計(jì)算的空間直角坐標(biāo)系.

例1 （2018年寧德市高三第一次質(zhì)檢）如圖l，矩形ABCD中，AB=6，AD=2√3，點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將矩形ABCD沿著對(duì)角線AC折成二面角

分析 立體幾何綜合問題中，將平面圖形翻折成空間幾何體是質(zhì)檢與高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型.對(duì)于翻折立體幾何問題一定要理清翻折前后的不變關(guān)系和不變量，通常在折痕同側(cè)的位置關(guān)系、角度的大小保持不變;而在折痕異側(cè)的兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度、角度及位置關(guān)系都有變化，這點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵所在.同時(shí)也往往是學(xué)生的薄弱點(diǎn)，不僅需要較好的運(yùn)算能力，也需要較強(qiáng)的空間想象能力.本題正好考查學(xué)生的弱點(diǎn)，實(shí)測(cè)中得分率較低.那么能否直接建系解決呢？答案是肯定的，由于矩形沿對(duì)角線的折疊過(guò)程中，始終保持D′A=DA=2√3，D′C=DC=6，隨著D′B=√30，則D′的位置就確定了，因而用坐標(biāo)法較幾何法容易.我們以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線為x，y軸，過(guò)B點(diǎn)垂直于平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出D′點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)問題解決.

解（I）以B為原點(diǎn)，Bc，BA所在直線為x，y軸，過(guò)B點(diǎn)垂直于平面ABC的垂線為z軸，建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)平面AD'F的一個(gè)法向量為m=（x，y，z），

設(shè)平面BD′F的法向量為m=（x，y，z），

例2 （2006年高考江西卷·理20）如圖3，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

（I）求證：AD⊥BC;

（n）求二面角B-AC-D的大小;

（III）在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置;若不存在，說(shuō)明理由.

分析 題設(shè)中雖沒有更多的垂直關(guān)系，但仍可建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用待定系數(shù)法確定點(diǎn)的坐容易證∠BDC=90°，所以以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BD，CD所在直線分別為x，y軸，過(guò)D垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法，確定A點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)問題解決.

解（I）

又BD=CD=1，

則BC2=BD2+CD2，

所以∠BDC=90°.

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BD，CD所在直線分別為x，y軸，過(guò)D垂直平面BCD的直線為z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系.由BD=CD=1，

有D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

設(shè)A（x，y，z）（z>0），

∴DA=（1，1，1），BC=（-l，1，0），DA.BC=0，

故AD⊥BC.

同樣地，我們還可以以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BD，BA所在直線分別為y，z軸，過(guò)B垂直平面ABD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)，確定C點(diǎn)坐標(biāo).或以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DC，DA所在直線分別為y，z軸，過(guò)D垂直平面ACD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)，確定B點(diǎn)坐標(biāo)，等等.

通過(guò)以上例題分析，待定系數(shù)法，使得空間直角坐標(biāo)系的建立更具有多樣性、靈活性、簡(jiǎn)易性.

2 利用待定系數(shù)法確定平面的法向量

平面法向量是向量法解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在，立體幾何中的平行、垂直的證明;角和距離的計(jì)算等問題都有涉及.利用待定系數(shù)法確定平面的法向量解決立體幾何問題，方法簡(jiǎn)便，易于操作，可避開傳統(tǒng)幾何法中引輔助線、作圖、證明的麻煩，又可彌補(bǔ)空間想象能力的不足，發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的長(zhǎng)處.平面法向量將在解題中起到越來(lái)越大的作用.

2.1 利用法向量求點(diǎn)到平面的距離

例3 （2006年高考福建卷·理18）如圖5，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA=CB

（I）求證：AO⊥平面BCD;

（n）求異面直線AB與CD所成角的大小;

（In）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

分析有了第一小題的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系就顯得容易.然而，評(píng)卷中發(fā)現(xiàn)有部分考生，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)證明第一小題，默認(rèn)AO⊥平面BCD，這顯然犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.那么，能否直接建系證明第一小題呢？答案是肯定的，我們以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)垂直于平面BCD的垂線為z軸，利

用待定系數(shù)法求出A點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)其在z軸上，得到AO⊥平面BCD，這樣既能證明第一小題又可以避免邏輯性錯(cuò)誤.

解（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x，y軸，平面BCD的垂線為z軸，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A（x，y，z）（z>o），

2.2 利用法向量求直線與平面所成角

例4 （2013年高考新課標(biāo)I卷·理18）如圖7，三棱柱ABC-A1BlC1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（I）證明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

解（I）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，A1B，A1E，

如圖8，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△BAA1，是正三角形，

∴A1E⊥AB，

∵CA=CB，

∴CE⊥AB，AB⊥A1C.

（Ⅱ）由（I）知CE⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面AA1B1B，

面ABC∩面AA1B1B=AB，

∴EC⊥面AA1B1B，

EC⊥EA1，

∴EA，EA1，EC兩兩垂直.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x_軸正方向，|EA|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（圖9），

2.3 利用法向量求二面角

例題參見例2 （n）.

解 由例2第（I）題所建的空間直角坐標(biāo)系，

可得CA=（1，o，o），CD=（o，一1，o），

設(shè)平面ACD的法向量為m=（x，y，z），

3 利用待定系數(shù)法解決探索性、存在性問題

探索性問題常以“是否存在”、“當(dāng)…時(shí)，求證：…”等形式設(shè)問，這類問題涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性和不確定性，用傳統(tǒng)幾何法解決難度較大，而利用空間向量的待定系數(shù)法相對(duì)較簡(jiǎn)單.立體幾何中平行、垂直、角與距離等都可作為探索性問題的背景和題材，知識(shí)面廣，方法靈活，對(duì)考生的基礎(chǔ)知識(shí)與解題能力有較高要求，也是高考考查學(xué)生創(chuàng)新能力的重要題型.

3.1 利用共線關(guān)系解決問題

例題參見例2（III）.

解 設(shè)線段AC上存在點(diǎn)E，使ED與平面BCD

3.2 利用共面關(guān)系解決問題

例5 （2009年高考浙江卷·理20）如圖10，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC=16.PA=PC=10.

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE;

（n）證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM上平面BOE，并求點(diǎn)M到OB，OA的距離.

證明（I）如圖II，連結(jié)OP，∵平面PAC⊥平面ABC，O為AC的中點(diǎn)，∴PO上平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則0（0，o，o），A（O，一8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），由題意得G（O，4，0），因OB=（8，0，0），OE=（o，-4，3），因此平面BOE的法向量n=（o，3，4），F(xiàn)G：（-4，4，-3），∴n.FG=O.又直線FG∈平面BOE，故FG//平面BOE.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（xo，Yo，0），則FM=（xo-4，Yo-3），因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以FM//n，因此平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABO的內(nèi)部區(qū)域滿足不等組，故在AABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，

4 利用待定系數(shù)法解決體積問題

體積問題，利用幾何法求高，常需要確定射影位置，這往往增加解題難度，采用空間向量待定系數(shù)法確定點(diǎn)的坐標(biāo)，可以輕松解決問題.

例6 在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BAC=90°，BC1角，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

解 以A為原點(diǎn)建立如圖12所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得A（O，0，0），B（O，2，0），C（2，0，0），

設(shè)A（x，y，z），AA1= CC1，

∴Cl（x+2，y，z），

BC1= （x+2，y-2，z），

由BC1⊥AC，

∴BC1.AC=O，則x=一2①，

點(diǎn)評(píng) 本題利用待定系數(shù)法，避免分類討論.比傳統(tǒng)幾何法簡(jiǎn)單，對(duì)于本題的傳統(tǒng)幾何法有興趣的讀者，可以閱讀參考文獻(xiàn)[1].

在立體幾何中，充分利用向量解決立體幾何問題，是當(dāng)今國(guó)際幾何教學(xué)的主要渠道，向量是代數(shù)與幾何溝通的橋梁，用不著挖空心思去尋找各種位置關(guān)系，也避免各種輔助線的添加，充分展示向量幾何的魅力.還有現(xiàn)成的夾角公式、距離公式、法向量計(jì)算公式、共線關(guān)系式等等，使幾何問題代數(shù)化有了保證.巧妙地應(yīng)用待定系數(shù)法，能更好地發(fā)揮空間向量在立體幾何中的作用.當(dāng)然，邏輯推理方法（傳統(tǒng)幾何法）與向量方法不偏不倚，“雙管齊下，擇優(yōu)而用”才是解決問題的最佳途徑.

參考文獻(xiàn)

[1]李雪明，陳斌，空間點(diǎn)的射影定位的探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2005 （9）：