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        一類分?jǐn)?shù)階濾波器逼近階次的選擇

        2010-06-06 10:02:12趙慧敏李文鄧武
        關(guān)鍵詞:頻率特性幅頻特性階次

        趙慧敏, 李文, 鄧武

        (大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院,遼寧 大連 116028)

        0 引言

        機(jī)車減振系統(tǒng)對(duì)列車的運(yùn)行性能、乘車舒適度等方面起著重要的作用。然而,也正是由于減振降噪措施的引入,不可避免地使?fàn)恳姍C(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)變得更加復(fù)雜。例如,由于減振材料或裝置的粘彈性或耗能特性,系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性變得無法忽略。分?jǐn)?shù)階控制除了對(duì)復(fù)雜被控對(duì)象具有更好的控制特性和靈活的參數(shù)調(diào)節(jié)能力外,在交流電機(jī)振動(dòng)抑制中也起著一定的積極作用[1-3]。因此,為提高牽引電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)減振降噪性能,拓展傳統(tǒng)的整數(shù)階、確定性分析方法,研究牽引電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制具有實(shí)際意義。

        一個(gè)含有分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),在建立或?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)的過程中,分?jǐn)?shù)階算子通常是用一個(gè)整數(shù)階多項(xiàng)式或有理分式來逼近的,其逼近精確度直接影響分?jǐn)?shù)階控制性能的優(yōu)劣。為此,研究者們提出了多種分?jǐn)?shù)階算子的逼近方法,取得了越來越好的逼近效果[4]。然而,在這些研究中,對(duì)逼近精確度與逼近模型階次之間關(guān)系的討論卻不多見。一般來說,逼近模型的階次越高,逼近精確度就越高。但是,當(dāng)階次達(dá)到一定值后,逼近精確度的提高隨階次的提高不再明顯,因此了解逼近精確度與逼近階次之間的關(guān)系,對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)有著具體的指導(dǎo)意義。

        本文在討論Oustaloup曲線擬合法[5]對(duì)分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行有理分式逼近方法的基礎(chǔ)上,對(duì)分?jǐn)?shù)階濾波器Qα(s)有理分式逼近階次選擇與逼近精確度之間的關(guān)系進(jìn)行研究。對(duì)比不同分?jǐn)?shù)階次和不同逼近階次下,逼近模型與理想模型的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次與逼近精確度的關(guān)系,并由此來確定最佳逼近階次。

        1 分?jǐn)?shù)階濾波器

        分?jǐn)?shù)階濾波器的特點(diǎn)是濾波器的階次α可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)選擇,即α∈R。分?jǐn)?shù)階濾波器使得傳統(tǒng)濾波器的階次由分級(jí)可調(diào)(α只能取整數(shù))變?yōu)檫B續(xù)可調(diào)(α可以取實(shí)數(shù))。濾波器階次的調(diào)節(jié)變得靈活和細(xì)膩,從而能夠更好地滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求,解決了傳統(tǒng)干擾觀測(cè)器在相角裕度損失和低頻振動(dòng)抑制能力之間的矛盾。

        設(shè)一類分?jǐn)?shù)階低通濾波器為

        由于任意一個(gè)實(shí)數(shù)總可以分為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)小于等于1的實(shí)數(shù)之和的形式,故假設(shè)α∈[0,1],式(1)對(duì)應(yīng)的Bode圖如圖1所示。由圖1可知,分?jǐn)?shù)階濾波器的Bode圖曲線介于相鄰的兩個(gè)整數(shù)階曲線之間,再一次說明了分?jǐn)?shù)階濾波器在階次選擇上具有更大的靈活性。

        圖1 分?jǐn)?shù)階Q濾波器Bode圖Fig.1 Bode chart of fractional Q filter

        在設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階濾波器時(shí),常數(shù)τ(或帶寬ωq)和分?jǐn)?shù)階次α是2個(gè)重要參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中,帶寬通常是可以事先確定的,因此,分?jǐn)?shù)階濾波器的設(shè)計(jì)就變成了對(duì)分?jǐn)?shù)階次α的確定問題。α參數(shù)是通過綜合干擾抑制能力和魯棒穩(wěn)定性來具體確定的[6]。

        2 分?jǐn)?shù)階微積分算子的逼近

        當(dāng)分?jǐn)?shù)階次α被綜合確定后,分?jǐn)?shù)階濾波器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)即分?jǐn)?shù)階濾波器的離散化是需要考慮的主要問題。然而,分?jǐn)?shù)階濾波器是基于分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的,與傳統(tǒng)整數(shù)階有很大的不同,需要采取一些特殊的方法來處理。

        2.1 分?jǐn)?shù)階微積分算子離散化

        分?jǐn)?shù)階微積分算子的離散化可分為直接離散化與間接離散化2種方法。直接離散化方法首先通過生成函數(shù)s=ω(z-1)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子s±r(r∈R)進(jìn)行變換,在離散時(shí)間域Z中得到一個(gè)無理函數(shù)ω±r(z-1);之后,用一個(gè)有限階次的有理函數(shù)對(duì)其進(jìn)行逼近[7]。冪級(jí)數(shù)和連分式展開是在實(shí)現(xiàn)有理化處理時(shí)常用的方法。間接離散化方法包括2個(gè)步驟:一是建立與連續(xù)時(shí)間域相匹配的頻域傳遞函數(shù),其本質(zhì)上是一個(gè)逼近或近似的過程;二是對(duì)所得到的S域傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化。研究表明,用多項(xiàng)式逼近某些函數(shù)的效果不如用有理函數(shù)逼近的效果好[8];并且由于連分式展開法并不能確保離散化模型能保持原分?jǐn)?shù)階模型的穩(wěn)定性,且在實(shí)現(xiàn)精確度上不是很理想[9],多采用有理函數(shù)逼近的方法來實(shí)現(xiàn)。有理函數(shù)逼近方法有很多優(yōu)點(diǎn),如可以對(duì)未知的信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分等,它克服了連分式所帶來的缺點(diǎn),且逼近效果較好。A Oustloup等人分別提出了相應(yīng)的方法[5],取得了很好的逼近效果。

        2.2 Oustaloup算法

        Oustaloup算法[5]是在對(duì)復(fù)數(shù)階次微分器的研究為基礎(chǔ)得來的,對(duì)于復(fù)變傳遞函數(shù) G(s)=,令β=0,去掉高、低頻部分,選定擬合頻率段為[ωb,ωh],則復(fù)變傳遞函數(shù)可用一個(gè)頻帶有限制的傳遞函數(shù)來表示,為

        式中:C0=ωb/ωu=ωu/ωh;ωu=(ωbωh)1/2。則式(2)又可改寫為

        式(3)是一個(gè)無理函數(shù),Oustaloup算法采用有理函數(shù)級(jí)聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)對(duì)式(3)的逼近。級(jí)聯(lián)的有理函數(shù)為

        式(4)可以看作一個(gè)IIR型濾波器,其階次n=2N+1,且n越大逼近精確度越高。以分?jǐn)?shù)階微分s0.5為例,簡(jiǎn)要說明Oustaloup算法的基本思想。設(shè)ωb=0.01 rad/s,ωh=100 rad/s,當(dāng) N=0,1,2,即濾波器階次n(在此又稱逼近階次)分別為1,3,5時(shí),對(duì)應(yīng)的IIR濾波器傳遞函數(shù)表達(dá)式分別為

        式(6)~式(8)對(duì)應(yīng)的幅頻特性和相頻特性如圖2所示。由圖2可以看出,在設(shè)定頻段內(nèi),不同逼近階次對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子s0.5的逼近效果。

        圖2 不同逼近階次下的特性比較Fig.2 Comparison of property under different approximation order

        當(dāng)逼近階次n=1時(shí),逼近誤差很大,當(dāng)逼近階次n=5時(shí),無論幅頻特性還是相位特性都能較好地逼近s0.5的特性。從理論上講,逼近階次n越高,逼近精確度就越高。但當(dāng)階次達(dá)到某一值后,逼近精確度與逼近階次不再成比例提高,過高的逼近階次在實(shí)際中是沒有意義的,應(yīng)折中考慮逼近精確度與系統(tǒng)綜合性能的關(guān)系。

        2.3 逼近階次的選擇

        設(shè)所要實(shí)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)階低通濾波器Qα(s)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

        對(duì)式(9)運(yùn)用Oustaloup算法進(jìn)行有理函數(shù)逼近處理。設(shè)逼近頻段為[ωb,ωh],取ωb=式(9)可以表示為

        式(10)是一個(gè)無理函數(shù),用一個(gè)有理函數(shù)級(jí)聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)對(duì)式(10)的逼近,為

        則式(5)變化為

        式(11)給出的有理分式逼近模型的階次n(亦即IIR型濾波器的階次)對(duì)逼近效果有很大的影響[6]。

        設(shè)在頻段[100,10000]內(nèi)進(jìn)行逼近,分?jǐn)?shù)階次α =0.2,0.4,0.6,0.8,逼近階次 n=1,3,5,7。通過計(jì)算逼近模型與式(9)的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次n與逼近精確度的關(guān)系,來確定最佳逼近階次。

        幅頻特性誤差與相頻特性誤差分別為

        對(duì)不同分?jǐn)?shù)階次α和逼近模型階次n,利用Matlab進(jìn)行編程,可以得到對(duì)數(shù)幅、相頻率特性曲線如圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)所示。不同分?jǐn)?shù)階次及逼近階次情況下,幅頻特性和相頻特性的逼近誤差可由式(13)和式(14)計(jì)算得到,對(duì)應(yīng)的誤差曲線如圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)、圖6(b)所示。圖3~圖6的頻率特性及逼近誤差曲線的比較表明,當(dāng)逼近階次n=5時(shí),對(duì)不同的分?jǐn)?shù)階次α,無論是幅頻特性,還是相頻特性都能很好地逼近實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器的頻率特性。

        表1和表2分別給出了在不同分?jǐn)?shù)階次α和逼近階次n下,有理分式逼近模型式(11)的幅、相頻特性曲線與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器式(9)的幅、相頻率特性在逼近頻段內(nèi)的絕對(duì)誤差平均值,計(jì)算公式為

        式中:ω0=ωb;ωH=ωh。

        平均值越小說明逼近精確度越高。通過定量計(jì)算,進(jìn)一步驗(yàn)證了當(dāng)n=5時(shí),幅頻特性絕對(duì)誤差平均值小于0.027 dB,相頻特性絕對(duì)誤差平均值小于0.16°,達(dá)到了比較滿意的逼近效果。由表1和表2還可以看出,用于逼近分?jǐn)?shù)階濾波器的有理分式逼近模型的階次n<5時(shí),隨著逼近階次n的提高,幅、相頻率特性的絕對(duì)誤差平均值迅速減小,如圖7所示。雖然n=7時(shí)誤差也在減小,但其變化幅度已明顯下降。隨著逼近階次的提高,系統(tǒng)的零、極點(diǎn)增多,增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性,同時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能、運(yùn)算復(fù)雜性及實(shí)時(shí)控制等方面都會(huì)帶來一些不利因素。因此,當(dāng)采用式(11)來逼近具有式(9)形式的分?jǐn)?shù)階濾波器時(shí),其最佳逼近階次n為5。

        圖3 當(dāng)α=0.2,n=1,3,5,7時(shí)的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.3 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.2,n=1,3,5,7)

        圖4 當(dāng)α=0.4,n=1,3,5,7時(shí)的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.4 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.4,n=1,3,5,7)

        圖5 當(dāng)α=0.6,n=1,3,5,7時(shí)的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.5 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.6,n=1,3,5,7)

        圖6 當(dāng)α=0.8,n=1,3,5,7時(shí)的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.6 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.8,n=1,3,5,7)

        圖7 隨n和α變化的幅、相誤差關(guān)系圖Fig.7 Amplitude and phase error diagram changing with n and α

        表1 逼近模型與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器幅頻特性絕對(duì)誤差平均值Table 1 The average of absolute error of amplitude-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

        表2 逼近模型與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器相頻特性絕對(duì)誤差平均值Table 2 The average of absolute error of phase-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

        3 結(jié)語(yǔ)

        通過對(duì)Oustaloup算法進(jìn)行仿真分析及逼近誤差計(jì)算,給出了在選定頻段內(nèi),在不同分?jǐn)?shù)階階次α及逼近階次n情況下的幅、相頻特性曲線,幅值、相位絕對(duì)誤差平均值隨α、n變化的柱狀圖。研究結(jié)果表明,在不同分?jǐn)?shù)階次α下,逼近模型的階次n<5時(shí),逼近誤差隨著逼近階次的提高而迅速減小;當(dāng)n>5后,誤差隨階次提高而減小的程度明顯下降??紤]到逼近階次越高,引入的零、極點(diǎn)也越多、運(yùn)算量也越大,不利于實(shí)時(shí)控制及系統(tǒng)特性改善,因此在應(yīng)用Oustaloup算法對(duì)分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行離散化時(shí),其最佳的逼近階次為5。

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