張拴柱

(長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011)

在一般的電磁學(xué)教科書中，討論無(wú)限大的帶電導(dǎo)體平板的例題、習(xí)題很多，但對(duì)帶電導(dǎo)體不是平板而是其他“曲面”板的問題很少涉及到。本文采用橢圓柱面坐標(biāo)系，直接求解拉普拉斯方程，推導(dǎo)出了無(wú)限長(zhǎng)帶電體為理想導(dǎo)體薄片制成的雙曲柱面場(chǎng)分布的解析式，畫出了等勢(shì)(面)線和電力線分布、計(jì)算出了雙曲柱面上電荷密度分布以及由雙曲柱面組成電容器的電容，在此基礎(chǔ)上還討論了一些其他特殊情形下的場(chǎng)的分布和電荷的分布。

1 無(wú)限長(zhǎng)雙曲柱面帶電導(dǎo)體的場(chǎng)分布

設(shè)有用理想導(dǎo)體薄片制成的無(wú)限長(zhǎng)帶電雙曲柱面導(dǎo)體，垂直于z軸平面與雙曲柱面相截，得的是一條雙曲線，它有A、B兩條曲線，如圖1所示。A導(dǎo)體上電勢(shì)V1，B導(dǎo)體電勢(shì)V2，且V1>V2。在xOy平面截得的A、B曲線方程為

(1)

兩支分別為：x>0為A支雙曲線；x<0為B支雙曲線。

圖 1

引進(jìn)橢圓柱面坐標(biāo)系，它與直角坐標(biāo)系的關(guān)系為

(2)

拉梅系數(shù)

(3)

在橢z圓柱面坐標(biāo)系中，坐標(biāo)曲面是ξ=常數(shù)：為橢圓柱面

(4)

η=常數(shù)：為雙曲柱面

(5)

z=常數(shù)：為平行于xOy面的一族平面

z=C(常數(shù))

(6)

在橢圓柱坐標(biāo)系中，兩“曲面”板之間的電勢(shì)φ滿足拉普拉斯方程

(7)

帶電導(dǎo)體為雙曲柱面且無(wú)限長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知這是一個(gè)平行平面場(chǎng)問題。又因?yàn)閹щ妼?dǎo)體雙曲柱面在xOy面上與橢圓柱坐標(biāo)系中的雙曲線重合，在帶電導(dǎo)體雙曲柱面上，電勢(shì)φ是與ξ和z無(wú)關(guān)的常量，因此φ若只是η的函數(shù)，就可以滿足該問題的邊界條件，故取電勢(shì)φ分布函數(shù)只與η有關(guān)，與參量ξ、z無(wú)關(guān)，即

φ=φ(η)

(8)

因此，電勢(shì)φ的拉普拉斯方程變成了

(9)

解方程得

φ=Aη+B

(10)

其中：A和B是兩個(gè)積分常數(shù)，由邊界條件確定。

由邊界條件確定A和B兩個(gè)常數(shù)：

V1=Aη1+B

(11)

V2=Aη2+B

(12)

聯(lián)解

(13)

而

(14)

所以

φ=Aη+φ0

(15)

將帶電導(dǎo)體A雙曲線方程(1)(x>0)，與一族雙曲線方程(5)比較可得

同理，將帶電導(dǎo)體B雙曲線方程(1)(x<0)，與一族雙曲線方程(5)比較可得

由此可求得

(20)

所以

(21)

電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布。由E=-φ兩“曲面”板之間的電場(chǎng)分布

(22)

而

(23)

代入式(22)，得

(24)

當(dāng)討論的點(diǎn)是在帶電A雙曲柱面上，即取η=η1，把式(16)、(17)代入式(24)得

(25)

當(dāng)討論的點(diǎn)是在帶電B雙曲柱面上，即取η=η2，把式(18)、(19)代入式(24)得

(26)

下面求等勢(shì)面和電力線分布函數(shù)。

電勢(shì)等勢(shì)面：

當(dāng)φ=Aη+B=常數(shù)時(shí)，則一定有η=常數(shù)，而η=常數(shù)，則為一族雙曲柱面組成

(27)

因此等勢(shì)面是一族雙曲柱面，與帶電雙曲柱面有共同的焦點(diǎn)，在與垂直于z軸的平面相截得到的是一族等勢(shì)雙曲線。

電力線：

由正交曲線坐標(biāo)系知識(shí)可知，電力線應(yīng)該滿足微分方程

(28)

由于Eξ=0，所以dξ=0，則ξ=常數(shù)，而ξ=常數(shù)，對(duì)應(yīng)是一族橢圓柱面，其方程

(29)

同理，由于Ez=0，所以dz=0，則z=常數(shù)，而z=常數(shù)，對(duì)應(yīng)的是一族平面

z=C

(30)

式(29)和式(30)聯(lián)立即是電力線方程，是一族橢圓曲線(一部分)，如圖2所示。

圖 2

結(jié)論：兩“曲面”板之間的雙曲柱面、橢圓柱面與z=常數(shù)相截所得的兩族交線：一族雙曲線(等勢(shì)線)，另一族橢圓線(電力線)，它們有共同的焦點(diǎn)。

2 雙曲柱面導(dǎo)體上的電荷分布

下面求雙曲柱面上的電荷分布，由電磁場(chǎng)邊值關(guān)系

(31)

而

(32)

所以在帶電A雙曲柱面上

(33)

由此看出，雙曲柱面上的電荷分布不均勻。下面看兩個(gè)特殊的點(diǎn)：

(1) 雙曲線的弧頂點(diǎn)處(a,0)

(34)

(2) 當(dāng)y2→∞，即開口無(wú)限大時(shí)，此處看作平面

σmin→0

(35)

3 若有A、B兩個(gè)雙曲柱面導(dǎo)體薄片組成電容器，計(jì)算電容

如圖1所示，A、B兩個(gè)雙曲柱面組成電容器。首先求出帶電A雙曲柱面所帶電荷QA。

(36)

在橢圓柱面坐標(biāo)系中，若帶電導(dǎo)體雙曲柱面A正好是當(dāng)坐標(biāo)系中η=η1為常數(shù)時(shí)的一個(gè)坐標(biāo)曲面，由此可知，存在常數(shù)η1使得

(37)

所以沿軸線方向L長(zhǎng)雙曲柱面的電荷

(38)

由x=cchξcosη得

(39)

所以

(40)

故沿軸方向長(zhǎng)為l的雙曲柱面電容器的電容

(41)

討論

圖 3

所以

由式(38)得

(44)

而S=ly0等效于平行板電容器的極板面積，d=2a兩板之距，結(jié)果與平行板電容器的結(jié)果一致。

4 帶電雙曲面導(dǎo)體退化成兩半無(wú)限大平面

如圖4所示，當(dāng)帶電雙曲面導(dǎo)體退化成相隔2a距離的兩個(gè)半無(wú)限大導(dǎo)體平面，求該導(dǎo)體平面的電場(chǎng)分布和電荷分布。

圖 4

半無(wú)限大平面可以看作是雙曲面是在b→0時(shí)形成的，因此，當(dāng)b→0則c→a則

(45)

由式(33)得

(46)

上式是雙曲面導(dǎo)體上的電荷面密度。如果將上面和下面電荷量的面密度算在一起，則有

(47)

由式(25)得

(48)

方向垂直于導(dǎo)體平面。若用電荷密度來(lái)表示電場(chǎng)，則有

(49)

與預(yù)期結(jié)果一致。

5 帶電雙曲面導(dǎo)體退化成互相垂直的兩無(wú)限大平面

如圖5所示，當(dāng)帶電雙曲面退化成相隔2a距離且互相垂直的一個(gè)無(wú)限大、另一個(gè)半無(wú)限大的導(dǎo)體平面，求該導(dǎo)體平面的電場(chǎng)分布和電荷分布。

A面，可以看作是雙曲面是在b→0時(shí)形成的的半無(wú)限大平面，因此在該面上的電荷密度、電場(chǎng)強(qiáng)度還是式(47)、式(48)。

圖 5

(50)

所以B面的電荷密度為

(51)

電場(chǎng)強(qiáng)度為

(52)

若用電荷密度來(lái)表示電場(chǎng)，則有

(53)

與預(yù)期結(jié)果一致。