數(shù)與代數(shù)

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)不到位。

教師在“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)過(guò)程中，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)能真正理解具體數(shù)量和份數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

2.數(shù)量分率理解不清晰。

學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程中，沒(méi)有真正認(rèn)清什么樣的數(shù)表示具體的數(shù)量，什么樣的數(shù)表示分率，學(xué)習(xí)的過(guò)程沒(méi)有結(jié)合具體情境來(lái)分辨兩者的區(qū)別。

3.知識(shí)之間銜接有欠缺。

分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)間隔的時(shí)間較長(zhǎng)，在學(xué)生心中沒(méi)有形成一個(gè)真正的知識(shí)體系，造成了知識(shí)間銜接不緊湊，遺忘也是導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)有真正能夠理解分?jǐn)?shù)意義的重要原因。

【對(duì)策】

1.注重知識(shí)之間的建構(gòu)。

教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義的時(shí)候，可以結(jié)合生活實(shí)際來(lái)區(qū)分分率和數(shù)量之間的不同，還應(yīng)該結(jié)合畫(huà)圖的策略幫助學(xué)生建立起分率和數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.強(qiáng)化知識(shí)之間的銜接。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的各個(gè)階段，要合理強(qiáng)化前后知識(shí)的串聯(lián)，使得學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的意義，內(nèi)化為自己的知識(shí)，并能用較準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)自己對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

【練習(xí)】

(1)把2米長(zhǎng)的繩子平均分成5段，每段長(zhǎng)度相當(dāng)于1米的（ ）；2段這樣的繩子長(zhǎng)（ ）米。

A.第一根長(zhǎng) B.第二根長(zhǎng)

C.兩根一樣長(zhǎng) D.無(wú)法比較

【錯(cuò)例】

（1）A和B都是自然數(shù)（0除外），且A÷B=4。那么，A和B的最大公因數(shù)是（ 4）。

（2）A和B是相鄰自然數(shù)（0除外）。那么，A和B的最大公因數(shù)是（ A）；A和B的最小公倍數(shù)是（ B）。

【診斷】

1.知識(shí)本質(zhì)理解不清晰。

題目中只給了兩個(gè)抽象的字母，學(xué)生不能實(shí)現(xiàn)從抽象到具體的轉(zhuǎn)換，例如第（1）題學(xué)生沒(méi)有弄清A÷B=4表示兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，即A是B的倍數(shù)（B是A的因數(shù)）。

2.思維定勢(shì)的影響。

學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，受第（1）題的影響，錯(cuò)誤地以為第（2）題答案不是A就是B，沒(méi)有思考當(dāng)A和B是相鄰自然數(shù)時(shí)，兩個(gè)字母所表示數(shù)的關(guān)系并非倍數(shù)關(guān)系，而是互質(zhì)關(guān)系。

【對(duì)策】

1.深化知識(shí)本質(zhì)，辨析數(shù)學(xué)概念。

在教學(xué)“數(shù)的整除”這部分知識(shí)時(shí)，除了借助列舉的方法找出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，還應(yīng)該幫助學(xué)生厘清兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，概括出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)與這兩個(gè)數(shù)關(guān)系之間的規(guī)律。

2.鼓勵(lì)大膽設(shè)疑，完善思維過(guò)程。

教師在解決此類問(wèn)題之后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證，深化理解，活用知識(shí)。讓學(xué)生自己舉出相關(guān)例子，來(lái)驗(yàn)證所填寫(xiě)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)是不是符合這樣的特點(diǎn)。

【練習(xí)】

（1）A和B都是自然數(shù)（0除外），且A=3B。那么A和B的最大公因數(shù)是（ ），A和B的最小公倍數(shù)是（ ）。

（2）所有偶數(shù)（0除外）的最大公因數(shù)是（ ）。

【錯(cuò)例】

一個(gè)三位小數(shù)，保留兩位小數(shù)約是3.00。這個(gè)三位小數(shù)最大是3.001，最小是2.999。

【診斷】

1.考慮問(wèn)題不夠全面。

學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，雖然注意到了保留兩位小數(shù)后約是3.00，但忽略了“最大”和“最小”這兩個(gè)關(guān)鍵詞，沒(méi)有真正地利用“四舍五入”的方法來(lái)解決問(wèn)題，沒(méi)有把所有符合的情況一一列舉出來(lái)，進(jìn)而選出符合要求“最大”和“最小”的這兩個(gè)數(shù)。

2.學(xué)生數(shù)感比較薄弱。

學(xué)生生活中雖然接觸小數(shù)，但是運(yùn)用小數(shù)的改寫(xiě)和省略的機(jī)會(huì)不多，掌握起來(lái)相對(duì)比較困難，只是憑自己的直觀感覺(jué)得到這兩個(gè)數(shù)。憑感覺(jué)得出的結(jié)果往往是不全面的，甚至是錯(cuò)誤的。

3.逆向思維訓(xùn)練不夠。

在我們平時(shí)教學(xué)中，往往只是強(qiáng)調(diào)“把一個(gè)數(shù)保留幾位小數(shù)”“把一個(gè)小數(shù)精確到百分位”等這樣的正向思維訓(xùn)練，缺少逆向思維的訓(xùn)練，比如：一個(gè)兩位小數(shù)保留一位小數(shù)后是10.0，這個(gè)兩位小數(shù)可能是多少。從而導(dǎo)致學(xué)生在解決此類問(wèn)題的時(shí)候，經(jīng)常是胡亂地填寫(xiě)一個(gè)結(jié)果。

【對(duì)策】

1.優(yōu)化學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生思維。

在教學(xué)中，教師要盡量避免讓學(xué)生死記硬背的學(xué)習(xí)方式，要想方設(shè)法激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，穿插順向思維和逆向思維練習(xí)的訓(xùn)練，把問(wèn)題拋給學(xué)生，增加探究的成分。

2.注重思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練。

在課堂上，如果學(xué)生給出了不盡合理或不夠完善的答案，作為教師，此時(shí)我們不應(yīng)該立即給出判斷，可以用這樣的語(yǔ)言去啟發(fā)學(xué)生：“你再想一想，是不是還有其他的可能性？”“其他同學(xué)可以再思考一下，他的結(jié)果是不是完全符合題目的要求呢？”長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的思維會(huì)變得更開(kāi)闊、更嚴(yán)密。

【練習(xí)】

（1）一個(gè)整數(shù)四舍五入到萬(wàn)位大約是4萬(wàn)，這個(gè)整數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

（2）一個(gè)一位小數(shù)精確到個(gè)位大約是4，符合這樣的要求的數(shù)一共有（ ）個(gè)。

【錯(cuò)例】

（1）5.4+6=6

（2）0.3×0.2=0.6

【診斷】

1.算理掌握不牢。

學(xué)生對(duì)小數(shù)計(jì)算的算理理解不到位，沒(méi)有真正掌握算法。第（1）題是小數(shù)的數(shù)位概念還沒(méi)有真正建立，小數(shù)加減法的計(jì)算法則掌握不牢，受整數(shù)加減法算法的影響，誤以為小數(shù)加減法計(jì)算方法也是末位對(duì)齊。第（2）題中，學(xué)生受小數(shù)加減法的影響，誤認(rèn)為是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

2.學(xué)習(xí)體驗(yàn)?zāi)w淺。

學(xué)生不能從小數(shù)的計(jì)算活動(dòng)中獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，只是根據(jù)自己的判斷，隨便地確定小數(shù)點(diǎn)的位置，計(jì)算時(shí)比較盲目、隨意，導(dǎo)致簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤率較高。

【對(duì)策】

1.自主探究，經(jīng)歷過(guò)程體驗(yàn)。

在教學(xué)過(guò)程中，教師要主動(dòng)放手，讓學(xué)生自主探究小數(shù)的計(jì)算法則，引導(dǎo)學(xué)生借助小組合作的形式來(lái)探究計(jì)算法則的過(guò)程，在“合作交流”的過(guò)程中，交流分享知識(shí)形成的過(guò)程，從而讓學(xué)生真正理解小數(shù)計(jì)算的法則。

2.注重對(duì)比，強(qiáng)化反思習(xí)慣。

在學(xué)生基本掌握算法能夠獨(dú)立完成小數(shù)的四則計(jì)算后，教師可以安排題組對(duì)比練習(xí)，如：“5.4+6=”和“5.4+0.6=”,“0.3×0.2=”和“0.3×2=”。讓學(xué)生先計(jì)算，再比較算法和算理以及計(jì)算的結(jié)果上有什么區(qū)別和聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的反思意識(shí)、主動(dòng)驗(yàn)算的意識(shí)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【練習(xí)】

（1）8+3.2=

（2）0.4×0.3的積是（ ）位小數(shù)。

【錯(cuò)例】

4.7÷0.8的商是（ 5），余數(shù)是（ 7）。

【診斷】

1.忽視算理的理解。

教學(xué)過(guò)程中，教師只是重視了計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果，但是忽視了相關(guān)算理的理解，教學(xué)時(shí)只是重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，按整數(shù)除法的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算”這一計(jì)算操作方法，卻忽視了余數(shù)所表示的實(shí)際意義，計(jì)算過(guò)程的探究缺少算理的支撐。

2.輕視結(jié)果的驗(yàn)證。

在小數(shù)除法計(jì)算的時(shí)候，結(jié)果的驗(yàn)證往往是比較困難的，學(xué)生只是憑自己的直觀感覺(jué)得出余數(shù)是多少。其實(shí)這道題的被除數(shù)只有4.7，除數(shù)是0.8，余數(shù)不可能比除數(shù)大，學(xué)生只是根據(jù)轉(zhuǎn)化之后的除法豎式，看到余數(shù)是“7”，而實(shí)際上，這里的“7”所在數(shù)位是十分位，不是個(gè)位。

【對(duì)策】

1.自主探究算理，強(qiáng)化計(jì)算技能。

在教學(xué)中，教師在放手讓學(xué)生自主探究“除數(shù)是小數(shù)的除法”的計(jì)算法則時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生交流、分享在計(jì)算過(guò)程中遇到的困惑，特別是商所在的位置以及每一步的余數(shù)所表示的意義，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)每一步的余數(shù)所表示的意義。

2.注重方法引導(dǎo)，重視結(jié)果驗(yàn)證。

除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算，學(xué)生往往不去深究每一步算的是什么，這時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中仔細(xì)觀察余數(shù)與被除數(shù)的關(guān)系。特別是轉(zhuǎn)化之后的算式，結(jié)果大約是多少，學(xué)生要做到心里有數(shù)。同時(shí)，要提醒學(xué)生計(jì)算完之后，進(jìn)行必要的驗(yàn)算。這樣的過(guò)程看似多余，卻必不可少。

【練習(xí)】

下面的4道算式中，與“3.48÷12”結(jié)果相等的是（ ）。

A.348÷12 B.34.8÷120

C.348÷1.2 D.0.348÷0.12

【錯(cuò)例】

在括號(hào)里填上合適的計(jì)量單位。

（1）一瓶眼藥水的容積大約是0.01（毫升）。

（2）我們學(xué)校的占地面積大約是4.5（平方千米）。

【診斷】

1.缺乏生活體驗(yàn)。

對(duì)于常用的計(jì)量單位的填寫(xiě)，學(xué)生不容易出錯(cuò)，那是因?yàn)閷W(xué)生在平時(shí)生活中經(jīng)常接觸到這些計(jì)量單位。而對(duì)于一些不常接觸的計(jì)量單位，如：公頃、平方千米等，學(xué)生填寫(xiě)就覺(jué)得比較困難。

2.缺少思維方法。

對(duì)于一些距離學(xué)生生活實(shí)際比較遠(yuǎn)的計(jì)量單位，學(xué)生只是憑自己直觀的感覺(jué)去想象，比如第（1）題，學(xué)生通常想到的是眼藥水瓶容積很小，應(yīng)該以毫升為單位，卻忽視了“0.01”這個(gè)數(shù)，沒(méi)有深入思考“0.01毫升”究竟是多少。要引導(dǎo)學(xué)生先回憶1毫升有多少，再思考：一瓶眼藥水的容積是0.01毫升，合適嗎？

【對(duì)策】

1.結(jié)合生活實(shí)際，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)。

教學(xué)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，多舉一些生活中的實(shí)例。對(duì)于一些不常見(jiàn)的計(jì)量單位，在課堂上，教師可以結(jié)合周邊的事物去比較，如：1毫升（即1立方厘米）有自己的大拇指指尖那么大，1升（即1立方分米）有兩個(gè)粉筆盒那么大，1立方米比自己家的餐桌所占的空間大一些等，1公頃有我們學(xué)校操場(chǎng)面積那么大，1平方千米有100個(gè)操場(chǎng)那么大。幫助學(xué)生形成直觀的體驗(yàn)，真正做到合理使用這些計(jì)量單位。

2.注重知識(shí)對(duì)比，形成直觀體驗(yàn)。

單元知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)束后，要對(duì)所學(xué)的計(jì)量單位進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，建立幾種計(jì)量單位之間的知識(shí)體系，明白這些計(jì)量單位應(yīng)用在哪里更加合理，同時(shí)還要注意把“數(shù)”和“量”綜合考量，準(zhǔn)確界定其大小。另外，長(zhǎng)度單位和面積單位及體積（容積）單位也要進(jìn)行比較，讓學(xué)生明白它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。借助比較，讓學(xué)生對(duì)這些計(jì)量單位有更深刻的認(rèn)知。

【練習(xí)】

（1）我們教室地面一塊地磚的面積大約是2500（ ）。

A.平方厘米 B.平方分米

C.平方米 D.公頃

（2）河北省的占地面積大約是18.88萬(wàn)（ ）。

A.千米 B.公頃

C.平方米 D.平方千米

【錯(cuò)例】

（1）1.2×0.8÷1.2×0.8

=0.96÷0.96

=1

（2）2.4+3.6÷0.72-0.22

=6÷0.5

=12

【診斷】

1.錯(cuò)誤的“強(qiáng)”信息的干擾。

在學(xué)習(xí)了運(yùn)算律和性質(zhì)以后，“能簡(jiǎn)便計(jì)算的要簡(jiǎn)便計(jì)算”在學(xué)生的大腦中留下了深刻的印象。當(dāng)遇到與“強(qiáng)”信息相類似的外來(lái)信息時(shí)，原有的強(qiáng)信息將會(huì)被進(jìn)一步激活，從而淡化原有的信息。特別是當(dāng)算式中出現(xiàn)了能“湊整”的情況下，如第（2）題中學(xué)生看到“2.4+3.6=6”“0.72-0.22=0.5”，就誤以為可以把“湊整”的數(shù)直接進(jìn)行計(jì)算，卻不顧及正確的運(yùn)算順序，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。

2.正確的“弱”信息的消退。

教師在教學(xué)過(guò)程中，過(guò)分強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算律和性質(zhì)的使用，從而淡化了四則混合運(yùn)算的基本法則。其實(shí)計(jì)算法則才是混合運(yùn)算的真正核心所在，學(xué)生在沒(méi)有真正掌握計(jì)算法則的基礎(chǔ)上就進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，當(dāng)然會(huì)出現(xiàn)被貌似“湊整”的式子所“忽悠”的現(xiàn)象了。

【對(duì)策】

1.突出算理，形成知識(shí)技能。

在平時(shí)教學(xué)中，無(wú)論是口算、估算、筆算，還是混合運(yùn)算（簡(jiǎn)便計(jì)算），教師都應(yīng)幫助學(xué)生樹(shù)立以“理”解題的觀念。口算筆算要有算理，混合運(yùn)算要以法則、規(guī)律或性質(zhì)為支撐。脫離了算理來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，那只是學(xué)生的一廂情愿。另外在進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算教學(xué)時(shí)，最好把不能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算和能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的習(xí)題同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生在對(duì)比中形成正確使用運(yùn)算律的技能。

2.轉(zhuǎn)變思想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

通過(guò)簡(jiǎn)便計(jì)算的學(xué)習(xí)，不僅僅讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔便利，還能夠感受到數(shù)學(xué)思維的靈活性，但是千萬(wàn)不能讓學(xué)生步入“簡(jiǎn)便計(jì)算就是‘湊整’”的誤區(qū)。針對(duì)這一現(xiàn)象，一方面，教師一定要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)計(jì)算法則和運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)和理解，另一方面，還需引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣。

【練習(xí)】

下列各題能簡(jiǎn)便計(jì)算的就簡(jiǎn)便計(jì)算。

（1）16.8-4.8÷4×2.5

（2）3.8×4.99-49.9×0.18

【錯(cuò)例】

（1）正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例。（√）

（2）在同一時(shí)間同一地點(diǎn)，物體的高度和影子的長(zhǎng)度成正比例。（×）

【診斷】

1.概念不清，公式不牢。

正反比例知識(shí)是初中數(shù)學(xué)一元一次函數(shù)的“雛形”，對(duì)于這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，有助于幫助學(xué)生豐富對(duì)函數(shù)的感受，更有助于理解常用的數(shù)量關(guān)系。在教學(xué)過(guò)程中往往對(duì)一些概念性的知識(shí)交待不到位，如“定量”“變量”“一定”等數(shù)學(xué)名詞學(xué)生感到抽象陌生，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)當(dāng)然是困難重重。另外，學(xué)生對(duì)以往學(xué)過(guò)的數(shù)量關(guān)系式和數(shù)學(xué)公式記憶不牢，公式之間的轉(zhuǎn)換混淆不清。

2.核心問(wèn)題沒(méi)有抓住。

無(wú)論是成正比例還是成反比例的兩種量，在教學(xué)過(guò)程中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生抓住兩個(gè)“變量”和一個(gè)“定量”，成正比例的兩種量的比值是一定的，成反比例的兩種量的乘積一定。比如第（1）題中正方形的邊長(zhǎng)一定，那么另外一條邊長(zhǎng)也是一定的，那么它的面積必然也是一定的，不可能成比例關(guān)系。第（2）題，如果在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有過(guò)類似的操作體驗(yàn)，就能知曉物體的高度和影子的長(zhǎng)度的比值是一定的。

【對(duì)策】

1.教學(xué)環(huán)節(jié)要細(xì)化。

教學(xué)中，教師有必要把學(xué)生陌生的數(shù)學(xué)名詞交待清楚，通過(guò)結(jié)合實(shí)例和數(shù)量關(guān)系式來(lái)介紹。如：一輛汽車在高速公路上，保持相同的速度，汽車行駛的時(shí)間和所行的路程成什么比例。這里的汽車速度就是定量，時(shí)間和路程就是變量；再如：正方形的周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)乘4，這里的“4”就是定量，周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)就是變量。這樣的細(xì)節(jié)性的介紹和講解是必不可少的。

2.數(shù)量關(guān)系要強(qiáng)化。

現(xiàn)在的教材中，對(duì)于一些數(shù)量關(guān)系有時(shí)避而不談，甚至淡化，這就造成了部分學(xué)生的數(shù)量關(guān)系的模糊。比如：工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間的關(guān)系。另外，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系和公式進(jìn)行自如地轉(zhuǎn)換，如：時(shí)間、速度和路程以及單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)等，這樣學(xué)生直接借助數(shù)量關(guān)系式就能進(jìn)行判斷。

3.特殊情況要固化。

對(duì)于一些不經(jīng)常接觸的數(shù)量關(guān)系要幫學(xué)生形成一個(gè)固定化的建構(gòu)。成正比例關(guān)系的如：第（2）題中在同一時(shí)間同一地點(diǎn)，物體的高度和影子的長(zhǎng)度，以及鋼材的質(zhì)量和體積。另外，還要注意不成比例的兩個(gè)量的情況，如：（1）平方關(guān)系；正方形的面積和邊長(zhǎng)。（2）加減關(guān)系；被減數(shù)、減數(shù)和差。（3）不關(guān)聯(lián)；身高和體重。

【練習(xí)】

（1）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)成（ ）比例。

（2）圓周長(zhǎng)=（ ）×（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。

【錯(cuò)例】

(1)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是b，十位上的數(shù)是a。用含有字母的式子表示這個(gè)兩位數(shù)是（ab）。

（2）2a與a2一定相等。 （ √ ）

【診斷】

1.已有認(rèn)知的不恰當(dāng)遷移。

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中很容易受前面知識(shí)的影響，比如第（1）題，如果給出一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是4，十位上的數(shù)是7，學(xué)生會(huì)很迅速地寫(xiě)出這個(gè)兩位數(shù)是74。學(xué)生一直都認(rèn)為個(gè)位上的數(shù)就應(yīng)該寫(xiě)在個(gè)位上，十位上的數(shù)就應(yīng)該寫(xiě)在十位上，但并沒(méi)有真正意義上明白個(gè)位上是幾表示幾個(gè)“一”，十位上是幾表示幾個(gè)“十”，這樣就造成錯(cuò)誤了。第（2）題也是如此，“2a”表示2個(gè)a相加，“a2”表示2個(gè)a相乘。學(xué)生都誤以為是2個(gè)a，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

2.教學(xué)環(huán)節(jié)不夠細(xì)化。

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的乘法算式改寫(xiě)時(shí)，教師只是對(duì)省略寫(xiě)法進(jìn)行了簡(jiǎn)略的介紹，甚至是讓學(xué)生通過(guò)自學(xué)完成，并沒(méi)有進(jìn)行深化、對(duì)比，學(xué)生對(duì)省略乘號(hào)的前因后果并不清楚，導(dǎo)致應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.教學(xué)過(guò)程細(xì)化，防止思維定勢(shì)。

教學(xué)時(shí)教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意審題，每一個(gè)環(huán)節(jié)都要細(xì)化，有的內(nèi)容該強(qiáng)調(diào)還是要強(qiáng)調(diào)到位。字母表示數(shù)雖然方便簡(jiǎn)潔，但其實(shí)也是一個(gè)抽象的過(guò)程，字母是不能完全代替數(shù)字的，特別是在書(shū)寫(xiě)的過(guò)程中，該簡(jiǎn)寫(xiě)的才能簡(jiǎn)寫(xiě)，而且必須遵照簡(jiǎn)寫(xiě)的要求來(lái)簡(jiǎn)寫(xiě)。

2.加強(qiáng)知識(shí)對(duì)比，理清知識(shí)聯(lián)系。

教學(xué)時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助舉例、對(duì)比等方式，強(qiáng)化知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)時(shí)要著重引導(dǎo)學(xué)生理解“a+b”和“a×b”、“ 2a”和“a2”之間的區(qū)別；第（2）題其實(shí)還可以借助舉例來(lái)驗(yàn)證。如：假設(shè)a等于1時(shí)，2a與a2的結(jié)果就不相等了，當(dāng)然教學(xué)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多舉幾個(gè)例子，才能得出合理的猜想。

【練習(xí)】

（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a米，寬是5米。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（ ）米，面積是（ ）平方米。

（2）師徒二人各加工一批相同數(shù)量的零件，師傅每小時(shí)加工48個(gè)，徒弟每小時(shí)加工38個(gè)，t小時(shí)后，師傅完成了任務(wù)。

①用含有字母的式子表示，當(dāng)師傅完成任務(wù)時(shí)，兩人一共加工了（ ）個(gè)零件。

②當(dāng)t=2.5時(shí)，徒弟還有多少個(gè)零件沒(méi)有完成？

（薛 剛）

圖形與幾何

【錯(cuò)例】

每天下午3時(shí)30分是某校低年級(jí)的放學(xué)時(shí)間，此時(shí)分針與時(shí)針的夾角是（ ）。

A.銳角

B.直角 C.鈍角

錯(cuò)解：B

【診斷】

1.感性經(jīng)驗(yàn)積累不足。

表面看來(lái)，學(xué)生學(xué)習(xí)角時(shí)經(jīng)歷了從身邊事物上發(fā)現(xiàn)角、抽象角、畫(huà)角、分類角等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累了大量的感性經(jīng)驗(yàn)，但是在判斷一個(gè)角是什么角時(shí)，學(xué)生往往憑經(jīng)驗(yàn)，感覺(jué)看著像直角，認(rèn)為就是直角。這道題僅僅對(duì)角有感性經(jīng)驗(yàn)是不夠的，還需要對(duì)時(shí)針?lè)轴樀穆?lián)動(dòng)特征有足夠的認(rèn)知：分針在走時(shí)針也在走，分針從12走到6，時(shí)針呢？

2.知識(shí)認(rèn)知不夠系統(tǒng)。

教學(xué)鐘表時(shí)先安排認(rèn)識(shí)了整時(shí)：分針指著12，時(shí)針指著幾就是幾時(shí)。這個(gè)時(shí)候留給學(xué)生的印象是深刻的，他們認(rèn)為時(shí)針或者分針總是要指著某個(gè)數(shù)字的。雖然接著又學(xué)習(xí)了大約幾時(shí)、幾時(shí)幾分，但是先入為主，他們的心里已經(jīng)有了強(qiáng)烈的指向性，就是默認(rèn)為讓時(shí)針走到表示整時(shí)的位置，卻忽略了分針的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)時(shí)針的影響。例如，3時(shí)30分，分針指著6，學(xué)生卻誤以為時(shí)針還指著3。

【對(duì)策】

1.感性經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)方法并重。

在判斷一個(gè)角是什么角時(shí)，不能只憑感覺(jué)，用數(shù)學(xué)的方法才是準(zhǔn)確的判斷，要多強(qiáng)調(diào)用三角尺的直角去比對(duì)：一樣大的是直角，比直角小的是銳角，比直角大（且小于180度）的是鈍角。也可利用身邊的直角工具，如書(shū)本的角、卡紙的角等，將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)。3時(shí)30分時(shí)，用直角去比對(duì)一下時(shí)針?lè)轴標(biāo)M成的角，讓學(xué)生想一想：“一條直角邊跟分針重合，另一條直角邊跟時(shí)針重合嗎？”從而激活學(xué)生的潛在認(rèn)知，主動(dòng)意識(shí)到另一條直角邊跟時(shí)針不重合，時(shí)針已經(jīng)走過(guò)了3，在3和4之間。

2.靜態(tài)認(rèn)識(shí)和動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)并行。

認(rèn)識(shí)鐘表時(shí)教師往往會(huì)讓學(xué)生觀察靜態(tài)的圖片，來(lái)發(fā)現(xiàn)鐘面上大格、小格、時(shí)針、分針、秒針的特點(diǎn)，以及一個(gè)具體時(shí)刻時(shí)針?lè)轴標(biāo)诘奈恢?，即使給學(xué)生看了動(dòng)畫(huà)，但時(shí)間有限，學(xué)生難以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)很好地感受時(shí)間是動(dòng)態(tài)的，影響了表像的建立。這里教師要舍得給學(xué)生大量的時(shí)間去“玩”鐘表，可以是模型，也可以是真的小鬧鐘，在“手感”的比較中感受時(shí)針?lè)轴樀穆?lián)動(dòng)，感受時(shí)針對(duì)分針的追擊。從而明白分針從12走到6，時(shí)針從3追到了3和4之間，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是一個(gè)銳角。

【練習(xí)】

1.給下面的鐘面畫(huà)上時(shí)針和分針。

2.鐘面上，（ ）時(shí)整和（ ）時(shí)整的時(shí)候，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是直角。7時(shí)整的時(shí)候，時(shí)針與分針的夾角是（ ）角。

3.鐘面上，9時(shí)30分的時(shí)候，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（ ）角；12時(shí)45分的時(shí)候，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（ ）角。

【錯(cuò)例】

一個(gè)平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度分別是6厘米和10厘米，一條高是8厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。

錯(cuò)解：10×8=80（平方厘米）

【診斷】

1.缺少理解，思維定勢(shì)。

平行四邊形的面積計(jì)算公式學(xué)生記得牢牢的：平行四邊形的面積=底×高，但用哪一條底乘哪一條高，學(xué)生是模糊的，他們以為底就應(yīng)該是最下面的一條邊，高自然就是這最下面一條邊上的高，面積也就錯(cuò)誤地計(jì)算成10×8=80（平方厘米）。這是因?yàn)閷W(xué)生平時(shí)見(jiàn)到的平行四邊形大都是標(biāo)準(zhǔn)型，很少出現(xiàn)以斜邊為底的情況，學(xué)生形成了思維定勢(shì)，他們對(duì)面積計(jì)算公式的記憶其實(shí)已經(jīng)扭曲為：平行四邊形的面積=底邊×高。

2.基礎(chǔ)不牢，缺乏聯(lián)系。

解題時(shí)，有的學(xué)生在所給平行四邊形中畫(huà)出了10cm這條底上的高，卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)矛盾：如果10cm這條底上的高真的是8cm，那它所在的直角三角形中，斜邊豈不要小于直角邊？在認(rèn)識(shí)直角三角形時(shí)，學(xué)生知道了直角邊、斜邊，卻沒(méi)有對(duì)“直角三角形中，斜邊一定大于直角邊”留下深刻的印象。

【對(duì)策】

1.增加變式，打破定勢(shì)。

在認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)，一定不能單一地出示標(biāo)準(zhǔn)型，要出示各種變式，扁的、高的、正的、斜的等，在給平行四邊形畫(huà)高時(shí)，也要注意變式，以底邊為底畫(huà)高，以斜邊為底畫(huà)高等。引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)思考問(wèn)題，幫助學(xué)生對(duì)平行四邊形的底和高形成正確而深刻的認(rèn)識(shí)。

2.鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系。

幫助學(xué)生回憶直角三角形中“斜邊一定大于直角邊”的知識(shí)，明確平行四邊形有兩組底、兩組高（如圖），在求平行四邊形面積的時(shí)候，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的底和高。是哪一條高呢？把問(wèn)題拋給學(xué)生，讓學(xué)生想明白8厘米只能是以6厘米為底的這條邊上的高，那么此平行四邊形的面積就是6×8=48（平方厘米），成功解決問(wèn)題。

【練習(xí)】

1.畫(huà)出下列平行四邊形指定底邊上的高。

2.選擇條件，用兩種方法算出平行四邊形的面積，看看是否相等。（單位：米）

3.一個(gè)平行四邊形相鄰的兩條邊分別是6厘米、4厘米，量得一條邊上的高是5厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。

【錯(cuò)例】

最少要用（ ）個(gè)同樣的小正方體才能拼成一個(gè)大正方體。

錯(cuò)解：4。

【診斷】

1.直觀和概念分離。

認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體時(shí)，有一種長(zhǎng)方體比較特殊：六個(gè)面中有一組相對(duì)面是正方形。這樣的是正方體還是長(zhǎng)方體？部分學(xué)生在判斷時(shí)僅僅憑感覺(jué)、憑經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為是正方體，對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體的概念模糊不清。用4個(gè)同樣的小正方體拼成的是上下相對(duì)面為正方形的長(zhǎng)方體，而不是上面、前面、側(cè)面均為正方形的正方體。學(xué)生的空間想象可能還停留在二維空間的正方形，缺乏二維空間平面圖形向三維空間立體圖形的轉(zhuǎn)化。

2.操作與思維脫節(jié)。

在解決這類問(wèn)題時(shí)，教師普遍重視借助直觀教具學(xué)具進(jìn)行拼搭，學(xué)生一眼就能瞅出小正方體的個(gè)數(shù)。但由于學(xué)生沒(méi)有在頭腦中想象、感悟小正方體個(gè)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，從而導(dǎo)致對(duì)于直觀教具學(xué)具的過(guò)度依賴，離開(kāi)直觀教具學(xué)具就不能正確解答。學(xué)生的空間想象力沒(méi)有得到有效鍛煉，空間觀念沒(méi)有得到有效建立。

【對(duì)策】

1.直觀和概念并重。

教學(xué)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生充分觀察實(shí)物，從而為理解抽象直觀圖奠定基礎(chǔ)。在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步通過(guò)觀察、操作、比較等學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體的特征，教師和學(xué)生共同概括得出“長(zhǎng)方體有 6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)的面形狀大小完全相同；正方體也有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形”。再輔以靈活有層次的練習(xí)，深化長(zhǎng)方體、正方體概念的形成。

2.操作與思維并行。

在學(xué)生借助小正方體學(xué)具進(jìn)行動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師要努力引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中進(jìn)行想象，通過(guò)比較、推理，尋找確定小正方體個(gè)數(shù)的方法，積累解決此類問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

首先，根據(jù)正方體的概念：上面、前面、側(cè)面都是正方形，可以知道，從上面、前面、側(cè)面看到的都是4個(gè)小正方形。

然后，根據(jù)從前面看到的圖形知道有兩層，根據(jù)從上面看到的圖形知道每層有4個(gè)，從而正確得出一共是2×4=8（個(gè)）。

【練習(xí)】

1.至少要用（ ）個(gè)同樣的小正方體才能拼成一個(gè)稍大的正方體，還可以用（ ）個(gè)、（ ）個(gè)……也能拼成更大的正方體。

2.如圖，看得見(jiàn)的小正方體有（ ）個(gè)，看不見(jiàn)的小正方體有（ ）個(gè)，一共有（ ）個(gè)小正方體。再添上（ ）個(gè)小正方體可以拼成一個(gè)大正方體。

3.用一些小正方體搭成了一個(gè)立體圖形，從三個(gè)不同方向看到的形狀如下：

至少用了（ ）個(gè)同樣的小正方體。

【錯(cuò)例】

將下圖中的梯形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

錯(cuò)解：

【診斷】

1.缺乏空間想象力。

要畫(huà)出旋轉(zhuǎn)90度以后的圖形，學(xué)生想象不出，無(wú)從下手。學(xué)生腦海里想象出的是小長(zhǎng)方形無(wú)序的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能讓它繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。部分學(xué)生認(rèn)為繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形就是和旋轉(zhuǎn)前的圖形在O點(diǎn)處垂直，于是直接把圖中的小長(zhǎng)方形想象成了一條線段，然后畫(huà)出它的“垂線”——另一個(gè)長(zhǎng)方形（見(jiàn)錯(cuò)解）。

2.沒(méi)有掌握旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。

學(xué)生動(dòng)手用紙剪出了和圖中差不多大小的長(zhǎng)方形，準(zhǔn)備親手轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：摁著點(diǎn)O，把小長(zhǎng)方形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。可他們不知道旋轉(zhuǎn)到哪個(gè)位置為止，雖然對(duì)旋轉(zhuǎn)的三要素（中心點(diǎn)、方向、角度）有所領(lǐng)悟，但還停留在將單條線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不會(huì)從平面圖形中抽象出關(guān)鍵線段逐條旋轉(zhuǎn)，沒(méi)有掌握將平面圖形繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。

【對(duì)策】

1.逐步建構(gòu)，訓(xùn)練空間想象。

教學(xué)平面圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，教師應(yīng)按照線段旋轉(zhuǎn)——單個(gè)的簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)——組合圖形的旋轉(zhuǎn)這樣的線索來(lái)組織教學(xué)活動(dòng)。圍繞旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)進(jìn)行合理想象，如：①想象一下，分針從3繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后指向幾？②想象一下，直角三角形旋轉(zhuǎn)后，每條邊都轉(zhuǎn)到什么位置了，你準(zhǔn)備怎么畫(huà)？③圖形繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度后，每個(gè)三角形都轉(zhuǎn)到了什么位置？為學(xué)生提供想象的時(shí)間，幫助學(xué)生建立幾何表象，發(fā)展空間觀念。

2.充足訓(xùn)練，凸顯旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。

《圖形的旋轉(zhuǎn)》是在繼平移、軸對(duì)稱之后的又一種圖形的全等變換，隱含著重要的變換思想，要讓學(xué)生了解圖形的旋轉(zhuǎn)需具備什么條件，即基本圖形、旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)的角度；讓學(xué)生了解什么叫順時(shí)針和逆時(shí)針，規(guī)范數(shù)學(xué)上習(xí)慣用語(yǔ)及用手勢(shì)比畫(huà)順時(shí)針和逆時(shí)針；讓學(xué)生學(xué)會(huì)看圖判斷旋轉(zhuǎn)的角度等。對(duì)于平面圖形的旋轉(zhuǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生先找出關(guān)鍵線段，然后將關(guān)鍵線段逐條旋轉(zhuǎn)，最后得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。

【練習(xí)】

1.如圖，指針從A開(kāi)始，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到（ ）點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到（ ）點(diǎn)；

2.畫(huà)出三角形AOB圍繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形。

3.等邊三角形ABC繞點(diǎn)C至少旋轉(zhuǎn)（ ）度才能與自身重合。

【錯(cuò)例】

一個(gè)盛水的長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高9厘米，里面水深2厘米，現(xiàn)將一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體鐵塊垂直放入容器底部，求長(zhǎng)方體容器中現(xiàn)在水深多少厘米。

錯(cuò)解：4×4×4=64（立方厘米）

10×8=80（平方厘米）

64÷80=0.8（厘米）

2+0.8=2.8（厘米）

【診斷】

1.審題能力欠缺。

學(xué)生沒(méi)有從中提取到關(guān)鍵信息，水深2厘米，鐵塊卻高4厘米，題目當(dāng)中沒(méi)有提鐵塊有沒(méi)有被淹沒(méi)，那鐵塊到底有沒(méi)有被淹沒(méi)？這完全要靠學(xué)生自己推理得出。假如解題時(shí)默認(rèn)為淹沒(méi)，算出現(xiàn)在的水高2.8厘米，在檢驗(yàn)時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)鐵塊高4厘米，而水深2.8厘米，顯然沒(méi)有被淹沒(méi)，自相矛盾。學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷這樣的審題過(guò)程，僅憑經(jīng)驗(yàn)作答，導(dǎo)致錯(cuò)解。

2.經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)遷移。

之前遇到的類似題型一般都是浸沒(méi)，所以學(xué)生腦中已經(jīng)思維定勢(shì)，再加上放入水中的是鐵塊、石子等物，學(xué)生認(rèn)為肯定會(huì)沉下去，而沒(méi)有想到這次的鐵塊居然高于水面，造成錯(cuò)誤解答。

【對(duì)策】

1.建立審題常規(guī)，培養(yǎng)審題能力。

在日常教學(xué)中，教師要建立一定的審題常規(guī)，可以參照以下三個(gè)步驟：①細(xì)讀，了解題意；②推敲，推敲信息之間的數(shù)量關(guān)系，形成解題思路。③檢驗(yàn)，將算出答案當(dāng)成條件代入原題，看是否符合。這題當(dāng)中包含多個(gè)條件，學(xué)生容易摸不著頭腦，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，從問(wèn)題出發(fā)尋找需要的條件。因?yàn)樗捏w積是不變的，而鐵塊垂直放入容器底部以后，水與容器底面接觸的面積發(fā)生了變化，比原來(lái)減少了16平方厘米（也就是鐵塊底面所占的面積），最后根據(jù)“體積÷底面積”求出水現(xiàn)在的高度。

水的體積：10×8×2=160（立方厘米）

水與容器底面接觸的面積：10×8-4×4=64（平方厘米）

水現(xiàn)在的高度：160÷64=2.5（厘米）

2.加強(qiáng)對(duì)比辨析，促經(jīng)驗(yàn)正遷移。

教師可以將這題的錯(cuò)解和正解放在一起，讓學(xué)生自己比較發(fā)現(xiàn)，辨析出錯(cuò)誤原因，明晰解題思路。也可以設(shè)計(jì)一組此類題型，比較當(dāng)中的條件或解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)出什么情況下浸沒(méi)，什么情況下不浸沒(méi)。以后再遇到將物體放水里的題目，學(xué)生必然會(huì)主動(dòng)去題目中尋找相關(guān)信息，判斷物體有沒(méi)有沉沒(méi)。在教學(xué)中教師要合理運(yùn)用比較的方法，引導(dǎo)學(xué)生辨析出相關(guān)原因，加深對(duì)“錯(cuò)點(diǎn)”的理解，突出“自我糾錯(cuò)”的亮點(diǎn)。

【練習(xí)】

1.一個(gè)存水500毫升的容器內(nèi)浸沒(méi)了兩個(gè)同樣大小的鐵球，把它們?nèi)〕龊螅幌陆档?00毫升，每個(gè)小鐵球的體積是多少立方厘米？

2.一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，長(zhǎng)7分米、寬5分米、水深3分米。把一個(gè)鐵球完全浸沒(méi)在水中，水面上升到5分米。這個(gè)鐵球的體積是多少立方分米？

3.一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)和寬分別是60厘米、50厘米，容器里裝有一部分水，且緊貼底面直立著一個(gè)高1米、底面是邊長(zhǎng)為20厘米正方形的長(zhǎng)方體鐵棒，這時(shí)水深50厘米。容器里水的體積有多少升？

（吳興坤）

統(tǒng)計(jì)與概率

【錯(cuò)例】

從下面（ ）中任意選兩個(gè)數(shù)相加，和是偶數(shù)的可能性大。

A.2，3，5 B.1，3，5 C.2，5，6

錯(cuò)解：C

【診斷】

1.原理理解不透徹。

雖然“可能性”是生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象，但將其從生活中抽象出來(lái)，學(xué)生仍然會(huì)感到有些陌生。因?yàn)镃選項(xiàng)中有兩個(gè)偶數(shù)，學(xué)生就誤以為從中任意選兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)的可能性大，實(shí)際上本題關(guān)注的是任意兩個(gè)數(shù)的和。

2.解題策略不恰當(dāng)。

本題需要對(duì)每一組中兩個(gè)數(shù)的和一一列舉，然后根據(jù)和的奇偶情況進(jìn)行判斷。也可以根據(jù)和的奇偶性的規(guī)律進(jìn)行推理，如“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”。

【對(duì)策】

1.組織探究活動(dòng)。

在“可能性”教學(xué)中，要注意選取學(xué)生熟悉的生活情境及感興趣的游戲活動(dòng)作為教學(xué)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷“提出猜測(cè)—收集和整理數(shù)據(jù)—分析試驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，這樣可以豐富學(xué)生對(duì)事物發(fā)生可能性大小的直觀體驗(yàn)。

2.重視解題策略訓(xùn)練。

引導(dǎo)學(xué)生在觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)與交流過(guò)程中，體驗(yàn)可能性的大小，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。上例C選項(xiàng)中，雖然偶數(shù)個(gè)數(shù)較多，但是如果運(yùn)用列舉策略就可以直觀形象地表示出所有出現(xiàn)的結(jié)果，借助列舉來(lái)澄清學(xué)生經(jīng)驗(yàn)上的不足和認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。

【練習(xí)】

1.用1、2、3這三張卡片可組成（ ）個(gè)三位數(shù)，其中組成奇數(shù)的可能性是（ ），組成偶數(shù)的可能性是（ ）。

2.5張卡片上分別寫(xiě)著3、4、5、6、7。任意抽出2張，積是雙數(shù)算小麗贏，積是單數(shù)算小剛贏。

（1）兩張卡片上數(shù)字相乘的積一共有多少種情況？

（2）這個(gè)游戲公平嗎？為什么？

【錯(cuò)例】

六年級(jí)一班參加數(shù)學(xué)實(shí)踐能力競(jìng)賽活動(dòng)，獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)如下圖。

回答問(wèn)題：這個(gè)班至少有多少人？哪一個(gè)項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的人數(shù)最多？

錯(cuò)解：

23+23=46（人）

答：這個(gè)班至少有46人。

【診斷】

1.過(guò)程經(jīng)歷不充分。

第二個(gè)問(wèn)題，只要進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和比較就能得出結(jié)論。但是，第一個(gè)問(wèn)題需要對(duì)各項(xiàng)目數(shù)據(jù)進(jìn)行意義界定，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合分析。學(xué)生如果沒(méi)有經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)過(guò)程，對(duì)數(shù)據(jù)特征就缺乏了解。上題中，從各個(gè)項(xiàng)目獲獎(jiǎng)人數(shù)看，這個(gè)班男生至少有25人（在“魔方”項(xiàng)目中），女生至少有23人（在“算24”項(xiàng)目中），所以，全班人數(shù)至少有25+23=48（人）。

2.教學(xué)重點(diǎn)被忽略。

數(shù)據(jù)的收集和整理，重點(diǎn)在于對(duì)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。上例中學(xué)生不僅要統(tǒng)計(jì)出各項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的人數(shù)，還應(yīng)該從數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確地提取信息，根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的判斷和簡(jiǎn)單的推理。

【對(duì)策】

1.在活動(dòng)中體驗(yàn)。

增加實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。設(shè)計(jì)一些與學(xué)生生活聯(lián)系比較緊密又蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問(wèn)題的活動(dòng)，通過(guò)問(wèn)題使學(xué)生在活動(dòng)中感受、體驗(yàn)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

2.培養(yǎng)分析觀念。

統(tǒng)計(jì)圖表是一種直觀的數(shù)據(jù)信息獲取方式。讓學(xué)生對(duì)收集到的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行歸類整理，制作成統(tǒng)計(jì)圖表，并通過(guò)查看圖表，對(duì)比分析圖表中的數(shù)據(jù)，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，促進(jìn)數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)。

【練習(xí)】

1.麗麗整理了四年級(jí)一班的身高數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表。

身 高（厘米）人 數(shù)120～129 7 130～139 16 140～149 12 150及以上8

問(wèn)題：

1.四年級(jí)一班身高（ ）厘米的學(xué)生最多。

2.麗麗身高是138厘米，按由高到矮的順序，大約排第（ ）名。

A.16 B.20 C.22

2.下面是某班男生的身高記錄。（單位：厘米）

編號(hào)1 2 3 4 5 6身高132 128 127 130 133 136編號(hào)7 8 9 1 0 11 12身高139 124 144 132 138 126編號(hào)13 14 15 16 17 18身高132 133 142 132 133 138編號(hào)19 20 21 22 23 24身高134 135 126 134 135 123編號(hào)25 26 27 28 29 30身高138 125 142 130 132 133

（1）把上面的數(shù)據(jù)按要求填寫(xiě)統(tǒng)計(jì)表。

身高（厘米）人 數(shù)合計(jì) 120～129 130～139 140～149

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表完成填空。

這個(gè)班的男生身高在( ～ )厘米的人數(shù)最多；

俊俊身高按從高到矮的順序排第10名，他的身高大約是（ ）厘米。

【錯(cuò)例】

四個(gè)人踢毽子，麗麗踢了39個(gè)，明明踢了28個(gè)，華華踢了10個(gè)，紅紅踢的個(gè)數(shù)比明明少、比華華多。他們四個(gè)人踢毽子的平均數(shù)（ ）。A．大于10，小于28 B．28 C．大于28，小于39

錯(cuò)解：B或C

【診斷】

1.平均數(shù)的意義理解不透。

“平均數(shù)”是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫(huà)、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。很多學(xué)生只會(huì)機(jī)械計(jì)算幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)，沒(méi)有真正理解“移多補(bǔ)少”的意義。上例中，前三個(gè)人踢毽子的平均數(shù)小于28，第四個(gè)人的個(gè)數(shù)也小于28個(gè)，所以四個(gè)人踢毽子的平均數(shù)一定小于28個(gè)。

2.處理數(shù)據(jù)的能力不強(qiáng)。

要準(zhǔn)確判斷平均數(shù)的取值范圍，不僅需要明確平均數(shù)一定在最小數(shù)據(jù)和最大數(shù)據(jù)之間，還應(yīng)該結(jié)合題目中所有數(shù)據(jù)的特點(diǎn)綜合考慮。例如，上例中的10是一個(gè)極端數(shù)據(jù)，整體上拉低了平均數(shù)的值。

【對(duì)策】

1.有效理解平均數(shù)意義。

教學(xué)中我們不能單純地進(jìn)行求平均數(shù)的練習(xí)，而應(yīng)該將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中。在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對(duì)比的過(guò)程中，深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。

2.自主探索平均數(shù)算法。

引導(dǎo)學(xué)生自己探索求平均數(shù)的方法：先合再分或移多補(bǔ)少。然后引導(dǎo)學(xué)生感受到這兩種方法的本質(zhì)都是讓原來(lái)不相同的數(shù)變得相同。同時(shí)可以適時(shí)滲透平均數(shù)處于一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間，能反映整體水平，但不能代表每個(gè)個(gè)體的情況，幫助學(xué)生對(duì)平均數(shù)這一概念獲得更為深刻和全面的認(rèn)識(shí)。

【練習(xí)】

1.小明三次跳繩練習(xí)的平均成績(jī)是70下，他第一次跳了64下，第二次跳了68下，第三次跳了（ ）下。

2.甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁兩筐共有梨50千克，平均每筐梨有（ ）千克。

3.選一選。

在a、b、c、d四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是39，最小的數(shù)是11，那么這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)有可能是（ ）。

①40 ②11 ③22

4.在一次登山比賽中，小剛上山時(shí)每分鐘走40米，18分鐘達(dá)到山頂，然后按原路下山，每分鐘走60米，小剛往返的平均速度是每分（ ）米。

5.8名學(xué)生在某次考試中，最高得分是95分，最低得分是65分，他們8人的平均成績(jī)是87.5分。去掉最高分與最低分后，其余6名學(xué)生的平均成績(jī)是（ ）分。

【錯(cuò)例】

有一道選擇題，共有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確。明明和紅紅把六年級(jí)二班對(duì)這道選擇題的答題情況制成了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖。

1.將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。

2.根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ）。

A.選A的有16人 B.選B的有4人

C.選C的有28人 D.該班共有50人參加考試

錯(cuò)解：1.無(wú)法求得選擇A、B的人數(shù)，條形統(tǒng)計(jì)圖未補(bǔ)充完整。

2.選B或C

【診斷】

1.信息加工能力薄弱。

扇形統(tǒng)計(jì)圖是通過(guò)各部分扇形面積占整個(gè)圓面積的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示的，學(xué)生缺少對(duì)扇形的充分認(rèn)知，不能把握扇形統(tǒng)計(jì)圖部分與整體的關(guān)系，也不能把條形統(tǒng)計(jì)圖中的信息與扇形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行整合，對(duì)兩幅統(tǒng)計(jì)圖所呈現(xiàn)信息沒(méi)有建立聯(lián)系。在上題中，由D選項(xiàng)10人占全班人數(shù)的20%，可知全班總?cè)藬?shù)為10÷20%=50（人），進(jìn)而可以求出其他選項(xiàng)的學(xué)生人數(shù)。

2.知識(shí)體系構(gòu)建不牢。

學(xué)生之所以認(rèn)為選項(xiàng)A是正確的，是基于這樣的思考：1-56%-8%-20%=16%，就想當(dāng)然地以為“選A的有16人”，混淆了具體數(shù)量與抽象分率的本質(zhì)區(qū)別。另外，這道題表面上是根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，實(shí)際上涉及不同類型的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的計(jì)算，應(yīng)按照百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路和解題方法進(jìn)行計(jì)算。

【對(duì)策】

1.系統(tǒng)建構(gòu)認(rèn)知。

扇形統(tǒng)計(jì)圖以圓和扇形的知識(shí)為支撐，但教材中關(guān)于扇形的知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)略，所以，教學(xué)時(shí)要充分考慮學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀，適當(dāng)增加扇形知識(shí)的教學(xué)，由淺入深地認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的特征和用途。同時(shí)聯(lián)系百分?jǐn)?shù)的意義，對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖提供的信息進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，進(jìn)行與百分?jǐn)?shù)相關(guān)的應(yīng)用訓(xùn)練。

2.提升信息獲取能力。

引導(dǎo)學(xué)生既要從整體上觀察統(tǒng)計(jì)圖中的項(xiàng)目信息，看出各部分占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)，又要尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決實(shí)際問(wèn)題。在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了加強(qiáng)計(jì)算、邏輯能力的培養(yǎng)之外，還應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)文本、圖表信息的獲取與加工能力。

【練習(xí)】

1.如圖，觀察這個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖，并填寫(xiě)。

（1）如果用這個(gè)圓代表總體，那么扇形（ ）表示總體的45%。

（2）如果用整個(gè)圓代表你所在班級(jí)人數(shù)，那么扇形B大約代表（ ）人。

（3）如果用整個(gè)圓代表9公頃的稻田，那么扇形A大約代表（ ）公頃。

（4）如果用整個(gè)圓代表某校學(xué)生的總?cè)藬?shù)，已知扇形B比扇形A多5%，且多60人，全校有（ ）名學(xué)生。

2.下表給出了第24～29屆奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中國(guó)和美國(guó)的金牌情況。請(qǐng)你根據(jù)表格解答。

images/BZ_46_322_467_588_694.png24 25 26 27 28 29中國(guó)美國(guó)5 36 16 37 16 44 39 32 35 51 36

（1）第27屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)獲得的金牌是第26屆的175%，第27屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)獲得幾枚金牌？

（2）第29屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)獲得的金牌數(shù)比第28屆獲得的金牌數(shù)多百分之幾？（百分號(hào)前保留一位小數(shù)）

3.在為地震災(zāi)區(qū)捐款活動(dòng)中，五年級(jí)四班每名學(xué)生拿出自己的零花錢(qián)，踴躍捐款，捐款額有5元、10元、15元、20元四種情況。根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了圖1和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖。

（1）該班共有（ ）名學(xué)生。

（2）請(qǐng)你將圖2的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。

（3）計(jì)算該班平均每人捐款多少元？

圖1

圖2

【錯(cuò)例】

如圖是某市用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)看圖回答：

明明家四月份用水10立方米，應(yīng)付水費(fèi)多少元？

錯(cuò)解：10×（2÷1）=20（立方米）

【診斷】

1.獲取信息能力欠缺。

圖中反映水費(fèi)總價(jià)與用水量變化是折線而非直線，由此可知，水費(fèi)總價(jià)與用水量的比值不是固定不變的。

2.數(shù)量關(guān)系分析不當(dāng)。

用水量在5立方米以內(nèi)（含5立方米），每立方米付水費(fèi)2元；用水量超過(guò)5立方米，每立方米應(yīng)付水費(fèi)4元。

【對(duì)策】

1.加強(qiáng)識(shí)圖訓(xùn)練。

教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖表現(xiàn)象，通過(guò)整理分析，進(jìn)行相應(yīng)的推斷。尤其要結(jié)合，設(shè)計(jì)可以用統(tǒng)計(jì)的方法處理的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生自己處理和描述數(shù)據(jù)，最終解決問(wèn)題。

2.注重?cái)?shù)據(jù)分析。

折線統(tǒng)計(jì)圖選用的數(shù)據(jù)應(yīng)該是連續(xù)性的數(shù)據(jù)，教學(xué)中盡可能為這些數(shù)據(jù)賦予實(shí)際背景，讓他們實(shí)際應(yīng)用中增進(jìn)對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖特征和適用價(jià)值的了解。

【練習(xí)】

下面是李歡和王強(qiáng)400米賽跑情況的復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。

（1）前200米（ ）跑得快些，后100米（ ）跑得快些。

（2）跑完400米，李歡用的時(shí)間比王強(qiáng)多（ ）%。