張勇

摘? ? 要?數(shù)學實驗是數(shù)學學習的一種重要方式。當個體對某一問題有一定的預(yù)期，且不能通過內(nèi)部表征的操作來形成一定的結(jié)論時，就需要進行數(shù)學實驗;在開展數(shù)學實驗時，要確保實驗平臺能夠為學生提供一個層次合適的外部表征;在具體的學習過程中，要準確把握數(shù)學實驗開展的時機，使之恰當?shù)貐⑴c學生知識建構(gòu)過程。這樣數(shù)學實驗才能成為個體知識建構(gòu)的一種手段。

關(guān)鍵詞 數(shù)學實驗 條件 分布性 表征

數(shù)學實驗是一種以實驗為載體，探究問題或形成知識的學習活動過程。作為一種學習形式，其存在的理由和價值正逐步被認識?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學學習的重要方式，學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。”數(shù)學課堂上從來就不缺乏實驗，在當前的課堂中甚而流行。在數(shù)學課堂上為什么要進行數(shù)學實驗？為什么要進行這樣的數(shù)學實驗而不是其他？各類數(shù)學實驗在具體教學過程中是否有效？ 本文擬探討：對學習者、對數(shù)學實驗本身及對整個教學過程，數(shù)學實驗的開展需要什么條件。

一、從認知的分布性來看，數(shù)學實驗要滿足學習者的需求

傳統(tǒng)認知理論認為認知是個體內(nèi)部的信息加工過程。20世紀80年代加利福尼亞大學的赫欽斯提出分布式認知理論。赫欽斯認為認知的本性是分布式的，認知現(xiàn)象不僅包括個人頭腦中所發(fā)生的認知活動，還涉及人與人之間以及人與技術(shù)工具之間通過交互實現(xiàn)某一活動的過程。

分布式認知理論比傳統(tǒng)認知理論更加具有一般性。分布式認知理論并不排斥傳統(tǒng)認知理論，因為認知的過程有時具有分布性，有時卻僅僅操作于個體頭腦中，不需要外化分布。在某種狀態(tài)下，個體的內(nèi)部表征缺失或者內(nèi)部表征之間缺乏有效的信息交流，認知活動便不能有效地開展，這時候就需要外部表征的支持，內(nèi)外部表征交互傳遞信息，完成整個認知過程。在這種狀態(tài)下，認知的過程需要外部化，需要一定的媒介參與。數(shù)學學習活動屬于認知活動，在內(nèi)部表征不足以支持認知活動時，也需要外部化活動。

數(shù)學學習的外部化活動是否一定是以實驗為載體？當然不是。數(shù)學活動除了接受聽講、內(nèi)在思考，還有觀察、猜想、驗證、推理、證明、計算等。實驗是為了檢驗?zāi)撤N理論或假設(shè)是否具有預(yù)想效果而進行的試驗活動。作為一個相對獨立的功能單元，數(shù)學實驗應(yīng)通過一系列操作對預(yù)期形成一個結(jié)論。之所以稱之為相對獨立的功能性單元，一方面實驗可以重復(fù)進行，另一方面實驗可以由他人完成。作為一個分析單元，數(shù)學實驗應(yīng)具有下列要素：假設(shè)或預(yù)期的結(jié)果、一定的操作程序、形成結(jié)論或解決問題。因此，對學習者來講，在數(shù)學學習過程中，當個體對某一問題有一定的預(yù)期，且不能通過個體內(nèi)部表征的操作來形成一定的結(jié)論時，就需要把操作外部化，這個獨立的外部化操作的功能單元就是數(shù)學實驗。

例如認識圓周率的教學。在研究圓的周長與圓的直徑（半徑）的關(guān)系時，學生已經(jīng)通過直觀發(fā)現(xiàn)，圓的直徑越大，圓的周長就越大。學生可以作出猜想：圓的周長與圓的直徑可能有一個固定的倍數(shù)關(guān)系。但是這個倍數(shù)關(guān)系需要通過測量計算才能得到，而通過個體的內(nèi)部心理操作，無法完成這樣的操作，最佳的方法就是讓學生實地進行測量計算，并在此基礎(chǔ)上形成對圓周率的認識。因此需要在個體體外構(gòu)筑一個實驗平臺，通過一個外部的一系列操作，最終形成對預(yù)期結(jié)果的判斷。

二、從表征的層次性來看，數(shù)學實驗要提供合適的外部表征

上述關(guān)于數(shù)學實驗的必要前提是從學習者的需求的角度來討論的。具體到每一個實驗，一個數(shù)學實驗?zāi)芊耖_展，還要看這個實驗自身能否提供適合學生思維建構(gòu)的外部表征。

赫欽斯認為，認知活動可以被看成是在媒介間傳遞表征狀態(tài)的一種計算過程。認知的過程是內(nèi)部表征與外部表征交互的過程，有效學習的過程應(yīng)該是建立在內(nèi)部表征與外部表征有效交互的基礎(chǔ)上的。從數(shù)學實驗的操作媒介來說，數(shù)學實驗可分成器材操作實驗、紙筆操作實驗、軟件操作實驗。而構(gòu)筑一個什么樣的實驗平臺，為什么選擇這樣一個平臺，還要看這個實驗平臺能否提供一個合適的外部表征。（這里采用比較靜態(tài)分析方法，即學生水平是給定的。）

什么是合適的表征？數(shù)學學習的過程是以對情境中的事件和事物的理解為前提的。個體，尤其是低幼者，對事件和事物的認識，往往是從具體到抽象，特別是對現(xiàn)實中可見的事件和事物。因此，外部表征按照這種序列可以劃分為三個層次。第一個層次是以實物器材、表演和動畫、音視頻呈現(xiàn)的對事件和事物的模擬，其主要對應(yīng)于內(nèi)部表征的表象、腳本等。第二個層次是對事件事物中的數(shù)量、位置關(guān)系的提煉，以圖形、圖標呈現(xiàn)出來，主要對應(yīng)于內(nèi)部表征的圖式。第三個層次是以語言、符號來表征的對事件和事物的最高層次的抽象，主要對應(yīng)于內(nèi)部表征的概念、命題、產(chǎn)生式規(guī)則等。在個體既定的知識結(jié)構(gòu)水平下，去除個體認知水平的影響，外部表征是否合適的最大問題在于外部表征的層次性把握得不準，從而對學習效果造成影響。

數(shù)學知識是符號化的、結(jié)構(gòu)化的、高度抽象的，這是由數(shù)學知識表達的總趨勢所致。要獲得這樣的高度概括的結(jié)構(gòu)，需要經(jīng)歷一個過程。數(shù)學知識的建構(gòu)并不是越抽象越好，也不是越形象越好，而是讓數(shù)學結(jié)構(gòu)逐漸剝離具體的情境并形成體系。在教學過程中，需要根據(jù)實際情況調(diào)整外部表征的層次，使之適應(yīng)個體的內(nèi)外表征交互的需要。因此，在探準內(nèi)部表征的基礎(chǔ)上，適當調(diào)整外部表征的層次結(jié)構(gòu)是構(gòu)建一個實驗平臺的關(guān)鍵。

例如認識有余數(shù)的除法的教學。在學習有余數(shù)的除法時，就需要利用學具實際分一分，從而形成有余數(shù)的除法的概念。要進行有余數(shù)的除法操作，首先學生得知道怎樣進行平均分，當把手上的小棒全部分完時，每份不一樣多，就不符合平均分的要求，然后將不該分的部分拿回來，丟在一邊。下一次進行平均分的時候，先看一看、數(shù)一數(shù)手里剩下的小棒還夠不夠平均分，如果不夠則丟在一邊，這部分小棒的數(shù)量就是余數(shù)。但是如果通過紙筆操作，或者教師直接在黑板上畫，就很難自如地將不該分的拿回來，很不方便在分掉的小棒與剩下的小棒之間進行操作比較。因此，學習有余數(shù)的除法利用器材操作比較好一點。

因此，一個合適的實驗平臺，必定能提供合適的外部表征，否則這個實驗就沒有實際價值，就不是必要的。

三、從認知的過程性來看，數(shù)學實驗要恰當?shù)貐⑴c認知建構(gòu)

給你一本數(shù)學百科全書，你不一定會成為一個數(shù)學精通者。因為數(shù)學的大廈不僅是概念、定理、計算等知識的堆積，還需有個體的經(jīng)驗支撐。個體的知識建構(gòu)需要一個過程。以上采用比較靜態(tài)的方法，說明合理構(gòu)筑某一個實驗平臺的必要性和重要性。在分析的過程中，學習者的水平始終是既定的。而數(shù)學學習活動目的的最終落腳點是學習者個體，所以最后還得回到學習者個體的具體學習過程中來討論數(shù)學實驗對學習者的知識建構(gòu)的意義。一個具體的數(shù)學學習過程如何依賴于一個有效的數(shù)學實驗？如何把握住開展數(shù)學實驗的時機？

學習者的網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)應(yīng)該是穩(wěn)固的，每一個結(jié)點應(yīng)該是確定的，但這只是一種理想狀況。況且，隨著學習活動的推進，前后知識也會相互遷移，原來穩(wěn)固的、確定的知識，有可能發(fā)生動搖。同理原來模糊的不確定的知識，可能會進一步得到固化。因此，對學習者知識結(jié)構(gòu)的特點，要動態(tài)地去看，要精確到個體的某一個特定的知識點。

數(shù)學實驗對知識建構(gòu)來說，其本身是提供一個經(jīng)驗支撐的作用。如果實驗的開展時機合理、控制得當，由它推演出的知識就應(yīng)該是確定的。如果學生的某個知識點已經(jīng)是確定穩(wěn)固的了，那么再進行實驗就顯得冗余了，這樣勢必會降低課堂學習的效率;相反，如果學生的某一個知識點不太確定、不太穩(wěn)固，就需要重新開展實驗，讓知識的邊界明晰起來。

例如“將一張長6分米，寬4分米的長方形紙卷成一個圓柱體，圓柱體的體積最大是多少？”在這一問題的教學過程中，如果學習者已經(jīng)知道“以長邊為底面周長，以短邊為高，所得到的圓柱體體積最大”這一知識點，那么就可以直接列式計算，不需要通過計算比較得出“怎樣圍體積最大”這一知識點。相反，如果學習者知識結(jié)構(gòu)不穩(wěn)固，還未掌握這一知識要點，就要重新進行實驗探究。初次探究這個問題時，首先得知道長方形紙與卷成的圓柱的關(guān)系。如果知道長方形紙就是圓柱的側(cè)面，長方形相鄰的兩邊會轉(zhuǎn)化為圓柱的底面周長和高，下面的操作程序就很簡單了。在計算比較后，一定要問“為什么以長邊為底面周長，以短邊為高得到的圓柱體體積最大”這個問題，以便學生繼續(xù)進行實驗推理，從而形成一個確定的結(jié)論，并固化到知識結(jié)構(gòu)中去。

一個教學環(huán)節(jié)的安排，一個教學手段的使用，在其使用條件允許的情況下才是有效的。數(shù)學實驗在某些條件下是必不可少的，在某些條件下是冗余的。只有那些學生學習所需要的，與學生的心理操作相匹配的，有利于學生形成確定的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)的數(shù)學實驗才是必要的、有效的。

[責任編輯：陳國慶]