朱曉梅 向偉銘 姜向東

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756)

牛頓環(huán)是光的一種薄膜干涉圖樣，最早是由牛頓于1675年首先觀察得到的，當(dāng)用單色光照射牛頓環(huán)裝置時(shí)，在視覺上為一系列明暗相間的同心圓環(huán)。這些圓圈的距離不同，隨著到中心點(diǎn)的距離增加而逐漸變窄，它們是由球面上與平面上反射的光線相互干涉而形成的干涉條紋。以往實(shí)驗(yàn)室通常使用的逐差法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，過程較為繁雜，其計(jì)算結(jié)果也不夠準(zhǔn)確。在牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)中獲得的某組數(shù)據(jù)通過逐差法計(jì)算牛頓環(huán)透鏡曲率，其相對(duì)擴(kuò)展不確定度為0.82%，由于“逐差”先兩兩相減使得自由度減半，即重復(fù)測量或組合測量時(shí)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差所用的獨(dú)立殘差個(gè)數(shù)減半，未能充分利用測得的有效數(shù)據(jù)信息，這不符合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)隨機(jī)化原則的思路。本文通過線性擬合法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并利用GUI建立一個(gè)可進(jìn)行數(shù)值分析以及圖像動(dòng)態(tài)分析的交互式界面，不僅可以得到更精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其相對(duì)擴(kuò)展不確定度為0.65%，還能結(jié)合實(shí)際選擇牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)參量以觀察到不同的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，簡便易行，應(yīng)用范圍廣。

1 牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)理論

牛頓環(huán)裝置如圖1所示，牛頓環(huán)干涉的明暗條紋條件滿足：

得到牛頓環(huán)暗紋公式[1]

由于單色光的波長λ已知，測量得到第k級(jí)的暗環(huán)半徑，可以計(jì)算得到牛頓環(huán)凸透鏡的曲率半徑。由于中心切點(diǎn)處的壓力形變或殘留粉塵作用，實(shí)際方程式由上式修正為

(1)

圖1 牛頓環(huán)裝置示意圖e指的是牛頓環(huán)裝置中的凸透鏡和底面平板之間的厚度距離

2 傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法——逐差法

考慮到凸透鏡和平面鏡表面的塵埃和凹陷，以及波長誤差、平晶不平度、部分余弦(投影)誤差、被測面偏離理想球面等誤差使得顯微鏡觀察下的牛頓環(huán)中心將會(huì)是一個(gè)圓斑。于是改為測量牛頓環(huán)的各暗環(huán)直徑即可避免這種誤差。若求得了第m級(jí)及第n級(jí)的暗環(huán)直徑Dm,Dn，記m-n=25即可得到計(jì)算公式：

(2)

此時(shí)已知單色光源為鈉光燈，其波長λ=589.3nm，通過逐差法即可計(jì)算得到曲率半徑R。具體的逐差法計(jì)算結(jié)果見表2所示。(其中XL,XR分別表示某暗環(huán)中心在牛頓環(huán)左側(cè)和右側(cè)的位置)

表1 牛頓環(huán)各級(jí)暗環(huán)半徑位置記錄表

表2 逐差法處理數(shù)據(jù)結(jié)果

(3)

其中UDka即瞄準(zhǔn)誤差限，通常是直徑測量不確定度的主要因素之一[3]。

先考慮到儀器誤差限帶來的B類不確定度分量，實(shí)驗(yàn)使用的是含有滾珠絲桿和1級(jí)螺紋副的測量顯微鏡，其誤差限ΔINS≈0.05,由B類儀器誤差限分量的相對(duì)不確定度公式得到B類相對(duì)不確定度第一項(xiàng)分量：

再考慮到瞄準(zhǔn)誤差限帶來的B類不確定度分量，由B類瞄準(zhǔn)誤差限分量的相對(duì)不確定度公式得到B類相對(duì)不確定度第二項(xiàng)分量：

下面計(jì)算逐差法的B類方和根，使用擴(kuò)展不確定度的計(jì)算公式[2]：

其中t為自由度ν=n-1=4，在置信水平0.95時(shí)的學(xué)生氏t分布的值，滿足下列公式

(4)

B類相對(duì)不確定度合成為

此外，符合1-α=0.95的A類相對(duì)擴(kuò)展不確定度為tsb1/b1=0.8%

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的改進(jìn)技術(shù)和方法

考慮到“逐差”先兩兩相減使得自由度減半，因而未能充分利用測得的有效數(shù)據(jù)信息。并且其操作計(jì)算步驟不具有簡便性。由式(1)知：

將離散的牛頓環(huán)曲率半徑平方值與暗環(huán)級(jí)數(shù)畫在一個(gè)坐標(biāo)圖中，如圖2所示。

圖2 牛頓環(huán)暗環(huán)半徑平方與暗環(huán)級(jí)數(shù)散點(diǎn)圖

由圖2知二者近似地成一次關(guān)系。對(duì)這些離散的點(diǎn)進(jìn)行線性擬合所得曲線的斜率代表凸透鏡曲率半徑R和單色入射光的波長λ之乘積。因此牛頓環(huán)凸透鏡曲率半徑R亦可通過線性擬合法計(jì)算得出。

4 線性擬合處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)上述計(jì)算原理計(jì)算得到最后的擬合結(jié)果，通過自制的GUI界面直觀方便地呈現(xiàn)，如圖3所示。

圖3 牛頓環(huán)曲率半徑計(jì)算GUI界面

計(jì)算透鏡曲率半徑值為：R=873.15mm。

針對(duì)瞄準(zhǔn)誤差限帶來的B類不確定度分量，由線性擬合斜率擴(kuò)展不確定度的計(jì)算公式[2]：

sb1為擬合直線斜率b1的標(biāo)準(zhǔn)差。滿足下式：

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析對(duì)比

對(duì)兩種處理得到結(jié)果的相對(duì)不確定度進(jìn)行分析比較，由相對(duì)不確定度的計(jì)算公式：

(5)

表3 逐差法和線性擬合處理數(shù)據(jù)相對(duì)擴(kuò)展不確定度的對(duì)比表

6 牛頓環(huán)圖像動(dòng)態(tài)分析模擬

除了上述數(shù)值分析的模擬之外，對(duì)牛頓環(huán)圖像的分析也可通過該GUI界面進(jìn)行模擬。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行牛頓環(huán)圖像的仿真處理[4]， 僅考慮通過對(duì)干涉光強(qiáng)的模擬而繪制圖像，并未結(jié)合實(shí)際情況中入射單色光波長與凸透鏡曲率半徑的取值，造成圖像分析較為片面?？紤]到實(shí)際選取的入射光波長有一定的取值范圍，該界面提供兩種波長的選取方式?？梢阅M實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)的常用單色光，如鈉燈、汞燈，通過彈出式菜單即可選??；亦可通過滑動(dòng)條任意選取位于可見光范圍內(nèi)的波長。移動(dòng)各滑動(dòng)條就可以改變凸透鏡的曲率半徑取值。

牛頓環(huán)圖像的模擬選取波長為420nm的單色光照射，凸透鏡的曲率半徑為520mm，得到牛頓環(huán)圖像如圖4所示。實(shí)測暗環(huán)第5環(huán)、第15環(huán)、第25環(huán)的直徑依次是：2.087mm、3.621mm、4.669mm。

圖4 初始牛頓環(huán)圖像

圖5 改變曲率半徑參量后的牛頓環(huán)圖像

控制波長不變，增大凸透鏡的曲率半徑至1325.5mm，得到牛頓環(huán)圖像如圖5所示。實(shí)測暗環(huán)第5環(huán)、第15環(huán)、第25環(huán)的直徑依次是：3.335mm、5.778mm、7.457mm。

控制曲率半徑不變，增加單色光的波長至739.6nm，得到的牛頓環(huán)圖像如圖6所示。實(shí)測暗環(huán)第5環(huán)、第15環(huán)、第25環(huán)的直徑依次是：2.772mm、4.804mm、6.196mm。

圖6 改變單色光波長參量后的牛頓環(huán)圖像

可見由GUI界面所呈現(xiàn)的牛頓環(huán)圖像得到得以下結(jié)論均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符：

(1) 若控制單色光波長參量不變，牛頓環(huán)各環(huán)半徑將隨著凸透鏡曲率半徑的增大而增大。

(2) 若控制凸透鏡曲率半徑參量不變，牛頓環(huán)各環(huán)半徑將隨著單色光波長的增大而增大。

7 結(jié)語

采用線性擬合法從相對(duì)不確定度的相關(guān)理論處理牛頓環(huán)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到結(jié)果的相對(duì)擴(kuò)展不確定度為0.65%，更精確且符合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)隨機(jī)化原則的思路。并且采用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的數(shù)值與圖像模擬，將實(shí)驗(yàn)室中繁雜的測量、計(jì)算、數(shù)據(jù)處理過程通過簡單的GUI界面表示，排除實(shí)驗(yàn)過程中遇到的包括透鏡與平面鏡之間的壓力形變以及調(diào)整實(shí)驗(yàn)參量進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析較困難的問題。通過計(jì)算機(jī)模擬與GUI界面的結(jié)合，提高實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確程度，便于總結(jié)牛頓環(huán)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，可以得到更廣泛的應(yīng)用。

致謝: 本文在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度分析方面得到了清華大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心朱鶴年教授的悉心指導(dǎo)，在此表示對(duì)朱教授的真誠感謝。

本文在選題、研究和修改過程中得到了西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心姜向東教授的支持和幫助，在此表示對(duì)姜老師的真誠感謝。