朱和民

摘? 要：該文從研究微分推導(dǎo)中含?項(xiàng)的意義，提出含?項(xiàng)的意義是平均增加速度，切線和法線是曲線上連續(xù)三點(diǎn)組成三角形的內(nèi)外角平分線。在證明積分時，提出將積分求面積問題轉(zhuǎn)化為求體積問題或轉(zhuǎn)化為求平均高問題等新算法進(jìn)行證明，在證明過程中不再需要用到趨于零不為零和黎曼和的約等于就是等于等邏輯自相矛盾的概念，證明過程更符合數(shù)學(xué)邏輯、更簡潔準(zhǔn)確。

關(guān)鍵詞：微分? 平均增加速度? 積分? 平均高度

中圖分類號：O172 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）04（c）-0197-04

微分自創(chuàng)立之日至現(xiàn)在一直沒有闡明含?項(xiàng)的意義，含?項(xiàng)的意義不清楚就無法準(zhǔn)確解釋為什么在求導(dǎo)時要將其消去。在證明積分時黎曼和求得的面積是明明是約等于，而最后的結(jié)果又是等于。這些邏輯自相矛盾的證明是不嚴(yán)密的，歷代數(shù)學(xué)家們雖然提出很多晦澀繁雜的論證，但是在運(yùn)算時依然得使用這些自相矛盾的概念。比如在求導(dǎo)時，一邊念叨著含?項(xiàng)不為零，一邊又把它們當(dāng)作零消去，每一次求導(dǎo)都是對求導(dǎo)者邏輯的折磨。該文從微分和積分起源論證微分和積分的邏輯缺陷，并提出新計(jì)算方法對微分和積分進(jìn)行證明。

1? 微積分的起源及其邏輯缺陷

微分的起源有兩個，一是牛頓求時點(diǎn)速度，另一為萊布尼茨求切線。它們的論證過程出現(xiàn)相悖的邏輯問題，自創(chuàng)立之日就引起巨大的爭議，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，且持續(xù)數(shù)百年不斷。

1.1 從速度角度對微分的證明

1.1.1 牛頓通過求時點(diǎn)速度推導(dǎo)微分

微分起源之一為牛頓求時點(diǎn)速度，速度等于距離除時間，時點(diǎn)的距離和時間長度是零，零除零是沒有意義的，無法直接用距離除時間求得時點(diǎn)速度。為了求時點(diǎn)速度，牛頓提出流數(shù)理論。例如，作自由落體物體為勻變速直線運(yùn)動，其距離方程為s=s（t）（s表示位移，t表示時間），求物體在t時點(diǎn)速度Vt。由于在t時點(diǎn)，距離和時長為零，無法求出t時點(diǎn)速度Vt。牛頓的思路是先求得t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)時段的平均速度，當(dāng)時間間隔?t無限小時，?t時段內(nèi)速度的變化會極小，可以用其代表t時點(diǎn)的速度，即當(dāng)?t→0時。例如初速為零的自由落體運(yùn)動公式，?t時段平均速度。當(dāng)?t→0時，?t等于零，所以t時點(diǎn)速度v=gt。

1.1.2 牛頓求微分過程的邏輯缺陷

牛頓在求時點(diǎn)速度推導(dǎo)微分過程中，當(dāng)?t作除數(shù)時，?t不為零，在求最后結(jié)果時又讓含?t項(xiàng)作為零消去。在同一運(yùn)算過程中?t一時不為零，一時又要作為零消去的推導(dǎo)過程，存在自相矛盾的邏輯缺陷，曾引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

1.1.3 牛頓求微分的悖論：自由落體運(yùn)動為勻速運(yùn)動。

牛頓為求t時點(diǎn)速度，求s'得到s'=gt+?t，當(dāng)?t→0時，求其極限，把含有?t的?t消去，得到式子Vt=gt，進(jìn)而得出時點(diǎn)速度公式（即導(dǎo)數(shù)）公式V=gt。牛頓推導(dǎo)過程存在邏輯問題，從理論上講t時點(diǎn)和t+?t時點(diǎn)均有一個速度，而自由落體運(yùn)動為勻速運(yùn)動，gt+?t無限接近t時點(diǎn)速度同時也會同等接近t+?t時點(diǎn)速度，如果gt+?t能代替t時點(diǎn)速度，也能代替t+?t時點(diǎn)速度，t時點(diǎn)和t+?t時點(diǎn)將會相等的悖論。把時間t把代入求得t時點(diǎn)速度vt=gt，把時間t+?t代入求出t+?t時點(diǎn)的速度Vt+?t=g（t+?t）=gt+g?t，而?t→0，同理也應(yīng)將g?t消去，求得t+?t時點(diǎn)速度Vt+?t=gt，而Vt+?t=gt=Vt，兩者速度相等，依此類推，Vt+n=gt=Vt（n為任意時點(diǎn)），這就意味著自由落體運(yùn)動任意時點(diǎn)速度均相等是勻速運(yùn)動的悖論。

1.1.4 牛頓的證明存在邏輯矛盾而結(jié)果卻正確的原因

牛頓目標(biāo)是求t時點(diǎn)的速度，而運(yùn)算求得的是t時點(diǎn)至t+?t時點(diǎn)時間間隔內(nèi)（即?t時間段內(nèi)）平均速度，?t時間段內(nèi)平均速度與t時點(diǎn)的速度是不相等的，要求得t時點(diǎn)的速度，要將平均速度gt+?t減去平均速度與t時點(diǎn)的速度之差?t。這就是為什么牛頓邏輯錯誤而結(jié)果正確的原因。

對于勻變速運(yùn)動，除了用位移除時間求平均速度外，還可以用兩點(diǎn)速度之和除2方法求得，用此方法求得的速度公式就不存在糾結(jié)?t是否為零的問題。靜止物體從高處自由落下，其距離公式為，初速度v0=0，t時點(diǎn)速度Vt，t時段內(nèi)平均速度，物體距離公式也可以用平均速度乘上時間表示，即s=，，所以公式，約簡后得到速度公式vt=at。

1.1.5 含?t項(xiàng)式子的意義

在微分推導(dǎo)過程中，只是一味將含?t項(xiàng)當(dāng)作垃圾項(xiàng)消去，從未闡明含?t項(xiàng)的意義，只有闡明含?t項(xiàng)的意義，才能真正論證清楚為什么要將含?t項(xiàng)消去。我們依然以自由落體為例來論證，對求導(dǎo)則有，的意義是質(zhì)點(diǎn)在?t時間段運(yùn)動過的距離?s除時間?t，它的意義就是質(zhì)點(diǎn)在?t時段內(nèi)的平均速度，而?t的意義是質(zhì)點(diǎn)在t時點(diǎn)的速度，g?t的意義是在?t時段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)因增加?t時間而增加的速度平均數(shù)，即平均增加速度。

假設(shè)距離與時間存在如下關(guān)系s=t3，則質(zhì)點(diǎn)在?t時段平均速度，則3t2+3t?t+?t2為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)平均速度，3t2為t點(diǎn)速度，3t?t+?t2為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均增加速度。根據(jù)時點(diǎn)速度公式v=3t2，將t+?t代入可以求得t+?t時點(diǎn)速度Vt+?t=3t2+6t?t+3?t2。當(dāng)然我們也可以根據(jù)v=3t2求得在?t時段內(nèi)，在何時點(diǎn)達(dá)到平均速度3t2+3t?t+?t2。求法如下：假設(shè)在x時點(diǎn)達(dá)到平均速度，則有3x2=3t2+3t?t+?t2，解方程求得x=。假設(shè)在t+x時點(diǎn)達(dá)到平均速度則有3（t+x）2=3t2+3t?t+?t2，解方程得x=-t。依此類推，假設(shè)距離與時間存在如下關(guān)系s=tn，則質(zhì)點(diǎn)在?t時段平均速度含?t項(xiàng)，則ntn-1+含?t項(xiàng)為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均速度，ntn-1為t點(diǎn)速度，含?t項(xiàng)為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均增加速度。含?項(xiàng)的意義就是因自變量時間t變化?t時間導(dǎo)致平均增加速度的變化。