宋鵬飛 高符嚴(yán)山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

由于自然保費(fèi)與均衡純保費(fèi)的差異，在壽險(xiǎn)精算模型下形成了均衡純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。

雖然從整個(gè)保單的期限來說，保險(xiǎn)金的支出和保費(fèi)的收入應(yīng)當(dāng)是平衡關(guān)系，但是根據(jù)現(xiàn)有的生命表的規(guī)律顯示，隨著被保險(xiǎn)人年齡的增加，自然保費(fèi)也是相應(yīng)增加的，所以雖然前期的均衡純保費(fèi)往往大于自然保費(fèi)，但是到了后期均衡純保費(fèi)是不足以支付自然保費(fèi)的。為了彌補(bǔ)自然保費(fèi)后期的不足，保險(xiǎn)人必須將均衡純保費(fèi)在前期超過自然保費(fèi)的部分積累起來，以此來為后期提供充足的保費(fèi)，這部分資金也就被稱為保險(xiǎn)人的責(zé)任準(zhǔn)備金。同時(shí)也正是因?yàn)榇嬖谪?zé)任保證金，壽險(xiǎn)保單才能被稱為具有價(jià)值，此價(jià)值被稱為保單價(jià)值。

以下，我們對(duì)各類由不同躉繳純保費(fèi)與繳納保費(fèi)的方式產(chǎn)生的均衡純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金進(jìn)行探究。以年齡為x歲的終身壽險(xiǎn)舉例，以與分別表示保險(xiǎn)受益金在死亡所在年度末支付與立即支付的躉繳純保費(fèi)；以與分別表示年初付終身生存年金精算現(xiàn)值與連續(xù)型終身生存年金精算現(xiàn)值；以P表示均衡純保費(fèi)的主體字母。

一、全離散型終身壽險(xiǎn)模型的責(zé)任準(zhǔn)備金

全離散型壽險(xiǎn)模型指保費(fèi)按期初付生存年金方式繳付,死亡給付在死亡所在的保單有效年度末支付的離散型保險(xiǎn)模型，這種方式導(dǎo)出的均衡純保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金我們稱作全離散式壽險(xiǎn)模型的責(zé)任準(zhǔn)備金。

以1單位普通終身壽險(xiǎn)為例，導(dǎo)出責(zé)任準(zhǔn)備金公式：設(shè)年齡為x歲的被保險(xiǎn)人的年繳純保費(fèi)為，在x+k歲時(shí)的剩余壽命周年數(shù)用隨機(jī)變量表示，保險(xiǎn)人在時(shí)刻k的損失為,是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，且我們有,所以我們可得到k時(shí)刻期末責(zé)任準(zhǔn)備金的未來法公式為，其余類型的責(zé)任準(zhǔn)備金可由其定義做類似推導(dǎo)。

二、全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型責(zé)任準(zhǔn)備金

全連續(xù)型壽險(xiǎn)模型指保費(fèi)按期初付連續(xù)生存年金方式繳付，死亡給付在死亡發(fā)生時(shí)刻立即支付的連續(xù)型保險(xiǎn)模型，這種方式導(dǎo)出的均衡純保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金我們稱作全連續(xù)型壽險(xiǎn)模型的責(zé)任準(zhǔn)備金。

我們以年齡為x歲的保額為1單位全連續(xù)式終身壽險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金為例，保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付，年繳純保費(fèi)用符號(hào)表示。設(shè)該保單在t年的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為，隨機(jī)變量U表示年齡為x+t歲者的未來壽命，則該壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)損失為，則有。其余類型的責(zé)任準(zhǔn)備金也可按照其具體定義類推。

三、半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型的年繳均衡純保費(fèi)

半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型分為兩種，它們之間的區(qū)別主要在于保費(fèi)繳費(fèi)方式與死亡賠償金的支付方式。其中一種為保費(fèi)按起初付連續(xù)生存年金方式繳付，死亡給付在死亡發(fā)生時(shí)刻立即支付的保險(xiǎn)模型，但是在實(shí)務(wù)中更為常見的是保費(fèi)按期初付生存年金方式繳付，死亡給付在死亡所在的保單有效年度末支付的保險(xiǎn)模型，這種方式導(dǎo)出的均衡純保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金我們稱作半連續(xù)型壽險(xiǎn)模型的責(zé)任準(zhǔn)備金。

我們同樣以年齡為x歲的保額為1單位半連續(xù)式終身壽險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金為例，保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付，年繳純保費(fèi)用符號(hào)表示。我們可設(shè)被保險(xiǎn)人在x+k歲時(shí)的剩余壽命周年數(shù)用隨機(jī)變量表示，被保險(xiǎn)人在x+k歲時(shí)的未來壽命用隨機(jī)變量U表示，則保險(xiǎn)人在時(shí)刻k的損失為是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，且我們有,所以我們可得到k時(shí)刻期末責(zé)任準(zhǔn)備金的未來法公式為，其余類型的責(zé)任準(zhǔn)備金可由其定義做類似推導(dǎo)。

根據(jù)幾種計(jì)算公式的推導(dǎo)，可以看出責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算原理為保險(xiǎn)人損失的預(yù)期期望，即E[L]。依此來平衡自然保費(fèi)與均衡純保費(fèi)的差異，使得壽險(xiǎn)保單才能被稱為具有價(jià)值。

顯然，我們推導(dǎo)的全連續(xù)模型與半連續(xù)模型中保險(xiǎn)費(fèi)按連續(xù)型生存年金繳付這兩種類型在現(xiàn)實(shí)生活中是不可操作的，但我們?nèi)钥蓮睦碚撋蠈?duì)它們進(jìn)行同等程度的討論，因?yàn)檫@有助于我們完善整個(gè)壽險(xiǎn)精算理論體系。