程仕然 蔣智東

[摘? 要] 文章通過對(duì)省內(nèi)部分師生的問卷調(diào)查和訪談?wù){(diào)研，了解蘇教版高中數(shù)學(xué)核心概念在廣大師生心中的認(rèn)知情況，通過數(shù)據(jù)處理和相關(guān)對(duì)比分析，堅(jiān)定了蘇教版核心概念研究的必要性和重要性，也為相關(guān)研究指明了方向.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心概念;認(rèn)知;調(diào)查;蘇教版

研究的背景

1. 研究的起因

我們知道，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)課程知識(shí)體系的基本單位，而核心概念作為數(shù)學(xué)概念體系的中心和主干，更是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域研究的關(guān)鍵內(nèi)容. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)教師的課堂教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都提出了新的要求和挑戰(zhàn)，對(duì)核心概念的研究有助于我們對(duì)知識(shí)板塊的整體把握，可以起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用，也為其他概念的學(xué)習(xí)起到示范作用. 抓住數(shù)學(xué)核心概念的教與學(xué)，就抓住了數(shù)學(xué)教與學(xué)的精髓，綱舉目張，從而達(dá)到本學(xué)科教與學(xué)的良好發(fā)展.

然而，盡管高中數(shù)學(xué)核心概念的相關(guān)研究有很多，成果也很豐富，但是高中數(shù)學(xué)核心概念到底有哪些？核心概念和重要概念有什么區(qū)別？核心概念和考試常考的主要概念有什么區(qū)別？如何更好地進(jìn)行核心概念的教學(xué)，如何把核心概念的引領(lǐng)帶動(dòng)作用體現(xiàn)出來等等問題，一直眾說不一，困擾著廣大教師. 但正因?yàn)檫@樣，也一直激勵(lì)著更多的教師在這方面進(jìn)行研究和探索.

通過前期的理論學(xué)習(xí)和研究，借鑒人教版核心概念研究，我們認(rèn)為蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)》中的“函數(shù)”“向量”為“代數(shù)”模塊的核心概念，“斜率”“正（余）弦函數(shù)”“異面直線”為“幾何”模塊的核心概念，“隨機(jī)事件”“概率”為“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊的核心概念. 但是這些認(rèn)定是否科學(xué)，能否得到大家的認(rèn)可，我們還是沒底的.所以，希望通過本次調(diào)查研究，調(diào)查一下普通學(xué)生及一線數(shù)學(xué)教師心目中的高中數(shù)學(xué)核心概念，以及對(duì)核心概念的理解和認(rèn)識(shí)，從而研判我們當(dāng)初所預(yù)測(cè)的幾個(gè)核心概念是否成立，進(jìn)而確定我們課題組的具體研究對(duì)象.

2. 高中數(shù)學(xué)核心概念及其界定

數(shù)學(xué)核心概念的研究早就引起數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注，相關(guān)成果豐富多樣，其中以美國的相關(guān)研究更深入，更具有指導(dǎo)實(shí)踐的意義. 美國國家數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）2000年發(fā)布的《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出了“數(shù)與運(yùn)算”“代數(shù)”“幾何”“度量”和“數(shù)據(jù)分析與概率”五個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，旨在設(shè)立面向所有學(xué)生的課程核心. 在高中數(shù)學(xué)核心概念研究方面，從代數(shù)領(lǐng)域、幾何領(lǐng)域和數(shù)據(jù)分析與概率領(lǐng)域三個(gè)方面分別給出核心概念圖. 但這些研究尚未和國內(nèi)研究接軌，大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師了解甚少，更不要說學(xué)生了.

在國內(nèi)的相關(guān)研究中，章建躍博士系統(tǒng)地進(jìn)行了“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”研究，認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念”是指那些處于“核心地位”的概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的主要概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，由其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶.

其他關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念的研究大致可概括為：核心概念是在確定范圍的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，處于中心位置的概念性知識(shí)，具有根基性、可生長性、廣泛聯(lián)系性，是學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干，主要有原始概念、思想貫穿、變革標(biāo)志三種形式，在知識(shí)體系中起著核心、不可替代的作用.

3. 調(diào)查研究的意義

（1）明確高中數(shù)學(xué)教材中的核心概念及其核心概念體系，提高教師自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念往往具有鮮明的直觀背景，簡單、易懂且威力無窮，是開啟中學(xué)數(shù)學(xué)大門的金鑰匙. 廣大教師應(yīng)加強(qiáng)修行，遠(yuǎn)離“題型+技巧”的雕蟲小技，集中注意力于核心概念，這樣才能實(shí)現(xiàn)“減輕負(fù)擔(dān)，提高質(zhì)量”的宏愿.

明確高中數(shù)學(xué)教材中的核心概念及其核心概念體系，有助于教師形成對(duì)知識(shí)比較系統(tǒng)的感知，做到深層次的領(lǐng)會(huì).在這個(gè)過程中增加自己的學(xué)科知識(shí)，增強(qiáng)自身認(rèn)知的數(shù)學(xué)中普遍聯(lián)系性，提高自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng).

（2）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)

我們知道，數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維、交流的工具.

學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程必定要經(jīng)歷感受、觀看、比較、本質(zhì)化、數(shù)學(xué)符號(hào)表征、證明等一系列過程，思維力的培養(yǎng)需要進(jìn)行數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)著手開始，在這些步驟中訓(xùn)練著思維的力量，幫助完成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

（3）指導(dǎo)教師實(shí)際教學(xué)，實(shí)現(xiàn)課堂上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的冷靜思考

課堂教學(xué)中，圍繞核心概念來組織知識(shí)，是一種非常經(jīng)濟(jì)和有效的組織科學(xué)課程或教學(xué)活動(dòng)的方式;課程內(nèi)容圍繞核心概念組織展開，課堂教學(xué)幫助學(xué)生掌握核心概念，將有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解和遷移應(yīng)用.

研究過程

1. 研究方法

本次調(diào)查研究采用問卷調(diào)查及與部分教師訪談?wù){(diào)研的形式進(jìn)行.通過前期的文獻(xiàn)研究，分教師版和學(xué)生版編制了《蘇教版〈普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)〉中核心概念的調(diào)查問卷》，借助網(wǎng)絡(luò)問卷星平臺(tái)進(jìn)行在線匿名的答卷方式. 學(xué)生版問卷共10個(gè)問題，2個(gè)填空，5個(gè)單選，3個(gè)多選;教師版共7個(gè)問題，2個(gè)填空，2個(gè)單選，3個(gè)多選;對(duì)師生的教齡（年級(jí)）分布，對(duì)高中核心概念的了解情況，對(duì)高中三大模塊中核心概念的認(rèn)知情況等.

2. 研究的對(duì)象

調(diào)查分別對(duì)蘇州市相城區(qū)內(nèi)兩所四星高中、一所三星高中的部分在校高二學(xué)生和江蘇省范圍內(nèi)部分高中數(shù)學(xué)教師及部分?jǐn)?shù)學(xué)教育專業(yè)在校師范生進(jìn)行了調(diào)查. 有效答卷回收教師問卷202人，學(xué)生問卷358人. 利用教研活動(dòng)、本校對(duì)外交流活動(dòng)、蔣智東名師工作室活動(dòng)，外出學(xué)習(xí)等機(jī)會(huì)訪談?wù){(diào)研高中數(shù)學(xué)教師67人次.

3. 研究的信度和效度

問卷調(diào)查結(jié)束后，對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.信度方面：教師版和學(xué)生版調(diào)查的Cronbach α系數(shù)為0.862，大于0.8，說明各項(xiàng)得分的一致性較好，研究數(shù)據(jù)信度質(zhì)量高. 針對(duì)“項(xiàng)已刪除的α系數(shù)”，分析項(xiàng)被刪除后的信度系數(shù)值并沒有明顯的提升，因而說明題項(xiàng)全部均應(yīng)該保留，進(jìn)一步說明研究數(shù)據(jù)信度水平高，可用于進(jìn)一步分析.效度方面：對(duì)教師版和學(xué)生版調(diào)查核心概念數(shù)據(jù)設(shè)置10個(gè)因子進(jìn)行效度分析，KMO值均為0.851，高于0.8，說明效度高，研究項(xiàng)合理且有意義.調(diào)查問卷反饋的數(shù)據(jù)清晰，指向明確，能夠解決預(yù)期問題.

調(diào)查的內(nèi)容

本次調(diào)查研究的核心概念范圍是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修教材中“代數(shù)”“幾何”“概率和統(tǒng)計(jì)”三個(gè)模塊.按照上面我們提供的核心概念的界定或結(jié)合調(diào)查對(duì)象自己的認(rèn)識(shí)在下面的三個(gè)模塊中，分別選出10個(gè)自己認(rèn)為是該模塊的核心概念.

蘇教版數(shù)學(xué)高中必修教材中代數(shù)模塊中共有85個(gè)概念：元素、集合、“屬于”、“不屬于”、集合的列舉法、集合的描述法、子集、Venn圖、集合相等、真子集、空集、并集、交集、全集、補(bǔ)集;函數(shù)、定義域、值域、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、分段函數(shù)、映射、增函數(shù)、減函數(shù)、最大值、偶函數(shù)、奇函數(shù);N次方根、根式、根指數(shù)、被開方數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)、底數(shù)、真數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反函數(shù)、冪函數(shù);函數(shù)的零點(diǎn)、二分法;算法、程序結(jié)構(gòu)、程序語句、輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）、秦九韶算法、基數(shù)、除2取余法;向量、向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量、向量的加法（三角形法則、平行四邊形法則）、向量的數(shù)乘、基底、向量的夾角（向量垂直）、向量正交分解、向量的坐標(biāo)表示、向量的數(shù)量積、向量在方向上的投影;數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)、首項(xiàng)、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、通項(xiàng)公式、等差數(shù)列、公差、等差中項(xiàng)、數(shù)列的前n項(xiàng)和、等比數(shù)列、公比、等比中項(xiàng);一元二次不等式、二元一次不等式、二元一次不等式（組）的解集、線性規(guī)劃、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù).

蘇教版數(shù)學(xué)高中必修教材中幾何模塊79個(gè)概念：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、柱體、椎體、臺(tái)體、球體、斜二測(cè)畫法;直線在平面內(nèi)、異面直線、異面直線所成的角、（空間內(nèi)）兩直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直（平面的垂線、直線的垂面、垂足）、二面角（二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角）、平面與平面垂直;直線的傾斜角、直線的斜率、直線的方程（點(diǎn)斜式、斜截式（截距式）、兩點(diǎn)式、一般式）;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程;空間直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面）、右手直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)）;正角、負(fù)角、零角、任意角、象限角、角度制、弧度制、弧度、單位圓、正弦、余弦、正切、有向線段、正弦線、余弦線、正切線、三角函數(shù)線、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正弦曲線、余弦曲線、周期函數(shù)、周期、最小正周期、“簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、頻率、相位、初相”;和角公式、差角公式、倍角公式;正弦定理、解三角形、余弦定理.

蘇教版數(shù)學(xué)高中必修教材中概率統(tǒng)計(jì)模塊29個(gè)概念：概率與統(tǒng)計(jì)、簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、頻率分布、頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖、平均數(shù)（均值）、標(biāo)準(zhǔn)差、方差;散點(diǎn)圖、線性相關(guān)關(guān)系、線性回歸方程、最小二乘法;確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、必然事件、不可能事件、概率、頻數(shù)、頻率、互斥事件、對(duì)立事件、概率的加法公式、基本事件、古典概型、幾何概型.