陳 群，李文峰，陳 哲

CHEN Qun1, 2，LI Wenfeng1, 2，CHEN Zhe1, 2

（1.福建工程學(xué)院 管理學(xué)院，福建 福州 350118；2.福建工程學(xué)院 建筑產(chǎn)業(yè)現(xiàn)代化管理研究中心，福建 福州 350118）

(1.Management School， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， Fujian， China；2.Research Center for Management of Construction Industry Modernization， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， Fujian， China)

0 引言

由于城市軌道交通具有公共屬性，運營投資額巨大，僅依靠票務(wù)收入難以維系城市軌道交通運營公司的正常運營，因而需要一定的政府財政補(bǔ)貼。然而，不合理的補(bǔ)貼與定價機(jī)制不僅加大了政府的財政壓力與公眾的選擇傾向性，還將造成運輸效率大幅降低，無法充分彰顯其實際價值?？梢姡鞘熊壍澜煌ㄟ\營階段的補(bǔ)貼與定價問題已成為制約其可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵要素之一，研究博弈視角下的城市軌道交通運營補(bǔ)貼與定價問題具有較強(qiáng)的現(xiàn)實意義。

現(xiàn)階段城市軌道交通運營補(bǔ)貼研究主要與政府考核機(jī)制和運營補(bǔ)貼機(jī)制相掛鉤。通過考核手段確保政府提供的財政補(bǔ)貼機(jī)制更為規(guī)范、高效，以提高運營公司的運營效率及服務(wù)水平[1-2]。除此之外，陳賢軍[3]分析得出基于行車公里數(shù)的補(bǔ)貼模式較為合理，但由于不同時段運力水平不同、政府難以合理分析運營公司的實際運營現(xiàn)狀等原因，導(dǎo)致該補(bǔ)貼模式難以為繼。此外，運營定價與企業(yè)的資金管理密切相關(guān)，其管理水平的高低直接影響企業(yè)的營運能力[4]。在運營定價研究中，動態(tài)定價研究占據(jù)多數(shù)。Jong[5]發(fā)現(xiàn)不同定價將對乘客的出行方式選擇產(chǎn)生顯著影響，并提出了基于客流量的動態(tài)定價模型。李靜、田貴超、易欣等[6-8]均針對公共交通的分時定價展開研究。唐文彬等[9]研究了城市軌道交通與傳統(tǒng)公共交通之間關(guān)于定價問題的合作博弈，并從城市軌道交通運營公司與乘客2個方面展開分析，為城市軌道交通與傳統(tǒng)公共交通的定價機(jī)制優(yōu)化提供了一定的參考依據(jù)。

城市軌道交通的補(bǔ)貼與定價彼此間相互影響，存在極大的關(guān)聯(lián)性。在目前城市軌道交通補(bǔ)貼與定價研究中，針對二者的研究相對獨立，集成研究較為匱乏。為此，綜合考慮補(bǔ)貼、定價與客流量三者之間的關(guān)系，構(gòu)建政府與城市軌道交通運營公司的Stackelberg微分博弈模型，并以福州地鐵為例進(jìn)行綜合分析，以進(jìn)一步完善城市軌道交通補(bǔ)貼與定價機(jī)制研究。

1 城市軌道交通運營補(bǔ)貼與定價博弈模型

Stackelberg微分博弈模型可用于在時間連續(xù)的系統(tǒng)內(nèi)，解決博弈過程中信息不對等的博弈雙方，在一方做出相應(yīng)決策的情況下，另一方根據(jù)對方?jīng)Q策情況進(jìn)行相應(yīng)決策的博弈分析行為，力求各自獨立、沖突的目標(biāo)最優(yōu)化，最終求得各參與者隨時間演變策略的納什均衡。

1.1 模型假設(shè)

假設(shè) 1：城市軌道交通運營公司與政府為博弈的2個參與方。假設(shè)雙方在博弈過程中都保持理性狀態(tài)，且在一定運營服務(wù)水平下補(bǔ)貼與定價成功與否完全由博弈參與方?jīng)Q定，暫不考慮其他可能的影響因素。

假設(shè) 2：為保證研究的順利開展，假設(shè)城市軌道交通運營公司與政府間在一定程度上不存在信息不平衡的情況，即政府對于城市軌道交通運營公司的服務(wù)水平、運營票價及大致運營成本有一定程度的了解，城市軌道交通運營公司對政府的財政補(bǔ)貼額度也相對明確，即認(rèn)為該博弈是在雙方信息完整的情況下進(jìn)行的。

假設(shè) 3：在博弈階段，由政府首先做出博弈決策，該階段的最終博弈決策是為了達(dá)到社會效益最大化。假設(shè)政府對城市軌道交通運營公司給予的財政補(bǔ)貼額度依據(jù)運營服務(wù)水平與定價因素，設(shè)人均補(bǔ)貼額度為f，客流量為λ，則相應(yīng)補(bǔ)貼總額為fλ。

假設(shè) 4：在博弈的第二階段，城市軌道交通運營公司根據(jù)政府所提供的補(bǔ)貼方案進(jìn)行服務(wù)水平及定價方面的決策調(diào)整，該階段的最終博弈決策結(jié)果是在保證一定社會效益的前提下，盡可能地提高運營定價，進(jìn)而實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益最大化。

假設(shè) 5：假設(shè)一定服務(wù)水平s下，政府方的城市軌道交通運營理想定價P與客流量λ之間存在以下函數(shù)關(guān)系

式中：P為城市軌道交通運營定價；λ為城市軌道交通客流量；a與β為相關(guān)系數(shù)。

假設(shè) 6：假設(shè)城市軌道交通運營公司的總運營成本函數(shù)為

式中：c1與c2均為成本系數(shù)；c0為城市軌道交通運營的固定成本；c0≥0，c1＞0，c2＞0。

假設(shè) 7：在受到其他有關(guān)因素的影響下，城市軌道交通運營定價的微分狀態(tài)方程函數(shù)表達(dá)為

式中：p為城市軌道交通運營最終定價；公式(1)中a-βλ為在合理控制范圍內(nèi)，政府方的城市軌道交通運營理想定價；p-a+βλ為最終定價與理想定價之間的差值；ζ為微分狀態(tài)方程中的調(diào)價系數(shù)。

1.2 模型求解

政府的目標(biāo)函數(shù)為

式中：Γ為有界、連續(xù)且可微的政府價值函數(shù)；ρ為貼現(xiàn)率；h為消費者剩余中的影響系數(shù)。

軌道交通運營公司的目標(biāo)函數(shù)為

式中：τ為有界、連續(xù)且可微的城市軌道交通運營公司價值函數(shù)。

1.2.1 第二階段模型求解

首先，將城市軌道交通運營公司的二次值函數(shù)設(shè)為V(p) =θ2p2+θ1p+θ0，V '(p) = 2θ2p+θ1。θi(i= 0，1，2)為所設(shè)相關(guān)系數(shù)。因此，城市軌道交通運營公司的HJB方程如下。

將上述方程最大化，得到城市軌道交通運營公司在一定服務(wù)水平下提供的客流量λ的表達(dá)式為

根據(jù)上式結(jié)果，通過待定系數(shù)法求得θ1和θ2的表達(dá)式，如下所示。

通過式子ρθ1與ρθ2可求得二次值函數(shù)式和θ2的表達(dá)式(8)，為求得θ1表達(dá)式，簡化之后假設(shè)θ1=k1+k2f，求得待定系數(shù)k1，k2。

接著，將V '(p) = 2θ2p+θ1、θ1=k1+k2f代入公式(7)中，求得城市軌道交通運營公司在一定服務(wù)水平下的決策函數(shù)表達(dá)式如下。

1.2.2 第一階段模型求解

政府的二次值函數(shù)設(shè)定為L(p) =μ2p2+μ1p+μ0，L '(p) = 2μ2p+μ1。μi(i= 0，1，2)為所設(shè)相關(guān)系數(shù)。因此，構(gòu)建政府的HJB方程如下。

由公式(11)可知城市軌道交通運營公司的最優(yōu)客流量決策，并將最優(yōu)客流量決策代入公式(12)中，得到政府視角下的HJB方程解。

在關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式中，在求得k1，k2，c1，c2，β，ζ，λ，μ1，μ2等函數(shù)值后，城市軌道交通運營公司能夠獲得最大化的政府財政補(bǔ)貼。其中，c1，c2，β，ζ，λ通過專家調(diào)查分析方法總結(jié)得到，k1，k2，θ2由上式求得。將f用含m與n的表達(dá)式表示為f=m+np，通過待定系數(shù)法求得m，n的表達(dá)式如下所示。

將L '(p) = 2μ2p+θ1和f=m+np代入 HJB 方程得到

根據(jù)政府補(bǔ)貼的HJB方程，與第二階段的模型求解相同，通過待定系數(shù)法確定價值函數(shù)L(p)和L'(p)系數(shù)的μ1和μ2的值，具體如下式所示。

模型均衡解聯(lián)立政府補(bǔ)貼的決策變量f，城市軌道交通運營公司在一定服務(wù)水平下的客流量λ及定價p的微分狀態(tài)方程，其中c1，c2，a，ζ，ρ，β依據(jù)城市軌道交通運營過程中的調(diào)查數(shù)據(jù)總結(jié)獲得，θ2，k1，k2，m，n通過上述表達(dá)式求得。

可求出p，λ，f關(guān)于時間t的函數(shù)如下。

2 實例分析

以福州地鐵為例，對其運營定價與客流量以及政府財政補(bǔ)貼的關(guān)系進(jìn)行分析。福州地鐵1號線于2016年5月開始運營，線路總里程為24.89 km。在軌道交通網(wǎng)絡(luò)體系、軌道交通運營管理等方面均存在不足，亟待改善。在確定相關(guān)外生變量初始值方面，通過實地調(diào)研及專家訪談等方式開展工作，并結(jié)合合作單位提供的現(xiàn)實數(shù)據(jù)，對運營服務(wù)水平、客流量等方面進(jìn)行梳理、分析。

由于福州地鐵尚處在發(fā)展初期，運營時間較短。在案例分析中，各變量初始值的取得一方面是通過調(diào)研直接獲得，另一方面是通過調(diào)研對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析獲得。在確定了各變量初始值后，針對各外生變量對p，λ，β產(chǎn)生的影響主要是基于理論研究，并結(jié)合部分實際情況展開分析。首先將相關(guān)系數(shù)a與地鐵現(xiàn)實運營服務(wù)水平相聯(lián)系，通過實地問卷調(diào)查獲得運營服務(wù)水平得分s為80，且設(shè)a= 0.1 s?；诔丝驼{(diào)研情況，其中票價因素所占權(quán)重約為0.124 7。在后續(xù)研究中對β進(jìn)行等比折算，令β取值在0.001到0.01之間，故在研究中假設(shè)相關(guān)系數(shù)初始值a= 8，β= 0.001；其次，為保證地鐵的運行效率，政府財政對地鐵運營補(bǔ)貼高達(dá)50%，同時調(diào)價系數(shù)ζ與政府的實際補(bǔ)貼力度息息相關(guān)，調(diào)價系數(shù)越高則政府的補(bǔ)貼力度越大，ζ取值范圍在0到1之間，結(jié)合相關(guān)合作單位提供的數(shù)據(jù)，在研究中假設(shè)調(diào)價系數(shù)初始值ζ= 0.5；再次，根據(jù)中國城市軌道交通協(xié)會統(tǒng)計分析報告，福州地鐵年均運營成本約為62億元，結(jié)合調(diào)研結(jié)果并進(jìn)行多次假設(shè)分析后，城市軌道交通運營公司運營成本函數(shù)的參數(shù)基本滿足c1= 5，c2= 0.05，c0= 50 000；最后，消費者剩余系數(shù)、貼現(xiàn)率則依據(jù)文獻(xiàn)分析獲得，分別假設(shè)h= 10，ρ= 15。

最終確定各外生變量初始值：a= 8，β= 0.001，ζ= 0.5，c1= 5，c2= 0.05，h= 10，ρ= 15。并基于假設(shè)對各變量間相關(guān)關(guān)系展開分析，以求得不同情況下的補(bǔ)貼、定價情況。

2.1 p，q，λ 之間的相關(guān)關(guān)系

首先，基于對福州地鐵現(xiàn)實情況的數(shù)據(jù)收集、整理，分析城市軌道交通運營定價p與客流量λ以及政府財政補(bǔ)貼f的關(guān)系，將外生變量數(shù)值a= 8，β= 0.001，ζ=0.5，c1= 5，c2= 0.05，h= 10，ρ= 15代入公式(7)以及f=m+np中，可以獲得λ和f在一定p取值范圍內(nèi)的函數(shù)圖像。城市軌道交通定價與內(nèi)生變量間的關(guān)系如圖1所示。

從圖1可知，客流量λ隨著運營定價p的增加而減少，同時政府對城市軌道交通運營公司的財政人均補(bǔ)貼額度隨著運營定價p的增大而降低。可見，在城市軌道交通運營服務(wù)水平維持不變的情況下，多數(shù)乘客仍選擇傳統(tǒng)公共交通。若定價越高，則客流量越低，進(jìn)而會阻礙城市軌道交通的健康發(fā)展。

圖1 城市軌道交通定價與內(nèi)生變量間的關(guān)系Fig.1 Relationship between urban rail transit pricing and endogenous variables

2.2 敏感系數(shù) β 對內(nèi)生變量的影響

價格敏感系數(shù)與乘客出行所受價格影響作用相關(guān)聯(lián)，假定外生變量價格敏感系數(shù)β發(fā)生改變，此時a= 8，ζ= 0.5，c1= 5，c2= 0.05，h= 10，ρ= 15，而β2在0.001至0.01的合理范圍內(nèi)升高至0.005時，此時乘客更傾向于選擇價格更為低廉的公共交通出行手段，分析在該情況下對軌道交通運營定價p、客流量λ及政府的財政補(bǔ)貼額度f產(chǎn)生的影響。分別將外生變量β1與β2代入p，f，λ的函數(shù)表達(dá)式中，可以得到價格敏感系數(shù)β對內(nèi)生變量的影響如圖2所示。

當(dāng)保持其他外生變量數(shù)值不變時，當(dāng)價格敏感系數(shù)β的數(shù)值不斷增大，可認(rèn)為在一定條件下，乘客選擇價格較高的地鐵出行傾向性較低。在該情況下，運營定價p隨之降低，由3.35元/人降低至3.3元/人；但此時客流量λ呈現(xiàn)上升趨勢，由6 050萬人次提升至6 200萬人次；同時政府應(yīng)當(dāng)通過提高財政補(bǔ)貼額度至2.56元/人，以促進(jìn)城市軌道交通的快速發(fā)展。

圖2 價格敏感系數(shù)β對內(nèi)生變量的影響Fig.2 Effect of price sensitivity coefficient on endogenous variables

2.3 價格調(diào)整因子ζ對內(nèi)生變量的影響

價格調(diào)整因子的改變將對政府給予的補(bǔ)貼力度產(chǎn)生影響，假定外生變量價格調(diào)整因子ζ發(fā)生改變，此 時a= 8，β= 0.001，c1= 5，c2= 0.05，h= 10，ρ= 15，而ζ2在0至1的合理范圍內(nèi)由0.5升高至0.7時，分析在該情況下對軌道交通運營定價p、客流量λ以及政府的財政補(bǔ)貼額度f產(chǎn)生的影響。分別將外生變量ζ1與ζ2代入p，f，λ的函數(shù)表達(dá)式中，可以得到價格調(diào)整因子ζ對內(nèi)生變量的影響如圖3所示。

價格調(diào)整因子ζ是政府根據(jù)消費者可接受的銷售價格與實際的銷售價格之間的差價進(jìn)行調(diào)節(jié)的因子，調(diào)節(jié)力度越大，價格越低。當(dāng)保持其他外生變量數(shù)值不變的情況下，通過改變價格調(diào)整因子ζ，隨著價格調(diào)整因子ζ數(shù)值變大，即政府給予的財政補(bǔ)貼力度越大，在該情況下，軌道交通運營定價p不斷降低，由3.35元/人降低至3.25元/人；隨之客流量λ增加，由6 050萬人次上升至6 130萬人次；政府的財政補(bǔ)貼額度f也將升高，由2.46元/人上升至2.56元/人。

圖3 價格調(diào)整因子ζ對內(nèi)生變量的影響Fig.3 Effect of price adjustment factor on endogenous variables

2.4 成本系數(shù)c對內(nèi)生變量的影響

成本系數(shù)與運營公司就運營方面投入的成本相互關(guān)聯(lián)，假定外生變量成本系數(shù)c發(fā)生改變，此時a= 8，β= 0.001，ζ= 0.5，c1= 5，h= 10，ρ= 15，而成本系數(shù)c2由0.05上升至0.07，由于提高運營服務(wù)水平需要投入大量的成本，在該情況下運營成本受影響而增高，分析該情況對軌道運營定價p、客流量λ以及政府的財政補(bǔ)貼額度f產(chǎn)生的影響。分別將外生變量c2= 0.05與c2= 0.07代入p，f，λ的函數(shù)表達(dá)式中，可以得到成本系數(shù)c對內(nèi)生變量的影響如圖4所示。

當(dāng)成本系數(shù)c2增大時，軌道交通運營定價p升高，由3.35元/人上升至3.45元/人；但客流量λ降低，由6 000萬人次降低至5 000萬人次；同時政府的財政補(bǔ)貼額度將減小，由2.5元/人降低至1.5元/人，可見成本系數(shù)對地鐵各要素的影響較為顯著。因此，政府通過采取財政補(bǔ)貼方式可以對維持城市軌道交通運營的整體運輸效率起到一定控制效果。

圖4 成本系數(shù)c對內(nèi)生變量的影響Fig.4 Effect of cost coefficient on endogenous variables

2.5 研究結(jié)論

基于福州地鐵1號線2018年運營現(xiàn)狀，福州地鐵車票均價約為3.5元/人，在該定價水平下，結(jié)合外生變量數(shù)值求解函數(shù)曲線顯示，年乘車人次約為5 800萬人次，與現(xiàn)實情況較為接近，同時補(bǔ)貼額度的求解結(jié)果約為2.45元/人。

就價格敏感系數(shù)β而言，若乘客的價格敏感系數(shù)β較高，運營方應(yīng)適當(dāng)調(diào)低定價，政府則相應(yīng)提高補(bǔ)貼額度。在價格敏感系數(shù)β由0.001上升至0.005時，車票的最優(yōu)定價與補(bǔ)貼額度分別為3.3元/人與2.55元/人。就價格調(diào)整因子ζ而言，政府加大對地鐵運營補(bǔ)貼的投入力度，提高價格調(diào)整因子ζ水平，將對降低定價、提高客流量具有顯著影響。在價格調(diào)整因子ζ由0.5上升至0.7時，政府的財政補(bǔ)貼約為3.1元/人，車票的最優(yōu)定價與客流量分別為3.35元/人與6 100萬人次。就成本系數(shù)c而言，為提高運營服務(wù)水平，成本系數(shù)c難免將增大，隨之產(chǎn)生地鐵票價升高、客流量降低、補(bǔ)貼額度減小的情況。因此，運營商應(yīng)通過創(chuàng)新手段提高服務(wù)水平，同時應(yīng)盡可能避免運營成本隨之增加。若無法阻止運營成本上升，政府應(yīng)及時根據(jù)實際情況提高財政補(bǔ)貼額度以確保福州地鐵的可持續(xù)發(fā)展。

3 結(jié)束語

隨著城市軌道交通建設(shè)進(jìn)程的加快，建立并完善適應(yīng)市場的定價機(jī)制將成為提升軌道交通競爭力和運營效益的有力途徑。通過構(gòu)建Stackelberg微分博弈模型，分析內(nèi)生、外生變量對博弈模型產(chǎn)生的影響，并結(jié)合福州地鐵1號線運營情況展開分析，旨在為我國城市軌道交通快速建設(shè)、穩(wěn)定發(fā)展提供一定的決策支持。此外，在城市軌道交通運營的補(bǔ)貼與定價問題研究過程中，參數(shù)選取方面還存在不足。為提高城市軌道交通運營公司與政府在解決補(bǔ)貼與定價問題中的博弈可信度，后續(xù)研究將圍繞增設(shè)相關(guān)參數(shù)、增加項目案例支撐等手段展開，從而不斷推進(jìn)博弈論在解決城市軌道交通運營問題中的應(yīng)用，提高經(jīng)濟(jì)效益和社會效益。