嚴(yán)東升，張 曦，李 強(qiáng)，賈平會(huì)，李 軍

（北京航天長征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著制導(dǎo)武器機(jī)動(dòng)性能和制導(dǎo)精度的大幅提高，僅有單一脫靶量要求的制導(dǎo)律已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的需要，尋求復(fù)雜環(huán)境多約束條件下的末段制導(dǎo)律具有重要的理論意義[1]。基于末段數(shù)據(jù)鏈提供的目標(biāo)位置、速度及視線角等信息，制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)不僅要考慮理論研究，要滿足落點(diǎn)精度、傾角約束及過載需求等嚴(yán)苛條件，還要保證工程實(shí)用性，以提高制導(dǎo)武器的作戰(zhàn)效能。

近年來，末制導(dǎo)研究主要集中在最優(yōu)控制理論、滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制、預(yù)測(cè)控制方面[2～4]?；谧顑?yōu)控制理論的彈道成型制導(dǎo)律在文獻(xiàn)[5]中首次提出，Paul Zarchan則側(cè)重于終端姿態(tài)角約束條件下線性制導(dǎo)系統(tǒng)的最優(yōu)控制研究。Lee[6]在彈道成型制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上加入對(duì)攻擊終端時(shí)間約束條件，利用最優(yōu)控制理論實(shí)現(xiàn)對(duì)低機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同飽和攻擊。胡正東[7]設(shè)計(jì)了一種帶落角約束的再入機(jī)動(dòng)飛行器復(fù)合導(dǎo)引律，在最優(yōu)導(dǎo)引的基礎(chǔ)上引入滑模變結(jié)構(gòu)控制，增強(qiáng)導(dǎo)引律的魯棒性。Manchester[8]設(shè)計(jì)了帶角度約束的循環(huán)迭代比例導(dǎo)引律方法，將有限時(shí)間的非線性約束問題變?yōu)闊o限時(shí)間線性規(guī)劃問題。Hu[9]結(jié)合自適應(yīng)控制理論，設(shè)計(jì)了一種帶角度約束的三維自適應(yīng)比例導(dǎo)引律，通過自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)，滿足落角要求實(shí)現(xiàn)垂直攻擊。上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)大多未考慮實(shí)際應(yīng)用終端過載的需求，且制導(dǎo)律中包含難以測(cè)量的狀態(tài)信息，不便于工程應(yīng)用，適用性差。本文針對(duì)當(dāng)前工程應(yīng)用中面臨的問題，基于最優(yōu)控制理論，在考慮機(jī)動(dòng)性能、落點(diǎn)精度及傾角約束下，得到工程化的最優(yōu)制導(dǎo)律，通過分析制導(dǎo)階次研究制導(dǎo)律特性，最后將末端過載控制到零。

1 多約束最優(yōu)制導(dǎo)方法建模

飛行器末制導(dǎo)問題的線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 線性動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The Model of Nonlinear DynamicsaT—目標(biāo)加速度；aM—飛行器加速度；s—飛行器位移

飛行器制導(dǎo)問題的狀態(tài)方程可表示為

高超聲速飛行器通常具有末端位置條件與傾角約束限制，而傾角約束在狀態(tài)量上等價(jià)于末端法向速度約束，可以通過控制飛行器法向速度來滿足速度傾角約束，因此末端約束為

制導(dǎo)律設(shè)計(jì)初期，期望飛行器按較高過載實(shí)現(xiàn)大機(jī)動(dòng)飛行，而接近目標(biāo)時(shí)，需要以較小或趨近于零值的過載指令，間接保證飛行器以小攻角擊中目標(biāo)，因此本文引入剩余飛行時(shí)間的冪函數(shù)R(t)，即：

式中g(shù)ot為剩余飛行時(shí)間；n為制導(dǎo)階次，n ＞0。

定義該制導(dǎo)模型的目標(biāo)函數(shù)為

式中 t，0t，F(xiàn)t分別為飛行器的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、初始時(shí)刻及終端時(shí)刻。

要使得目標(biāo)函數(shù)最小，即：

根據(jù)最優(yōu)控制理論中對(duì)狀態(tài)空間方程在始、末兩時(shí)刻的通解算法，該制導(dǎo)問題以飛行器末制導(dǎo)初始時(shí)刻為起點(diǎn)，可得末端時(shí)刻通解的表達(dá)式：

式中 λ為時(shí)間變量。

定義函數(shù)：

考慮末端位置和法向速度約束，式（7）可簡化為

引入中間變量η，將上面兩式合并，得到：

應(yīng)用Schwartz不等式定理可得：

根據(jù)Schwartz不等式定理，加速度指令可表示為

將式（12）代入式（11），得到：

故，飛行器加速度關(guān)于t的表達(dá)式為

根據(jù)1h，2h的定義，在不同時(shí)刻存在：

將式（16）代入式（12），可以得到剩余飛行時(shí)間tgo的加速度指令為

式中 N1及 N3為位置約束權(quán)系數(shù)，，N2為落腳約束權(quán)系數(shù)，

2 最優(yōu)制導(dǎo)律工程簡化

式（17）最優(yōu)末制導(dǎo)律中的狀態(tài)量，在實(shí)際飛行中不便于直接測(cè)量，包括飛行器法向位移以及法向速度等，本節(jié)對(duì)多約束最優(yōu)末制導(dǎo)律表達(dá)式進(jìn)行簡化，以增強(qiáng)工程適應(yīng)性。末段飛行時(shí)間較短，將飛行器和目標(biāo)看作是在縱向平面運(yùn)動(dòng)，建立二維平面交戰(zhàn)模型，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示。

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.2 The Relative Motion Relationship between Missile and Target

當(dāng)q(t)為小量時(shí)，根據(jù)飛行器與目標(biāo)幾何關(guān)系，有：

對(duì)式（18）兩邊進(jìn)行微分，得：

由式（19）可得：

將式（19）代入式（20）得：

將式（20）、式（21）代入式（17）加速度指令中，可得到便于實(shí)際應(yīng)用的多約束最優(yōu)末制導(dǎo)指令：

式中 q(t)和()q t˙可由導(dǎo)引頭測(cè)量得到；Fq為提前裝訂的末端傾角期望值；rV和got可由導(dǎo)航模塊進(jìn)行實(shí)時(shí)解算。式（22）由末端位置約束項(xiàng)和傾角約束項(xiàng)構(gòu)成，以實(shí)現(xiàn)飛行器的精確打擊，并以期望的傾角命中目標(biāo)。

3 制導(dǎo)律權(quán)系數(shù)特性分析

3.1 制導(dǎo)權(quán)系數(shù)對(duì)過載影響

由式（17）制導(dǎo)權(quán)系數(shù)N1和N2與制導(dǎo)階次n的關(guān)系可知，相應(yīng)的制導(dǎo)指令形式會(huì)隨著n的變化而變化，因此飛行過載指令也將隨之改變。

飛行器的初始位置在彈目視線連線上，基于圖 2的飛行器模型，可得法向位移的變化率：

式中0ε為初始速度誤差角。

在飛行器末制導(dǎo)初始時(shí)刻t=0時(shí)，據(jù)式（7）可得：

設(shè)初始時(shí)刻00t= ，由式（16）可得：

將式（24）代入式（17）中得：

由Fq引起的無量綱過載：

經(jīng)推導(dǎo)可得，制導(dǎo)律的過載大小主要受制導(dǎo)階次n的影響，圖3給出了不同n值下的由誤差角0ε和傾角約束Fq引起的無量綱過載曲線。

由圖3仿真曲線可知：

a）當(dāng) n=0時(shí)，末端位置約束項(xiàng)權(quán)系數(shù)1N=4，末端傾角項(xiàng)權(quán)系數(shù)2N=2，制導(dǎo)過程中由0ε引起和由Fq引起的無量綱過載比值保持為2，且兩項(xiàng)過載在末端未收斂至零；

b）當(dāng)n＞0時(shí)，由0ε引起和由Fq引起的無量綱過載在飛行末端均收斂至零。由于在飛行前段，已產(chǎn)生足夠的制導(dǎo)指令去修正速度方向的誤差，飛行后段的速度方向基本調(diào)整至彈目視線方向，因此由0ε引起的過載在飛行后段過載指令中所占比重較小。

圖3 無量綱過載指令曲線Fig.3 Dimensionless Overload Instruction Curve

假設(shè)飛行器按1500 m/s的速度飛行，飛行器初始航向角θ0=0°，飛行器初始位置(x, y )= ( 0,30) km，目標(biāo)靜止。取不同的制導(dǎo)階次，對(duì)彈道形式進(jìn)行計(jì)算仿真，得到的彈道形式如圖4所示。

當(dāng) n越大，由Fq引起的過載指令占比越大，在飛行前段會(huì)使用更多的過載指令來滿足傾角約束條件；在飛行后段由Fq引起的過載指令也會(huì)逐漸減小，過載指令緩慢變化減到零值。

3.2 制導(dǎo)權(quán)系數(shù)對(duì)彈道影響

圖4 不同末端傾角約束下的飛行彈道隨制導(dǎo)階次變化曲線Fig.4 Trajectory with Multiple Guidance Order under Different Impact Angle Constrains

由圖4可得到：

a）在相同的Fq條件下，隨著制導(dǎo)階次n增加，傾角約束權(quán)系數(shù)2N變大，傾角約束項(xiàng)過載指令更大，使初始段產(chǎn)生較大加速度，將彈道拉高，因此在初始時(shí)刻彈道形態(tài)會(huì)劇烈地變化；

b）在末制導(dǎo)初始階段，可以通過降低制導(dǎo)階次n控制彈道爬升，以減小傾角約束項(xiàng)權(quán)系數(shù)對(duì)彈道形態(tài)的影響。

4 末段制導(dǎo)策略設(shè)計(jì)

利用第1節(jié)推導(dǎo)的最優(yōu)制導(dǎo)律，進(jìn)行末制導(dǎo)策略設(shè)計(jì)。該飛行段需要進(jìn)行較大范圍機(jī)動(dòng)飛行，攻角和速度變化較大，為了保證最終命中精度，同時(shí)滿足末端角度約束條件，縱向選用多約束最優(yōu)制導(dǎo)律，并加入重力補(bǔ)償項(xiàng)，慣性坐標(biāo)系下指令形式為

當(dāng)制導(dǎo)階次n增加時(shí)，2N所占比重增大，飛行器以較大過載來修正飛行器相對(duì)于期望值Fq的速度角偏差，從而降低接近目標(biāo)時(shí)的需用過載；然而制導(dǎo)階次過大會(huì)使得制導(dǎo)權(quán)系數(shù)過大，間接降低了制導(dǎo)系統(tǒng)抑制信息噪聲的能力，導(dǎo)致命中精度降低。基于上述分析，為了滿足傾角約束和命中精度的要求，經(jīng)過試驗(yàn)論證，取n=2，權(quán)系數(shù)1N=4，2N=2。

側(cè)向采用純比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，慣性坐標(biāo)系下指令表達(dá)式為

對(duì)基于多約束條件下的最優(yōu)制導(dǎo)策略進(jìn)行末段的數(shù)學(xué)仿真校驗(yàn)，給出關(guān)于攻角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角及速度傾角的仿真曲線如圖5所示，飛行器采用BTT-180控制方式，彈身滾轉(zhuǎn)使其最大升力面轉(zhuǎn)至機(jī)動(dòng)平面，以實(shí)現(xiàn)末段的快速下壓。

圖5 末段攻角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角及速度傾角變化曲線Fig.5 Angle of Attack, Angle of Side Slip, Roll Angle and Velocity Path Angle Curve

由圖5可知，末段下壓段，由于采用BTT-180控制方式，所以下壓段滾轉(zhuǎn)角超過180°，飛行器正攻角飛行，且最終收斂至零附近。對(duì)于側(cè)向通道而言，為實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎，降低導(dǎo)彈飛行過程中的氣動(dòng)力耦合，全程側(cè)滑角小于3°，以增強(qiáng)導(dǎo)彈的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎能力。下壓段速度傾角逐漸減小，末端傾角值為-76.53°，滿足傾角約束條件。

圖6給出了彈體系下縱向和側(cè)向加速度指令跟蹤情況，飛行器過載輸出以及對(duì)指令跟蹤效果較好，有利于飛行器BTT協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎飛行保證其命中精度要求。在最優(yōu)制導(dǎo)策略下，減小了需用過載，實(shí)現(xiàn)了末端過載接近于零的設(shè)計(jì)需求，保證以小攻角擊中目標(biāo)。

圖6 縱向及側(cè)向加速度指令跟蹤曲線Fig.6 Vertical and Lateral Acceleration Command Tracking Curve

圖7 給出了飛行器在末制導(dǎo)段運(yùn)動(dòng)的三維軌跡圖。

圖7 飛行器末段三維彈道Fig.7 Terminal Three Dimensional Trajectory

仿真結(jié)果表示該制導(dǎo)律成功導(dǎo)引至目標(biāo)位置處，末段基本上基于縱向平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，計(jì)算脫靶量為2.21 m，滿足命中精度的要求。

5 結(jié) 論

為實(shí)現(xiàn)多約束條件下飛行器末段侵徹攻擊任務(wù)，本文將最優(yōu)控制理論與工程應(yīng)用緊密結(jié)合，通過將剩余飛行時(shí)間冪函數(shù)引入性能指標(biāo)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，通過制導(dǎo)律特性分析及數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性，滿足了過載需求、傾角約束和命中精度要求，提高了工程適用性。多約束條件下的最優(yōu)制導(dǎo)策略設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)武器末段突防的前提和保證，對(duì)實(shí)現(xiàn)地面高價(jià)值目標(biāo)的打擊與摧毀具有重要工程應(yīng)用價(jià)值。