鮑志暉，李 玲

（黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽黃山245041）

對(duì)Weibull分布場(chǎng)合加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析，大多數(shù)文獻(xiàn)討論的均是正常應(yīng)力水平下可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)，常采用的方法是極大似然估計(jì)（MLE）法[1]和貝葉斯（Bayes）法[2-4]，討論區(qū)間估計(jì)的文獻(xiàn)較少.在此基礎(chǔ)上若對(duì)正常應(yīng)力水平下可靠性指標(biāo)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，往往利用參數(shù)的漸近正態(tài)性，從而得到可靠性指標(biāo)的近似置信區(qū)間[1，5].文獻(xiàn)[6]針對(duì)Weibull分布下單應(yīng)力恒加試驗(yàn)中的可靠性指標(biāo)提出了一種較為精確的參數(shù)估計(jì)方法，即構(gòu)造某些樞軸量，并利用Monte-Carlo法計(jì)算出樞軸量的分位點(diǎn)，從而得到正常應(yīng)力水平下可靠性指標(biāo)的置信區(qū)間.目前絕大多數(shù)文獻(xiàn)針對(duì)Weibull分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析主要討論單應(yīng)力的情形，而雙應(yīng)力恒加試驗(yàn)較之單應(yīng)力恒加試驗(yàn)在加速模型上要復(fù)雜不少，因單應(yīng)力恒加試驗(yàn)中加速模型只有兩個(gè)參數(shù)，而雙應(yīng)力恒加試驗(yàn)中加速模型有四個(gè)參數(shù).以下將文獻(xiàn)[6]中的方法推廣到Weibull分布下雙應(yīng)力恒加試驗(yàn)的場(chǎng)合，同時(shí)在相關(guān)定理的證明上也給出了較為便捷的方法.

1 基本假定

A1加速應(yīng)力S(1)和S(2)的加速應(yīng)力水平分別為：

A2在lk個(gè)加速應(yīng)力水平組合下各安排一個(gè)壽命試驗(yàn).從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)樣品，分為lk組，在(i,j)下的樣品數(shù)為nij，有.在(i,j)下對(duì)nij個(gè)樣品進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，截尾數(shù)rij，所得截尾樣本為：

A3各應(yīng)力水平組合下的壽命均服從Weibull分布，即Tij～W(mij,ηij) ，其分布函數(shù)為：

諸mij＞0為形狀參數(shù)，諸ηij為特征壽命.

A4在各應(yīng)力水平組合下產(chǎn)品的失效機(jī)理不變，即：

A5特征壽命ηij與兩個(gè)加速應(yīng)力水平和間的加速模型為：

其中β0,β1,β2,β3為待估參數(shù)，φ1,φ2,φ3常為已知函數(shù)，上式最后一項(xiàng)為兩個(gè)應(yīng)力間的交互作用[7].

2 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

對(duì)可靠性指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)是建立在參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)基礎(chǔ)上的，故需先討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).

由Tij～W(mij,ηij) 可得：Xij=lnTij～G(μij,σij)（極值分布），其分布函數(shù)為：

以下以BLUE（最佳線性無偏估計(jì)）為例進(jìn)行討論，GLUE（簡(jiǎn)單線性無偏估計(jì)）可類似討論.

由文獻(xiàn)[8]可知，當(dāng)nij≤25時(shí)，μij和σij的BLUE為：

其中BLUE系數(shù)C(nij,rij,v)，D(nij,rij,v) 及BLUE方差系數(shù)Arij,nij，lrij,nij數(shù)值可查文獻(xiàn)[9].

前述基本假定A4中，各水平組合下mij相等，即相等，由于試驗(yàn)的隨機(jī)性，所得σ不可ij能完全相等，考慮由lk個(gè)求得一個(gè)共同σ的估計(jì)，從而得m=1的估計(jì).σ

由高斯-馬爾可夫定理，可得β的BLUE為：

設(shè)(X'A-1X)-1=C=(Cij)，則

3 正常應(yīng)力水平組合下可靠性指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)

對(duì)正常應(yīng)力水平組合(0 ,0)下可靠性指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)一般地是建立在以作為的近似分布前提下，所得到的是近似的置信區(qū)間.以下將文獻(xiàn)[6]中的方法推廣到Weibull分布下雙應(yīng)力恒加試驗(yàn)場(chǎng)合.

3.1 兩個(gè)定理

定理1統(tǒng)計(jì)量的分布與參數(shù)無關(guān).

證明：

其分布與參數(shù)無關(guān).

定理2統(tǒng)計(jì)量的分布與參數(shù)無關(guān).

證明：

則μ=Xβ

又

故

Wβ0的分布與參數(shù)無關(guān).

3.2 m的區(qū)間估計(jì)

m的1-α單側(cè)置信下限為：

3.3 特征壽命的區(qū)間估計(jì)

由加速模型可知：

令

即W與同分布.

由定理2可知W的分布與參數(shù)無關(guān).設(shè)其下p分位數(shù)為Wp，則可得μ00的1-α置信區(qū)間為，1-α單側(cè)置信上限為.

η00的1-α單側(cè)置信下限為：

3.4 可靠壽命的單側(cè)置信下限估計(jì)

在正常應(yīng)力水平組合(0 ,0)下可靠度為r的可靠壽命.

設(shè)

令

又因?yàn)閃與V的分布與參數(shù)無關(guān)，故R的分布亦與參數(shù)無關(guān).設(shè)R的下p分位數(shù)為Rp，則可得Xr的1-α單側(cè)置信下限為

由Xr=lntr可得tr的1-α單側(cè)置信下限為：

3.5 加速系數(shù)的區(qū)間估計(jì)

加速應(yīng)力水平組合(i,j)對(duì)正常應(yīng)力水平組合(0 ,0)的加速系數(shù)為

則

設(shè)

令

由定理2可知M的分布與參數(shù)無關(guān).設(shè)M的下p分位數(shù)為Mp，則可得Y的1-α置信區(qū)間為，Y的1-α單側(cè)置信下限為.

由Y=lnτij～00可得τij～00的1-α置信區(qū)間為

τij～00的1-α單側(cè)置信下限為

3.6 例證

以溫度T和電壓V作為兩個(gè)加速應(yīng)力作定數(shù)截尾恒加試驗(yàn)，壽命服從Weibull分布，應(yīng)力水平如下：T0=353,T1=373,T2=388,T3=403,T4=415；V0=100,V1=200,V2=300,V3=400

在其中6個(gè)加速應(yīng)力水平組合下安排了試驗(yàn)，結(jié)果如下：

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 中間計(jì)算結(jié)果

得σ的無偏估計(jì)，則

若以近似正態(tài)性來作區(qū)間估計(jì)，則?近似服從，其1-α近似置信區(qū)間為

取α=0.10，可算得σ的90%置信區(qū)間為(0.4079,0.9891)

進(jìn)而可得m的90%置信區(qū)間為(1.0110,2.4516).

表3 分位數(shù)Vp

取α=0.10，可得m的90%置信區(qū)間為(0.9341,2.0000).

與用近似正態(tài)性所得的置信區(qū)間相比較，該區(qū)間估計(jì)的精度有所提高.

另再取α=0.05和α=0.01，每個(gè)置信度下均采用兩種區(qū)間估計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表所示：

表4 兩種區(qū)間估計(jì)方法結(jié)果比較

對(duì)比以上兩種方法的區(qū)間估計(jì)結(jié)果可知，在同一置信度下，本區(qū)間估計(jì)方法的精度較之于近似正態(tài)性的方法均有提高，且置信度越高，精度上的優(yōu)勢(shì)越明顯。