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        一題多解“論”變式,化歸思想“談”解法

        2019-07-16 11:10:30李慶林
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2019年3期
        關(guān)鍵詞:最值變式解題

        李慶林

        不等式恒成立問(wèn)題貫穿于整個(gè)高中階段,筆者以高一初始階段的不等式恒成立為例,與學(xué)生共同復(fù)習(xí)總結(jié)判別式法、分離參數(shù)法等方法,通過(guò)一題多解來(lái)展開(kāi)教學(xué),從中滲透化歸思想,厘清解決不等式恒成立問(wèn)題的基本方法.

        1 巧設(shè)情境初探問(wèn)題

        在課堂教學(xué)中,開(kāi)始階段非常重要,能夠影響學(xué)生整節(jié)課學(xué)習(xí)狀態(tài),因此,數(shù)學(xué)教師必須重視上課初始階段.成功的開(kāi)端教學(xué)能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,營(yíng)造出民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍,激發(fā)他們的創(chuàng)新思維,提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教學(xué)過(guò)程中,教師要重視吸引學(xué)生的注意力,發(fā)散他們的數(shù)學(xué)思維,使其快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

        在本節(jié)課中,筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了以前學(xué)過(guò)的二次函數(shù)求最值的方法,要求他們完成當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求函數(shù)y=X2-2x+1的最大值和最小

        值,(引導(dǎo)學(xué)生用初中所學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)求解,為下面引出二次函數(shù)求最值的方法做鋪墊).學(xué)生畫(huà)出函數(shù)圖象,觀察圖象得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn),進(jìn)而得到函數(shù)的最值及取得最值時(shí)自變量x的值,讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間[2,4]左側(cè)時(shí)的二次函數(shù)最值的求法.接著筆者再利用自制的拋物線教具結(jié)合黑板上已畫(huà)的直角坐標(biāo)系,引導(dǎo)學(xué)生思考:“當(dāng)隨著拋物線的對(duì)稱軸落在給定區(qū)間[2,4]內(nèi)或右側(cè)時(shí),如何求二次函數(shù)的最大值和最小值?”隨著問(wèn)題解決過(guò)程的逐步深入,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生回憶起已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí),為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

        2 變式訓(xùn)練積淀經(jīng)驗(yàn)

        在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,無(wú)論是講授新知識(shí)還是復(fù)習(xí)課都要用到變式訓(xùn)練,因此,變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了重要的作用.借助于變式訓(xùn)練,教師能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行不斷深化,學(xué)生也可以在熟悉的問(wèn)題情境中不斷地訓(xùn)練,深入研究和探討問(wèn)題,這就大大節(jié)約了讀題所需要的時(shí)間.此外,變式訓(xùn)練還能幫助學(xué)生深入理解問(wèn)題,引導(dǎo)他們思考條件改變時(shí)結(jié)論如何變化,從而積淀對(duì)本類型題目的解題經(jīng)驗(yàn),提高解題效率.在實(shí)際教學(xué)中,筆者一直強(qiáng)調(diào)傳授學(xué)生解題方法,變式訓(xùn)練就是一種較好的授之以漁的訓(xùn)練方法,這也是我們核心素養(yǎng)教學(xué)根本之所在.

        在課堂探究階段,筆者先給出引例:若關(guān)于x的不等式2x2-8x+4-a>o在x∈R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        學(xué)生很快得到以下解法:

        因此a的取值范圍為(一∞,-4).

        在教師進(jìn)一步地引導(dǎo)下,學(xué)生想到了參數(shù)分離法,從而化歸到求函數(shù)的最值問(wèn)題.解法如下:

        依題意得a<2x2—8x+4在x∈R上恒成立,

        設(shè)函數(shù)g(x)=2x2—8x+4,

        易知,當(dāng)x=2時(shí),g(X)min=g(2)=-4,

        故a的取值范圍為(一∞,-4).

        在正確解答問(wèn)題的基礎(chǔ)上,筆者給出了上題的變式:

        變式1 若關(guān)于x的不等式2x2-8x+4-a>o在X∈[I,4]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        變式2 若關(guān)于x的不等式2x2-(a+8)x+4>o在X∈[1,4]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        變式3 若關(guān)于x的不等式2x2-(a+8)x+4>o在x∈[-2,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        大部分學(xué)生能夠正確完成變式l,對(duì)于變式2,學(xué)生給出了兩種不同的解法.

        解法1 由己知得ax<2x2-8x+4,

        解法2設(shè)函數(shù)f(x)=2x2-(a+8)x+4,

        函數(shù)f(x)在[1,4]上為減函數(shù),

        ∴f(X)min=f(4)>0,

        ∴32-4a-32+4>0.

        即a

        在這基礎(chǔ)上再解答變式3,學(xué)生有了更廣闊的思維空間,在教師引導(dǎo)和學(xué)生自由選擇下,班上學(xué)生分成了兩組,分別按變式2的兩種方法完成了變式3的解答,然后通過(guò)生生討論和師生互動(dòng)進(jìn)行對(duì)比總結(jié),發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生用參數(shù)分離法的時(shí)候,或者沒(méi)有對(duì)x分類,或者把每一類的結(jié)果求并集導(dǎo)致錯(cuò)誤,而用另一種解法的學(xué)生,除了計(jì)算上的錯(cuò)誤,沒(méi)有邏輯上的錯(cuò)誤.通過(guò)以上變式的教學(xué),讓學(xué)生感受到因題目條件的變化,而引起解題策略的變化,進(jìn)而提升了學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化水平.

        3 對(duì)比研究開(kāi)闊思路

        在高中數(shù)學(xué)中,化歸思想的滲透要通過(guò)教學(xué)實(shí)例來(lái)達(dá)成,在對(duì)比研究過(guò)程中,學(xué)生可以開(kāi)闊自己的思路,發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維,在潛移默化中感受到化歸思想的妙處.在問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)換和求解過(guò)程中,學(xué)生能夠體悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略和化歸思想方法,總結(jié)出完整的解題思路,拓寬解題思維.在此,筆者采用了一題多解的形式,拓展學(xué)生的解題思路,滲透化歸思想.

        圖象均不在函數(shù)J=-x圖象上方,求a的取值范圍.

        分析上述三種解法,學(xué)生領(lǐng)略了解決恒成立問(wèn)題的多種常見(jiàn)求解方法(化歸最值、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合),但是這些方法并非獨(dú)立存在,在具體解題實(shí)踐中要綜合考慮、活學(xué)活用,才能順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.但是,不管應(yīng)用哪一種解法,都需要通過(guò)化歸來(lái)得到函數(shù)求其最值進(jìn)行處理,體現(xiàn)了化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的重要性.

        4 總結(jié)歸納鞏固方法

        根據(jù)上述內(nèi)容,在高一年初始階段,我們可以總結(jié)得到解決恒成立不等式問(wèn)題的思路:(l)直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值;(2)分離參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)法);(3)數(shù)形結(jié)合.含參不等式恒成立問(wèn)題涉及到非常多的知識(shí)點(diǎn),解題方法也多種多樣,但是不管如何變化,核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化,只有抓住問(wèn)題的本質(zhì)才能在解題時(shí)以不變應(yīng)萬(wàn)變,這就要求教師要提升教學(xué)的質(zhì)量和效益,引導(dǎo)學(xué)生不斷地去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié).在課后,筆者也為班級(jí)學(xué)生布置了相應(yīng)的練習(xí)題,幫助他們鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容.

        在本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中,筆者始終堅(jiān)持“教師主導(dǎo)”與“學(xué)生主動(dòng)”同時(shí)并重,認(rèn)為“教師主導(dǎo)”與“學(xué)生主動(dòng)”是相輔相成的,它們互相影響,相互促進(jìn),兩者的理想狀態(tài)是達(dá)到和諧.同時(shí),筆者要求學(xué)生要積極完成課堂練習(xí),幫助遇到困難的學(xué)生積極應(yīng)對(duì)困難,引導(dǎo)他們親身體悟一題多解、化歸思想,確保每個(gè)人都能從中有所收益.筆者欣慰地看到,絕大多數(shù)學(xué)生能夠感受到化歸思想所帶來(lái)的解題樂(lè)趣,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到了有效提升.

        參考文獻(xiàn)

        [1]李昀晟,化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用分析[J],數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2015 (04):124-128

        [2]許靜,化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[j].西部素質(zhì)教育,2015 (18):97

        [3]蔣瑭涵,化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)[J].求知導(dǎo)刊,2015(12):116

        (本文系福建省“十三五”第一批中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人培養(yǎng)對(duì)象科研課題《基于化歸思想的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究》(課題編號(hào):DTRSX2017021)的階段性成果之一)

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