田麗云 董春玲

摘? 要： 為有效抑制傳染病的傳播，采用演化博弈理論研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中初始疫苗接種免疫節(jié)點(diǎn)對(duì)傳染病傳播和個(gè)體疫苗接種策略學(xué)習(xí)的影響。在三個(gè)無權(quán)無向的網(wǎng)絡(luò)中，利用5種初始免疫節(jié)點(diǎn)選擇方法進(jìn)行了SIR傳染病模型傳播和博弈策略學(xué)習(xí)的實(shí)驗(yàn)仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在接種疫苗費(fèi)用相同的情況下，有策略的選擇初始免疫節(jié)點(diǎn)不僅促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體疫苗接種策略的學(xué)習(xí)，而且對(duì)傳染病的傳播速度和擴(kuò)散規(guī)模都有一定抑制作用。

關(guān)鍵詞： 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò); 初始疫苗接種節(jié)點(diǎn); 演化博弈; SIR模型

中圖分類號(hào)：TP393? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2019）04-21-05

Abstract： In order to effectively inhibit the spread of infectious diseases， the influence of initial vaccination nodes on the spreading of diseases and individual vaccination strategy in complex networks is studied by evolutionary game theory. Five initial immune node selection methods are used to simulate SIR epidemic model propagation and game strategy learning in three weightless and undirected networks. Experimental results show that under the same vaccination cost， the strategic choice of initial immune nodes not only promotes the learning of individual vaccination strategies in the network， but also has a certain inhibition on the spread speed and scale of infectious diseases.

Key words： complex networks; initial vaccination node; evolutionary game; SIR model

0 引言

鼠疫、霍亂、埃博拉病毒、非典型肺炎等傳染病在世界各地頻發(fā)，對(duì)成千上萬個(gè)人的生命財(cái)產(chǎn)造成嚴(yán)重危害。對(duì)傳染病發(fā)病機(jī)理、傳染規(guī)律、發(fā)展趨勢和防控策略的研究備受人們關(guān)注。早期的研究在人群均勻混合的假設(shè)條件下，利用易感染者-感染者-易感染者（SIS）和易感染者-感染者-恢復(fù)者（SIR）經(jīng)典的倉室模型建模流行病傳播規(guī)律[1-2]。模型中未考慮接觸網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、個(gè)體差異等對(duì)傳播行為的影響，這與真實(shí)情況不一致。近年來興起的復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論為疾病傳播的研究提供了一種嶄新的建模思想與視角[3-5]。Wu Qingchu等人創(chuàng)建了重疊網(wǎng)絡(luò)上不同傳播方式下的傳染病模型，研究了疾病傳播的閾值以及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)疾病傳播的影響[6]。一些學(xué)者利用網(wǎng)絡(luò)，分析不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性對(duì)傳染病傳播速度[7-9]、傳播的可預(yù)測性[10-11]、傳播范圍[7]，確定影響傳播的重要節(jié)點(diǎn)[12-13]，并還原傳染病傳播路徑，尋找流行病傳染源[14-15]等。為了有效地抑制傳染病在網(wǎng)絡(luò)中廣泛傳播，隨機(jī)免疫[16]、熟人免疫[17]、目標(biāo)免疫[18-19]等免疫方法相繼被提出。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學(xué)科的興起，為研究傳染病傳播規(guī)律和控制帶來新的方向。

當(dāng)前，接種疫苗是最有效的疾病預(yù)防手段，當(dāng)在人群中接種疫苗的個(gè)體超過一定數(shù)量時(shí)，傳染病在網(wǎng)絡(luò)中無法傳播下去，從而間接地保護(hù)未接種的個(gè)體，達(dá)到社會(huì)群體免疫的效果。但面對(duì)新的疾病，人們會(huì)預(yù)測疾病的風(fēng)險(xiǎn)、疫苗接種面臨的風(fēng)險(xiǎn)和代價(jià)。個(gè)體在免疫策略選擇問題上往往會(huì)有從眾心理和搭便車現(xiàn)象，個(gè)體對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度和既往時(shí)刻的決策收益也會(huì)對(duì)其免疫行為有較大的影響。博弈論是量化個(gè)體行為決策的有效手段，參與者通過選擇不同的策略來最大化自身利益。Bauch等人利用博弈動(dòng)態(tài)模型，研究個(gè)體通過對(duì)周圍個(gè)體的觀察，考慮當(dāng)前傳染病的傳播情況，分析不接種疫苗被感染的風(fēng)險(xiǎn)，做出一個(gè)個(gè)體最優(yōu)的策略[20]。張海峰[21]等人在假設(shè)個(gè)體接種疫苗費(fèi)用相同的情況下，使用SIS傳播動(dòng)力學(xué)模型在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中研究了傳染病的傳播，結(jié)果發(fā)現(xiàn)自愿接種疫苗策略在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中能有效地控制疾病傳播。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體會(huì)依據(jù)傳染病歷史傳播信息[22]、節(jié)點(diǎn)本身對(duì)疾病危險(xiǎn)性的認(rèn)識(shí)[23]等因素考慮自身的處境，決定是否免疫?；趶?fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究傳染病傳播規(guī)律，分析控制策略效果，優(yōu)化防護(hù)控制，有助于指導(dǎo)社會(huì)對(duì)傳染病的防控。因此，在抑制傳染病傳播的研究中，如何設(shè)計(jì)一個(gè)有效的免疫策略來預(yù)防和控制疾病在網(wǎng)絡(luò)中蔓延至關(guān)重要[24]。

本文采用SIR模型和博弈論對(duì)個(gè)體自愿接種行為進(jìn)行研究，分析無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)中初始疫苗接種節(jié)點(diǎn)對(duì)傳染病傳播和個(gè)體策略學(xué)習(xí)的影響，通過分析初始隨機(jī)免疫與按度、點(diǎn)介數(shù)中心性、接近中心性、和結(jié)構(gòu)洞四種節(jié)點(diǎn)排序策略選擇的初始疫苗接種節(jié)點(diǎn)對(duì)傳染病的傳播速度和規(guī)模以及個(gè)體免疫策略博弈演化過程的影響，探究哪種初始接種疫苗策略能有效地促進(jìn)疫苗接種學(xué)習(xí)。

1 模型描述

經(jīng)典的SIR模型將人群分為三類種群，易感染者S（Susceptible），即個(gè)體未被傳染，并且沒有免疫能力;感染者I（Infected），即個(gè)體已被傳染，此時(shí)個(gè)體具有傳染性;恢復(fù)者R（Recovered），即感染者被治愈，且具有一定的免疫能力?，F(xiàn)在假設(shè)通過疫苗接種使部分易感染個(gè)體具有免疫能力，即人群將會(huì)增加一類群體——疫苗接種者V（Vaccinate）。人群最終呈現(xiàn)S、I、R、V四種狀態(tài)，其滿足的約束關(guān)系是：

2 初始接種疫苗節(jié)點(diǎn)的選擇

人群社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，要在這樣的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上實(shí)現(xiàn)免疫優(yōu)化控制，找出網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)顯得尤為重要。這里通過節(jié)點(diǎn)的度（Degree，D），介數(shù)中心性（Betweenness centrality， BC），接近中心性（Closeness centrality，CC）和結(jié)構(gòu)洞（Structural Holes，SH）四項(xiàng)指標(biāo)選取網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)。其中，節(jié)點(diǎn)的度、介數(shù)、接近度是常見的節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)重要度的度量指標(biāo)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

由于傳染病傳播無法在人群中做實(shí)驗(yàn)，因此利用計(jì)算機(jī)仿真分析研究是當(dāng)前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)研究的重要方法。為了比較這幾種有策略選擇初始接種節(jié)點(diǎn)對(duì)博弈學(xué)習(xí)的影響，利用計(jì)算機(jī)模擬傳染病在這三個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的傳播及博弈學(xué)習(xí)接種疫苗免疫的情況。假設(shè)單邊傳染概率β=0.06，恢復(fù)率γ=0.02，接種疫苗的消費(fèi)c=0.6，傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播時(shí)間t=200。初始時(shí)刻，按照隨機(jī)以及節(jié)點(diǎn)度、接近中心性、介數(shù)中心性和結(jié)構(gòu)洞的特性選擇網(wǎng)絡(luò)中5個(gè)初始接種免疫的節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)選擇5節(jié)點(diǎn)作為感染節(jié)點(diǎn)，在此后的每一時(shí)間步，與一個(gè)或多個(gè)感染節(jié)點(diǎn)相連的易感節(jié)點(diǎn)以一定的λ概率被感染，被感染節(jié)點(diǎn)經(jīng)過T（T表示最短治愈時(shí)間，假設(shè)T?8）時(shí)間后被治愈，成為具有免疫性的節(jié)點(diǎn)，而未被感染的節(jié)點(diǎn)以概率ρ向周圍鄰居學(xué)習(xí)。利用MATLAB進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的仿真，所有結(jié)果均為20次運(yùn)行結(jié)果的平均值。

圖1、圖2表示I狀態(tài)和V狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)在依據(jù)度（D）介數(shù)中心性（BC）、接近度中心性（CC）和結(jié)構(gòu)洞（SH）和隨機(jī)（rand）初始免疫的傳播感染密度和疫苗接種密度;圖3表示采用這5種策略后整體社會(huì)最終損耗代價(jià)。從圖2、圖3可以看出，有策略的初始接種免疫，促進(jìn)個(gè)體之間的博弈學(xué)習(xí)，自愿疫苗接種的個(gè)體數(shù)量提高，這種自發(fā)的學(xué)習(xí)周圍疫苗接種免疫行為起到了目標(biāo)免疫的效果，很好的抑制了網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播，降低了整體社會(huì)的損失，且這種免疫效果屬于個(gè)體自身自愿的行為并非強(qiáng)制的免疫策略。從中也可以看出，在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中最優(yōu)初始接種策略是不相同的，在ca-HepTh網(wǎng)絡(luò)和Adolescent health網(wǎng)絡(luò)上依據(jù)介數(shù)中心性和結(jié)構(gòu)洞選擇免疫初始節(jié)點(diǎn)的博弈學(xué)習(xí)的結(jié)果比其他的初始免疫策略效果好，而在CollegeMsg網(wǎng)絡(luò)上依據(jù)節(jié)點(diǎn)的度和結(jié)構(gòu)洞選擇初始免疫節(jié)點(diǎn)最終達(dá)到的效果比其他的策略好。

三個(gè)網(wǎng)絡(luò)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，疫苗接種博弈策略的學(xué)習(xí)不僅與初始免疫節(jié)點(diǎn)的選擇有關(guān)，還與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)系。通過這種疫苗接種的策略可以看出，有策略的選擇初始個(gè)體進(jìn)行接種可降低疾病在整體網(wǎng)絡(luò)中的危害，減少了個(gè)體的經(jīng)濟(jì)損失，從而使整體社會(huì)的經(jīng)濟(jì)損失降到最低。

4 總結(jié)

個(gè)體的行為和選擇每時(shí)每刻都受到周圍環(huán)境的影響，在掌握大環(huán)境的信息情況下，大多數(shù)人都愿意通過比較他們與別人的收益來調(diào)整策略。制定有效的傳染病控制策略，可以防止病毒大規(guī)模傳播。本文只是對(duì)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了模擬，在后面的研究工作中，將在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，研究初始疫苗接種免疫節(jié)點(diǎn)對(duì)傳染病傳播規(guī)律和疫苗接種策略學(xué)習(xí)的影響。

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