劉鳳智

(營口理工學(xué)院機動系，遼寧 營口 115014)

1938 年，英國天體與大氣物理學(xué)家埃姆頓(R．Emden)以“冬天為什么要生火”為題，在《自然》雜志上寫了一篇短評[1]。文中提到：對于這個問題，“外行將回答說：‘冬季生火是為了使房間暖和’，而學(xué)過熱力學(xué)的人也許這樣解釋：‘生火是為了取得所欠缺的能量’”。如果是這樣，那么外行的回答是正確的，而內(nèi)行的回答卻錯了。過了許多年這一結(jié)論仍被認為是正確的，并做了進一步的研究[2，3]。埃姆頓是基于理想氣體模型來研究這個問題的，在物理問題中，基于不同模型會得出不同的結(jié)論。模型都是對具有相同物理本質(zhì)特征的一類事物加以簡化，保留實際物體的主要特征，忽略次要因素而抽象成的理想化模型[4]。不同模型都能在一定程度上描述物理問題，只不過哪一個更接近實際問題。對于實際氣體，理想氣體模型是最簡單模型，但用理想氣體模型得出的結(jié)論也是最粗略的。范德瓦爾斯氣體模型是更接近實際氣體的模型，用范德瓦爾斯氣體模型得出的結(jié)論應(yīng)該更為可信。

1 室內(nèi)氣體為理想氣體時內(nèi)能的變化

假設(shè)室內(nèi)氣體遵從理想氣體，室內(nèi)氣體的壓強始終與室外氣體相同，并設(shè)室內(nèi)氣體的壓強為p0，體積為V0。由于生火，室內(nèi)氣體的溫度由T0上升到T，下面用理想氣體模型來計算室內(nèi)氣體加熱前后的內(nèi)能。理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，則加熱前室內(nèi)的內(nèi)能為

U0=ν0CV,mT0

(1)

式中，ν0為室內(nèi)氣體的摩爾數(shù)；CV,m為氣體的等體摩爾熱容，一般可將它看成常數(shù)。為了方便比較，用理想氣體狀態(tài)方程，將式(1)變?yōu)?/p>

(2)

式(2)中的R為氣體普適常數(shù)。

生火后室內(nèi)氣體的內(nèi)能為

U′0=ν′0CV,mT

(3)

式中ν′0為加熱后室內(nèi)氣體的摩爾數(shù)。由理想氣體的狀態(tài)方程有

p0V0=ν0RT0=ν′0RT

(4)

將式(4)代入式(3)可得出生火后室內(nèi)氣體的內(nèi)能為

(5)

如果假設(shè)室內(nèi)氣體遵從理想氣體，則生火前后室內(nèi)氣體的內(nèi)能不變。可見，應(yīng)用理想氣體模型，室內(nèi)氣體的內(nèi)能與溫度無關(guān)。當室內(nèi)體積一定時，完全取決于氣壓計的讀數(shù)[5]。冬季生火使室內(nèi)氣體溫度升高了，溫度高，使人覺得暖和了，所以說外行人說的正確。內(nèi)行人用能量來說明這個問題卻錯了，生火并沒有改變室內(nèi)氣體的能量。上述結(jié)論就是應(yīng)用理想氣體模型得出的結(jié)論。

2 室內(nèi)氣體為范德瓦耳斯氣體時內(nèi)能的變化

眾所周知，理想氣體與實際氣體有偏差，而范德瓦耳斯方程描述的氣體更接近實際氣體，下面用范德瓦耳斯氣體作為實際氣體的模型來求室內(nèi)生火前后氣體的內(nèi)能。為簡單起見，假設(shè)室內(nèi)氣體只是氮氣，并設(shè)定壓強：p0=1.01325×105Pa,生火前室內(nèi)溫度：T0=240K，室內(nèi)體積：V0=60m3，如圖1所示。

圖1 室內(nèi)生火前的狀態(tài)參量

設(shè)氣體滿足范德瓦耳斯氣體方程

(6)

式中,普適常數(shù)R=8.3145J·mol-1·K-1，對于氮氣，a=0.1408Pa·m6·mol-2，b=3.913×10-5m3·mol-1，由式(6)可以得到一個關(guān)于ν0的一元三次方程

(7)

將前面已知量代入式(7)中，由此方程可得出室內(nèi)氣體的摩爾數(shù)ν0，室內(nèi)氣體的內(nèi)能[6]

(8)

氮氣為雙原子分子，常溫下其等體摩爾熱容

(9)

將式(9)代入式(8)中，可得出未生火前，室內(nèi)氣體的內(nèi)能U0。

如果生火將室內(nèi)氣體加熱到溫度T，室內(nèi)氣體體積不變，室內(nèi)氣體壓強與室外氣體壓強相同，也保持不變，生火后室內(nèi)氣體的狀態(tài)參量如圖2所示。由范德瓦耳斯方程，室內(nèi)剩余氣體摩爾數(shù)ν遵從下面的方程

(10)

圖2 室內(nèi)生火后的狀態(tài)參量

由式(10)，可解出室內(nèi)剩余摩爾數(shù)ν，此時，室內(nèi)氣體的內(nèi)能

(11)

假設(shè)氣體的等體摩爾熱容不變，由式(11)可得出室內(nèi)氣體的內(nèi)能U，為了考察室內(nèi)氣體加熱前后內(nèi)能的變化情況，令ΔU=U0-U，經(jīng)計算得出ΔU=ΔU(T)的變化曲線如圖3所示。

圖3 加熱前后室內(nèi)內(nèi)能隨溫度的變化

由圖3可看出，生火后室內(nèi)氣體內(nèi)能隨溫度的增高呈現(xiàn)下降趨勢，溫度越高，則室內(nèi)氣體的內(nèi)能越低，此結(jié)論與一般的直觀感覺是大相徑庭的。

3 結(jié)論

當初埃姆頓設(shè)定的問題是基于室內(nèi)為理想氣體，此時生火使室內(nèi)溫度升高了，從而使室內(nèi)的人感覺更暖和；但令人驚奇的是：生火并沒有改變室內(nèi)的內(nèi)能，對于這個結(jié)論，如果不進行仔細的理論研究是很難理解的。如果用范德瓦爾斯氣體作為室內(nèi)氣體模型，應(yīng)用熱力學(xué)理論研究，生火使得室內(nèi)氣體的內(nèi)能還有所下降，這個結(jié)論可能更出乎許多人的意外。

冬季生火使室內(nèi)溫度的變化不大，由溫度變化引起的內(nèi)能變化也不大。如果溫度不局限于使人舒適的變化的范圍，比如溫度增加到數(shù)百度，因為等體摩爾熱容會隨著溫度的增加而變大，所研究的室內(nèi)系統(tǒng)還是開放系統(tǒng)，生火后室內(nèi)氣體的內(nèi)能情況可能更為復(fù)雜，這需要做進一步的研究。