徐勞立 劉宇星 王 越

(北京工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

現(xiàn)在乘坐飛機(jī)出國旅游的人越來越多，乘客可能想知道為什么從中國去美國東海岸的飛機(jī)不飛越太平洋？為什么往返航程相同而飛行時(shí)間不同？地球的自轉(zhuǎn)對飛機(jī)飛行有影響嗎？

1 飛行航向和里程

球面上兩點(diǎn)間最短距離等于球面上過這兩個(gè)點(diǎn)的大圓(大圓曲線半徑等于球面半徑)在該兩點(diǎn)間的弧長，由此可確定航班的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的航線走向。

現(xiàn)計(jì)算飛行最佳航向，即沿著航程最短曲線飛行時(shí)的起飛航跡與當(dāng)?shù)鼐暰€的夾角γ。

圖1 球面上ab兩點(diǎn)間路程

設(shè)球面上a點(diǎn)為始點(diǎn)，b點(diǎn)為終點(diǎn)，如圖1所示，過球面中心點(diǎn)O，始點(diǎn)a，終點(diǎn)b，作一“航線平面”H，此平面與球面相切，所得切線上a、b兩點(diǎn)間的曲線長度，即球面上的a、b兩點(diǎn)間的最短路程。

地球南北極的直徑比赤道直徑短些，相差不到百分之一，可將地球近似為正球體。記地球半徑為R，取z軸過地球南北極，地球赤道平面為xy平面，取球心到運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的位置矢量為r，本文中位矢r的方向用經(jīng)度和緯度坐標(biāo)(β,α)表示。

這里說明一下，地圖上的地理坐標(biāo)系[1]是一種球坐標(biāo)系，地圖上地球赤道的緯度為零，北半球的緯度范圍從赤道的零緯度開始，向北逐漸增加，直到北極的北緯90°，同理，南半球的緯度范圍是從赤道的零緯度到南極的南緯90°，圖1中的w為通過赤道的緯線。地球的經(jīng)線為南北極之間的大圓的半圓弧，零度經(jīng)線過倫敦附近的格林威治，東半球的經(jīng)度范圍從格林威治的零經(jīng)度開始，向東逐漸增加，直到東經(jīng)180°，同理，西半球的經(jīng)度范圍是格林威治的零經(jīng)度到西經(jīng)180°。地圖坐標(biāo)定義在下面的坐標(biāo)換算中要用到。

現(xiàn)將上述球坐標(biāo)系問題在直角坐標(biāo)系中表示出來[2]，設(shè)始點(diǎn)a坐標(biāo)為(β1，α1)，終點(diǎn)b坐標(biāo)為(β2,α2)，為計(jì)算簡單，設(shè)始點(diǎn)a的位矢r1在xy平面的投影恰落在x軸上，即y分量為零，此時(shí)始點(diǎn)a的位矢r1和終點(diǎn)b的位矢r2分別表示為

上式中的Δβ為始點(diǎn)位矢r1和終點(diǎn)位矢r2在xy平面上投影的夾角，考慮到地圖坐標(biāo)系的東經(jīng)和西經(jīng)的劃分，如果始點(diǎn)終點(diǎn)都在東半球，則

Δβ=β終-β始

(3)

如果始點(diǎn)和終點(diǎn)分別在東半球和西半球，則

Δβ=2π-β終點(diǎn)-β始點(diǎn)=2π-β1-β2

(4)

下面做始點(diǎn)位矢r1與終點(diǎn)位矢r2作矢量積：

(5)

矢量積h的方向即上面所提到的航線平面H的法線方向，顯然，H平面法線與z軸的夾角等于飛機(jī)在始點(diǎn)的飛行方向與當(dāng)?shù)鼐暰€的夾角γ，即航程最短時(shí)的飛行航向。為便于推導(dǎo)γ角的公式，將式(5)給出h的3個(gè)分量和其大小h分別列出

h與z軸基矢k的數(shù)量積為h·k=hz=hcosγ，故有

(9)

下面計(jì)算相應(yīng)的飛行里程S。飛行軌跡處在球面上，若算出始點(diǎn)位矢r1與終點(diǎn)位矢r2的夾角ψ，則飛行里程為

(10)

根據(jù)始點(diǎn)位矢r1與終點(diǎn)位矢r2的數(shù)量積r1·r2=r1r2cosψ，可得到

(11)

將式(1)、式(2)代入式(11)，得

ψ=arccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(12)

式(12)代入式(10)，得到

S=Rarccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(13)

將上述公式放入Excel表格，先由始末點(diǎn)的經(jīng)度位置選擇使用Δβ的式(3)或式(4)，在表格中填入經(jīng)緯度數(shù)據(jù)α1、α2和Δβ，即可得到航向角γ與飛行里程S，由于反三角函數(shù)的多值性，要根據(jù)航線幾何圖形對γ的多值結(jié)果作判讀。

表1給出從北京出發(fā)的若干北半球航線的計(jì)算結(jié)果，其中關(guān)于波士頓的數(shù)據(jù)由式(4)、式(9)和式(13)算出，結(jié)果表明飛往波士頓的航班起飛后將向北飛，而不是向東飛越太平洋。表中其他的目的城市都在東半球，相關(guān)的γ和S由式(3)、式(9)和式(13)算出。實(shí)際上，高空氣流、非慣性力和各國的飛行禁區(qū)等因素也會(huì)影響航線的選擇。

表1 北京到幾個(gè)城市的飛行航向和里程的計(jì)算值北京坐標(biāo)：東經(jīng)116°36′，北緯40°04′，地球半徑R=6371×103m

2 地球自轉(zhuǎn)對飛行的影響——科里奧利力

首先要指出，在無風(fēng)情況下，推力相同的飛機(jī)沿緯線向東或者向西飛行時(shí)，其相對于地面的速度相同；而相對于固定的地球自轉(zhuǎn)軸線上的觀察者，由于地球自轉(zhuǎn)線速度的疊加，飛機(jī)向東飛的速度較高，飛機(jī)向西飛時(shí)的速度較低。

地球自轉(zhuǎn)對飛行的一個(gè)可能的影響來源于慣性力——科里奧利力。將繞著自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的地球表面設(shè)為地面參照系，一質(zhì)量為m、相對于該非慣性參照系以速度飛行的飛機(jī)受到科里奧利力[3,4]

FC=2m×ω

(14)

式中的ω為沿z軸的地面坐標(biāo)系的自轉(zhuǎn)角速度。

現(xiàn)估算科里奧利力FC的量值，以波音787為例，其最大起飛質(zhì)量為

m=247×103(kg)，最大起飛重量約2420(kN)

(15)

地球自轉(zhuǎn)周期T=8.616×104s，設(shè)飛機(jī)對地速度1000×103m/h～278m/s，當(dāng)與ω垂直時(shí)，科里奧利力的最大值為

(16)

其方向與飛機(jī)前進(jìn)方向的推力垂直。波音787的發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力約為250kN，正常巡航時(shí)的發(fā)動(dòng)機(jī)推力是最大值的70%～80%，約為

F飛機(jī)巡航推力=200kN

(17)

對照式(16)和式(17)，可見科里奧利力的最大值約為飛機(jī)巡航推力的5%。

為便于討論，下面給出科里奧利力的幾個(gè)投影公式，首先，將飛機(jī)水平飛行速度分解為平行于緯線的分量∥和平行于經(jīng)線的分量⊥，相應(yīng)的科里奧利力為

FC∥=2m∥×ω

(18)

FC⊥=2m⊥×ω

(19)

當(dāng)飛機(jī)航向與緯線夾角為χ，飛機(jī)所在點(diǎn)的緯度為α?xí)r，兩個(gè)力的大小分別為

式(18)給出的科里奧利力分量還可以分解出徑向分量，徑向?yàn)榈匦牡斤w機(jī)的連線方向，也就是鉛垂方向，式(18)給出的力經(jīng)過投影，由式(20)可得徑向分量FC∥徑向，

FC∥徑向=2mvωcosχcosα

(22)

現(xiàn)以北半球的航行為例，討論兩個(gè)特殊情況下的科里奧利力效應(yīng)。

(1) 當(dāng)飛機(jī)沿赤道向東飛行時(shí)，根據(jù)式(14)，可判斷出飛機(jī)受到的科里奧利力是背離地心向上的，如圖2所示，根據(jù)公式(22)，F(xiàn)C∥徑向=2mvωcos0cos0=2mvω，根據(jù)式(15)、 式(16)給出的數(shù)值，此力大約可使飛機(jī)減重0.4%；同理，當(dāng)飛機(jī)沿著赤道自東向西飛行時(shí)，科里奧利力也可使飛機(jī)略微增重。

圖2 飛機(jī)沿赤道向東飛行時(shí)受到的科里奧利力示意圖

類似地，艦載機(jī)在位于緯度α的航母上自西向東起飛也會(huì)獲得微小的助力。根據(jù)式(22)，此時(shí)飛機(jī)受到徑向的科里奧利力的大小為FC∥徑向=2mvωcosα，但由于艦載機(jī)起飛速度(約200km/h)約為客機(jī)高空巡航速度的1/5，且當(dāng)不在赤道上，cosα<1，科里奧利力徑向分量會(huì)減小，相對減重效果(或升力相對增加)僅為10-3數(shù)量級。相比較而言，由于飛機(jī)飛行時(shí)受到的升力與飛機(jī)對空氣速度的平方成正比[5]，若航母以30節(jié)航速(約50km/h)迎風(fēng)航行，艦載機(jī)也迎風(fēng)起飛，可得到升力的相對增加在10-1數(shù)量級。

圖3 北半球飛機(jī)沿經(jīng)線向北飛行所受科里奧利力示意圖

同理，當(dāng)飛機(jī)在南半球沿著經(jīng)線向北或者向南飛行時(shí)，根據(jù)式(14)可知，此時(shí)科里奧利力的方向總是指向前進(jìn)方向的左側(cè)。具體實(shí)例的討論從略。

3 地球自轉(zhuǎn)對飛行的影響——高空急流

第二次世界大戰(zhàn)末期，美國飛行員在日本上空的對流層頂部附近向西飛行時(shí)，遇到一股高速氣流，以至于難以航行，后來經(jīng)氣象學(xué)家的研究，認(rèn)識到高空急流西風(fēng)的存在。

高空急流位于對流層頂部附近[6]，速度約為160km/h，在南北半球各有一條極地急流(Polar Jet)和一條副熱帶急流(Subtropical Jet)，北半球的極地急流覆蓋了北美、歐洲和亞洲的中高緯地區(qū)，恰處于航班飛行的繁忙區(qū)域。

客機(jī)巡航飛行高度通常選擇在地球大氣對流層的頂部，即平流層區(qū)域，因?yàn)檫@里氣流較穩(wěn)定，空氣較稀薄，空氣阻力較小，利于飛機(jī)經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)飛行。

對流層頂部區(qū)域的西風(fēng)急流的成因很復(fù)雜。一個(gè)主要的、全球性的原因是地球的自轉(zhuǎn)造成了地球表面受太陽照射加熱的區(qū)域持續(xù)地由東向西移動(dòng)，接受到陽光的區(qū)域空氣溫度升高、密度降低，壓力下降；而將要被太陽照射到的黑暗區(qū)域的空氣溫度較低，密度較高，壓力較高，致使空氣從黑暗的高氣壓區(qū)向著有陽光的低氣壓區(qū)運(yùn)動(dòng)，形成地球尺度的由西向東的大氣環(huán)流。

還有另外一個(gè)重要的因素，赤道平均日照量比南北極多，整體上氣溫比較高，赤道區(qū)域上升的熱空氣在高空分別向南和向北流動(dòng)，根據(jù)式(14)可判定，在科里奧利力作用下，上述的南半球氣流和北半球氣流都會(huì)持續(xù)獲得自西向東的速度增量，這也是西風(fēng)急流的一個(gè)成因。

高空急流速度約160km/h，風(fēng)向主流自西向東，有時(shí)偏南或偏北，航班客機(jī)相對于空氣的速度約為1000km/h。飛機(jī)從北京飛往巴黎時(shí)逆風(fēng)，約飛行11h，回來時(shí)順風(fēng)，約飛行10h，相對差別在10-1數(shù)量級。

類似地，與北京緯度相當(dāng)?shù)臇|京在東方約2000km，從北京飛往東京要快些，返程時(shí)要慢些，返程航行時(shí)間大約多半個(gè)小時(shí)；烏魯木齊在北京以西約2600km，從北京飛往烏魯木齊要慢些，從烏魯木齊飛往北京時(shí)要快些，約少用0.5h，而北京與南方的廈門兩地飛行距離約1700km，飛行方向大致與高空急流方向垂直，客機(jī)往返的時(shí)間基本相同。

總之，地球自轉(zhuǎn)導(dǎo)致的太陽對地球表面照射的不均勻所引起的大氣環(huán)流，是航班往返時(shí)間有所不同的主要原因，而地球自轉(zhuǎn)引發(fā)的科里奧利力效應(yīng)對飛行的直接影響較弱，比上述的大氣環(huán)流的影響要小一個(gè)數(shù)量級到兩個(gè)數(shù)量級。