周荻， 朱東方

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

多運(yùn)動(dòng)軸或多驅(qū)動(dòng)器間的運(yùn)動(dòng)同步問題，在現(xiàn)代制造工藝的發(fā)展過程中越來越多地引起人們的關(guān)注。Koren［1］首次提出了交叉耦合的概念解決運(yùn)動(dòng)同步問題。Rodriguez Angles等［2］采用一種反饋控制加非線性觀測(cè)器的耦合同步控制策略實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的位置同步控制。Sun Dong和 Liu 等［3－5］利用 Lyapunov 設(shè)計(jì)方法得到了一種自適應(yīng)交叉耦合同步控制器，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)機(jī)械臂的同步操縱和多個(gè)運(yùn)動(dòng)軸之間的同步運(yùn)動(dòng)控制。Shan Jinjun等［6］針對(duì)由多個(gè)三自由度直升機(jī)構(gòu)成的系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于模型的交叉耦合同步控制器，取得了很好的同步效果。Sun Dong等［7］提出了一種無模型交叉耦合同步跟蹤控制策略實(shí)現(xiàn)了多運(yùn)動(dòng)軸的位置同步。曹玲芝等［8］基于相鄰交叉耦合對(duì)多感應(yīng)電機(jī)設(shè)計(jì)了滑模同步控制器，該控制器具有很好的同步性和魯棒性。以上研究成果中的被控對(duì)象均為全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，得到的相應(yīng)控制策略無法直接挪用到欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步控制問題中。

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是控制輸入數(shù)目少于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)，即利用較少數(shù)目的控制量來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制，在簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，降低系統(tǒng)復(fù)雜程度，節(jié)省能量和裝置重量的方面，具有很大的優(yōu)勢(shì)。然而對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步控制研究還較少，而且研究成果主要是針對(duì)具體的被控對(duì)象。Zhou Di等［9］分別采用同步誤差積分引入線性二次型性能指標(biāo)的方法和Backstepping方法，設(shè)計(jì)了開環(huán)和閉環(huán)操縱航天器回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)雙轉(zhuǎn)子控制力矩陀螺的同步控制律。Tsai等［10］針對(duì)并行雙倒立擺同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在設(shè)計(jì)了兩個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定控制器后，設(shè)計(jì)了同步運(yùn)動(dòng)控制器，使兩個(gè)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)達(dá)到同步。本文針對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，研究其同步控制器的設(shè)計(jì)方法。

1 同步誤差

考慮欠驅(qū)動(dòng)同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)由n個(gè)獨(dú)立的欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)構(gòu)成，用qi代表第i個(gè)子系統(tǒng)的廣義位置坐標(biāo)。當(dāng)?shù)趇個(gè)子系統(tǒng)跟蹤指令信號(hào)qdi時(shí)，定義相應(yīng)位置誤差為ei=qi－qdi，i=1，2，…，n，可利用文獻(xiàn)［3］中定義的同步函數(shù)求取相應(yīng)的同步誤差。同步誤差反映了各子系統(tǒng)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)軸間的運(yùn)動(dòng)的不同步程度。對(duì)于同步誤差也可以定義為一個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軸與其相鄰的子系統(tǒng)的相應(yīng)運(yùn)動(dòng)軸間位置誤差的線性組合［5］，寫成矩陣的形式為

同步控制策略最終目標(biāo)是達(dá)到e1=…=en=0，因此設(shè)計(jì)的控制器需保證位置誤差e和同步誤差ε均趨近于零。由位置誤差和同步誤差構(gòu)造耦合位置誤差為

其中:I為單位矩陣;α為選定的對(duì)角型正實(shí)增益矩陣。α的大小直接關(guān)系到同步控制效果的好壞，α越大系統(tǒng)的同步性能越好。由式(2)可知，當(dāng)e*→0時(shí)，有e→0成立，進(jìn)而由式(1)得到ε→0，此時(shí)系統(tǒng)具有較好的同步協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)性能。文獻(xiàn)［3］中定義位置同步誤差積分 與位置誤差的和作為耦合位置誤差，設(shè)計(jì)了同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制器，雖然該控制器能夠保證位置同步誤差最終趨于零，但當(dāng)耦合位置誤差趨于零時(shí)，此時(shí)位置同步誤差并不一定等于零，而系統(tǒng)有可能繼續(xù)做協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，從而無法保證系統(tǒng)同步協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬態(tài)性能。

2 同步控制器

研究的一類欠驅(qū)動(dòng)Lagrangian同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可統(tǒng)一描述，其中第i個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為［11］

其中:Mi(qi)表示系統(tǒng)的正實(shí)慣性矩陣;Ci(qi)代表科里奧利力和向心力的矩陣;Gi(qi)代表重力的矩陣，qi∈Rn代表系統(tǒng)的廣義位置坐標(biāo)，ui∈R為系統(tǒng)輸入。由系統(tǒng)慣性矩陣Mi(qi)的正實(shí)性的性質(zhì)，在式(3)兩邊均左乘(qi)整理可得

由式(5)可以得到系統(tǒng)(3)跟蹤指令信號(hào)qdi時(shí)的誤差狀態(tài)方程為

其中

針對(duì)這一類欠驅(qū)動(dòng)Lagrangian系統(tǒng)，Hao Yinxing等［12］采用了一種遞階滑模變結(jié)構(gòu)控制策略設(shè)計(jì)了其魯棒穩(wěn)定控制器。這里采用遞階滑模變結(jié)構(gòu)的思想設(shè)計(jì)同步控制器。根據(jù)式(2)耦合誤差的構(gòu)造方法，設(shè)計(jì)第一級(jí)滑模面

其中，c1和c2為符號(hào)相同的常數(shù)。

進(jìn)而由第一層滑模面構(gòu)造第二級(jí)滑模面

其中c3為常數(shù)。同樣可以依次構(gòu)造滑模面，直至系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都包含在滑模面中。第j層滑模面為sj=cj+1+sj－1。在系統(tǒng)(6)中有 2n 個(gè)狀態(tài)變量，所以其最后一級(jí)滑模面為s2n－1。

對(duì)系統(tǒng)(6)定義其Lyapunov函數(shù)

式(9)對(duì)t求導(dǎo)可得

根據(jù)式(10)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滑?？刂破?/p>

其中:K>0;ηk=2ηk－1;η1為正常數(shù);

滑?？刂坡?11)保證系統(tǒng)滿足到達(dá)條件，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量在滑模面上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)最后一層滑模面s2n－1趨近于零時(shí)，ui中包含 s2n－1的控制項(xiàng)消失，從而控制律(11)簡化為滑模面s2n－2的等價(jià)控制和切換控制，進(jìn)一步使s2n－2趨近于零，依次使沿著各層滑模面的運(yùn)動(dòng)完成，直到s1最終也趨近于零。

定理1 采用滑?？刂坡?11)時(shí)，系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的，且其位置誤差以及同步誤差漸近趨近于零，即當(dāng) t→∞ 時(shí)，ei→0 和 εi→0。

證明:對(duì)式(10)兩邊積分，并將式(11)代入得

根據(jù)ηk的定義可得

Vj(t)對(duì)t求導(dǎo)可得

由控制律(11)得

根據(jù)ηk的定義可得

從而可進(jìn)一步得到不等式

式(16)可以描述為

對(duì)式(19)兩邊積分可得

3 實(shí)例研究

3.1 兩部倒立擺裝置的同步控制實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的同步控制器的有效性，對(duì)由兩部一級(jí)倒立擺裝置構(gòu)成的實(shí)際實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)［10］進(jìn)行了實(shí)時(shí)同步控制實(shí)驗(yàn)。對(duì)于一級(jí)倒立擺系統(tǒng)建立其數(shù)學(xué)模型為

圖1 未采用同步策略獨(dú)立跟蹤控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 The experimental response without synchronization control scheme

其中:M為小車質(zhì)量(M=1.37 kg);m為擺桿質(zhì)量(m=0.107 kg);l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度(l=0.25 m);g為重力加速度(g=9.82 m/s2);u為加在小車上的作用力;x代表小車位置;φ代表擺桿與垂直向上方向的夾角。

圖2 采用比例耦合同步控制策略實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 The experimental response with proportion coupling synchronization control scheme

圖3 采用積分耦合同步控制策略實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 The experimental response with integral coupling synchronization control scheme

從圖1可以看出，采用獨(dú)立跟蹤控制時(shí)雖然能夠滿足每個(gè)裝置的跟蹤性能，但存在較大的同步誤差，小車位置同步誤差峰值達(dá)73.7 mm，擺角同步誤差峰值達(dá)4.5°。圖2顯示采用比例耦合同步控制器時(shí)同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)不僅滿足跟蹤性能要求，而且具有較小的同步誤差，小車位置同步誤差峰值小于28.3 mm，擺角同步誤差峰值小于2.1°。比較圖2(c)～2(d)和圖3(c)～3(d)可以看出，所設(shè)計(jì)的比例耦合同步控制器的同步性能優(yōu)于積分耦合同步控制器的小車同步誤差峰值31.4 mm和擺角同步誤差峰值3.6°的性能。

3.2 4部倒立擺裝置的同步控制仿真

進(jìn)一步對(duì)4部倒立擺裝置的同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行同步控制研究，同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是由ADAMS軟件搭建的虛擬物理模型。為了更接近實(shí)際物理模型，在小車和導(dǎo)軌之間加入摩擦力，其中靜態(tài)摩擦系數(shù)設(shè)定為0.1 N·s/m，動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)為0.05 N·s/m。小車的跟蹤指令信號(hào)為幅值100 mm，周期為20 s的方波信號(hào)。根據(jù)2節(jié)同步控制器設(shè)計(jì)過程，結(jié)合倒立擺裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)，選取具體的參數(shù)為c1=－1.2，c2= － 1，c3=3.5，c4=1，K=0.5，η1=0.05，α=5I4(I4為單位矩陣)。為了測(cè)試系統(tǒng)性能，在15 s對(duì)倒立擺裝置1的小車施加脈沖干擾。圖4為采用獨(dú)立跟蹤控制時(shí)系統(tǒng)的仿真結(jié)果(α=0)。圖5為采用本文所設(shè)計(jì)的比例耦合同步控制策略時(shí)的仿真結(jié)果。圖6為采用積分耦合同步控制策略時(shí)的仿真結(jié)果，其中，β=10I4(I4為單位矩陣)。

圖4顯示采用獨(dú)立跟蹤控制時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤性能雖然可以滿足，但無法保證整個(gè)系統(tǒng)的同步性能，小車位置同步誤差峰值達(dá)143 mm，擺角同步誤差峰值達(dá)6.2°。從圖5可以看出，采用本文所設(shè)計(jì)的比例耦合同步控制器時(shí)，不僅保證了系統(tǒng)的跟蹤性能，而且系統(tǒng)的同步性能也得到了改善，小車位置同步誤差峰值小于39.3 mm，擺角同步誤差峰值小于1.4°。比較圖5(c)～5(d)和圖6(c)～6(d)可以看出，比例耦合同步控制器的同步性能優(yōu)于積分耦合同步控制器的小車同步誤差峰值45.5 mm和擺角同步誤差峰值5°的性能，同步協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)性能更好。

圖4 未采用同步策略獨(dú)立跟蹤控制仿真結(jié)果Fig.4 The simulation result without synchronization control method

圖5 采用比例耦合同步控制策略仿真結(jié)果Fig.5 The simulation result with proportion coupling synchronization control scheme

圖6 采用積分耦合同步控制策略仿真結(jié)果Fig.6 The simulation result with integral coupling synchronization control scheme

4 結(jié)語

針對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)Lagrangian系統(tǒng)定義位置誤差加位置同步誤差作為新的狀態(tài)變量引入到遞階滑?？刂破髦?，設(shè)計(jì)了一種交叉耦合位置同步控制器。所研究的同步控制器適用于多個(gè)(n≥2)單驅(qū)動(dòng)輸入欠驅(qū)動(dòng)Lagrangian系統(tǒng)的同步控制。將該同步控制器應(yīng)用到對(duì)由兩部倒立擺裝置的同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)和對(duì)由四部倒立擺裝置的同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)，均獲得了滿意的同步控制效果。所設(shè)計(jì)的同步控制器在控制同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)時(shí)能達(dá)到很好的同步性能，且可保證系統(tǒng)對(duì)指令信號(hào)的精確跟蹤，同時(shí)具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

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