楊 彬，楊洪偉，李 爽，尤 偉

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 南京航空航天大學(xué) 航天新技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016； 3. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)

0 引言

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，我國的深空探測(cè)能力逐漸提高。以木星為代表的外太陽系天體成為我國下一步深空探測(cè)的目標(biāo)[1]。對(duì)于這類距離地球遙遠(yuǎn)的目標(biāo)，傳統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)移方式因燃料消耗巨大而不再適用。引力輔助技術(shù)作為重要的節(jié)能技術(shù)，對(duì)于深空探測(cè)軌道設(shè)計(jì)具有重要意義。引力輔助技術(shù)的應(yīng)用能有效減少任務(wù)的燃料消耗，使得原本無法完成的任務(wù)成為可能。而且，除了完成對(duì)既定目標(biāo)的探測(cè)外，探測(cè)器在行星引力輔助過程中還能完成對(duì)引力輔助行星的飛越探測(cè)，增加任務(wù)的科學(xué)回報(bào)。國外包括旅行者號(hào)[2]、卡西尼號(hào)[3]在內(nèi)的一系列深空探測(cè)器均采用了引力輔助技術(shù)，極大減少了任務(wù)的燃料消耗。

引力輔助技術(shù)，即在探測(cè)器靠近某一星球時(shí)，借助該星球的引力作用來改變探測(cè)器的軌道與速度，是一種無消耗的軌道機(jī)動(dòng)方式。引力輔助技術(shù)的應(yīng)用使得深空探測(cè)軌道設(shè)計(jì)變得更加復(fù)雜多樣。為獲得較好的引力輔助效果，針對(duì)復(fù)雜引力輔助軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)一直是軌道動(dòng)力學(xué)的熱點(diǎn)話題。CESARONE[4]推導(dǎo)了引力輔助過程中的參數(shù)表達(dá)式，并分析了近心點(diǎn)高度等引力輔助參數(shù)對(duì)引力輔助軌跡的影響。盡管引力輔助技術(shù)在節(jié)省燃料、提高效率等方面具有顯著優(yōu)勢(shì)，但其對(duì)所涉及天體的相位關(guān)系要求十分嚴(yán)格，借力前后的速度必須嚴(yán)格匹配[5]。這使得引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的發(fā)射窗口變得十分狹窄，造成搜索過程收斂困難。為提高發(fā)射窗口搜索算法的穩(wěn)定性，LONGUSKI等[6]提出了特征能量C3匹配法，基于引力輔助前后探測(cè)器的特征能量進(jìn)行引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡匹配。張旭輝等[7]采用蒂塞朗準(zhǔn)則對(duì)C3匹配方法進(jìn)行了驗(yàn)證。喬棟等[8]提出了軟匹配策略，用以進(jìn)行軌道拼接。軟匹配策略的應(yīng)用有效解決了傳統(tǒng)方法對(duì)滿足約束條件轉(zhuǎn)移軌道方案的遺漏問題。雖然采用了各種方法來提高匹配的穩(wěn)定性，但等待相關(guān)行星到達(dá)理想相位關(guān)系，往往需要數(shù)年時(shí)間。而且，針對(duì)多天體引力輔助情況，等待時(shí)間將更長。

為弱化引力輔助技術(shù)對(duì)能量匹配的約束，一些學(xué)者提出在引力輔助過程中，通過施加主動(dòng)脈沖來改善引力輔助效果，增加任務(wù)窗口，減少相位等待時(shí)間。PRADO[9]對(duì)帶有脈沖機(jī)動(dòng)的引力輔助變軌進(jìn)行了描述，并推導(dǎo)了探測(cè)器速度、能量變化量等參數(shù)，給出了特定條件下的最優(yōu)脈沖機(jī)動(dòng)方向。引力輔助過程中脈沖施加的具體位置目前仍是軌道動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題[10-12]。李小玉等[13]研究了附加深空機(jī)動(dòng)的引力輔助模型，推導(dǎo)了引力輔助后離開剩余速度的解析表達(dá)式。賈建華等[14]分析了平面引力輔助過程中施加脈沖的最優(yōu)位置，給出了平面情況下的最優(yōu)脈沖施加位置確定方法。CASALINO等[15]研究了在近拱點(diǎn)施加脈沖機(jī)動(dòng)的引力輔助，但其所提方法只適用于脈沖幅值較小的情況。賈建華等[16]分析了三維情況下近拱點(diǎn)施加脈沖的大小和方向?qū)μ綔y(cè)器軌道的影響。除了在近拱點(diǎn)施加脈沖機(jī)動(dòng)外，另一種方案是在引力輔助完成后施加脈沖機(jī)動(dòng)。侯艷偉等[17]采用這種方式設(shè)計(jì)了基于金星引力輔助的火星轉(zhuǎn)移軌道。

本文針對(duì)有動(dòng)力引力輔助技術(shù)和木星探測(cè)轉(zhuǎn)移軌跡進(jìn)行了研究，主要對(duì)近心點(diǎn)脈沖機(jī)動(dòng)和甩擺后脈沖機(jī)動(dòng)2種引力輔助模型進(jìn)行了對(duì)比分析，并完成了木星引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計(jì)。首先，分別構(gòu)建近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助模型和甩擺后機(jī)動(dòng)引力輔助模型。然后，提出基于引力輔助模型進(jìn)行深空探測(cè)的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法。隨后，以木星探測(cè)任務(wù)為工程應(yīng)用背景，基于不同引力輔助行星方案測(cè)試2種動(dòng)力引力輔助模型的性能。數(shù)值仿真結(jié)果表明：近心點(diǎn)施加脈沖機(jī)動(dòng)的引力輔助方案具有更好的節(jié)能效果。最后，應(yīng)用近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助模型，采用地球-金星-金星引力輔助序列，完成木星探測(cè)任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計(jì)。

1 動(dòng)力引力輔助模型

引力輔助作為一種高效的節(jié)能技術(shù)，多次為深空探測(cè)任務(wù)所采用。但對(duì)于軌道設(shè)計(jì)而言，包含引力輔助的轉(zhuǎn)移軌跡頗為復(fù)雜。因此，各種簡(jiǎn)化模型被采用，以在保證一定精度的前提下盡量提高計(jì)算效率。其中，圓錐曲線拼接法所采用的影響球模型是目前初始設(shè)計(jì)最常用的簡(jiǎn)化模型。根據(jù)圓錐曲線拼接法的原理，引力輔助過程被假設(shè)為一個(gè)瞬時(shí)速度突變。其中，速度突變量的大小根據(jù)影響球模型估算求解。無動(dòng)力引力輔助方式受到安全飛越高度等因素限制，在大多數(shù)情況下不能滿足任務(wù)要求。因此，在引力輔助過程中或引力輔助結(jié)束后通過施加脈沖機(jī)動(dòng)來匹配引力輔助前后的轉(zhuǎn)移軌跡是一種有效方式。這種將主動(dòng)變軌和引力輔助相結(jié)合的方式被稱為有動(dòng)力引力輔助技術(shù)。本文將針對(duì)近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)和引力輔助后機(jī)動(dòng)2種動(dòng)力引力輔助方式進(jìn)行建模分析。

1.1 近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助模型

近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助過程中只考慮引力輔助行星的引力作用，即探測(cè)器進(jìn)入借力行星影響球后沿雙曲線軌道接近借力行星。當(dāng)其飛至近心點(diǎn)時(shí)，沿速度方向施加脈沖機(jī)動(dòng)，以修正探測(cè)器引力輔助完成后的狀態(tài)。隨后，探測(cè)器沿調(diào)整后的逃逸軌道飛出借力行星的影響球，完成引力輔助。

相比于漫長的星際轉(zhuǎn)移過程，引力輔助過程持續(xù)時(shí)間很短。因此，假設(shè)引力輔助瞬時(shí)完成，則引力輔助前后探測(cè)器的位置不變且與引力輔助行星位置重合。探測(cè)器引力輔助前后的速度v+和v-分別通過求解引力輔助前后2段轉(zhuǎn)移軌跡的Lambert問題得到。因此，探測(cè)器進(jìn)入借力行星影響球的剩余速度和理想的離開剩余速度分別為

(1)

式中：vP為借力行星在引力輔助時(shí)刻的速度。若探測(cè)器以理想剩余速度進(jìn)入和離開引力輔助行星的影響球，則進(jìn)入和離開影響球的真近點(diǎn)角等于雙曲線軌道漸近線的真近點(diǎn)角。進(jìn)入和離開的真近點(diǎn)角的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

(2)

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)入和離開真近點(diǎn)角和雙曲線剩余速度偏轉(zhuǎn)角δ滿足幾何約束，f+-f--δ-π=0。將式(2)帶入幾何約束方程，得到關(guān)于近心點(diǎn)高度的非線性方程

(3)

為求解非線性方程(3)，對(duì)其求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，即

(4)

(5)

(6)

1.2 甩擺后機(jī)動(dòng)引力輔助模型

動(dòng)力引力輔助除在近心點(diǎn)添加機(jī)動(dòng)外，另一種常見的方案是在引力輔助完成后立即施加速度脈沖進(jìn)行調(diào)整，使得探測(cè)器的狀態(tài)滿足后續(xù)飛行任務(wù)的要求。施加的速度增量滿足

v+=v-+ΔvGA+ΔvI

(7)

式中：ΔvGA為引力輔助行星提供的速度增量；ΔvI為引力輔助完成后探測(cè)器施加的速度增量。在式(7)中，當(dāng)任務(wù)時(shí)間確定后，引力輔助前后探測(cè)器的速度是固定的。因此，為節(jié)省燃料，只能調(diào)節(jié)引力輔助提供的速度增量，使得探測(cè)器提供的速度增量最小。

為方便描述，本文采用引力輔助坐標(biāo)系[12]描述引力輔助過程的參數(shù)，如圖1所示。

圖1 引力輔助坐標(biāo)系Fig.1 Gravity assist reference frame

圖中：坐標(biāo)原點(diǎn)O位于引力輔助行星的中心，ξ軸沿雙曲線進(jìn)入剩余速度方向，ζ軸垂直于引力輔助前探測(cè)器的速度與引力輔助行星速度所決定的平面，η軸與ζ軸和ξ軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。將坐標(biāo)軸方向的單位矢量分別記為i，j和k，用剩余速度矢量和行星狀態(tài)表示，如式(8)所示，具體推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)[12]，此處不再贅述。

(8)

在引力輔助坐標(biāo)系中，探測(cè)器進(jìn)入和離開雙曲線剩余速度表示為

(9)

(10)

在引力輔助坐標(biāo)系中，引力輔助行星提供的速度增量可表示為

(sinδsinψ)j+(cosδ-1)i]

(11)

此外，將引力輔助前后的速度差投影至引力輔助坐標(biāo)系，即

v+-v-=v∞(κ1i+κ2j+κ3k)

(12)

將式(11)，(12)帶入式(7)，可得

ΔvI=v∞[(κ1-cosδ+1)2+(κ2-sinδsinψ)2+

(13)

因此，只要確定剩余速度偏轉(zhuǎn)角δ和甩擺角度參數(shù)ψ，就能求得引力輔助完成后所需施加的脈沖機(jī)動(dòng)速度增量。

2 轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)

轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)是空間任務(wù)規(guī)劃的基礎(chǔ)。圓錐曲線拼接法是經(jīng)典的轉(zhuǎn)移軌跡初始設(shè)計(jì)方法。采用該方法能快速完成轉(zhuǎn)移軌跡初始設(shè)計(jì)。本文基于上述引力輔助簡(jiǎn)化模型，采用圓錐曲線拼接法進(jìn)行復(fù)雜的引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)。嵌入引力輔助簡(jiǎn)化模型的圓錐曲線拼接法的執(zhí)行過程如圖2所示。

圖2 嵌入動(dòng)力引力輔助模型的圓錐曲線拼接法流程圖Fig.2 Flowchart of patched conic method with powered gravity-assist model

首先，在已知探測(cè)器地球出發(fā)時(shí)刻、行星借力時(shí)刻和目標(biāo)到達(dá)時(shí)刻的條件下，通過星歷可求得相關(guān)天體在相應(yīng)時(shí)刻的狀態(tài)。然后，基于圓錐曲線拼接法的思想，求解Lambert問題，得到相鄰天體之間的轉(zhuǎn)移軌跡，如圖2中所示的軌跡D和軌跡1。最后，利用引力輔助模型將這些轉(zhuǎn)移軌跡段按順序拼接，并計(jì)算引力輔助過程中所需施加的脈沖速度增量，進(jìn)而得到任務(wù)所需的總速度增量。

因此，轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)問題被轉(zhuǎn)化為一個(gè)多變量?jī)?yōu)化問題，即通過挑選最優(yōu)的任務(wù)時(shí)間節(jié)點(diǎn)和引力輔助參數(shù)(近心點(diǎn)高度、甩擺角度等)，使整個(gè)任務(wù)的燃料消耗最少。對(duì)于這種多變量全局優(yōu)化問題，遺傳算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。所以，本文后續(xù)的軌道設(shè)計(jì)將采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，其性能指標(biāo)為探測(cè)器提供的總速度增量。

3 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 引力輔助方式比較

以基于單次引力輔助的木星探測(cè)任務(wù)為例，對(duì)比分析2種簡(jiǎn)化引力輔助方案。為方便對(duì)比，除引力輔助模型外，其他任務(wù)條件完全一致。探測(cè)器于2032年11月8日從地球出發(fā)，于2033年4月27日完成金星引力輔助后飛往木星，并最終于2036年9月1日抵達(dá)木星。根據(jù)第2節(jié)描述的轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)方法，分別帶入近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助模型和甩擺后機(jī)動(dòng)引力輔助模型，計(jì)算最終的速度增量。仿真結(jié)果見表1。

表 1 不同地球引力輔助方案的對(duì)比

由表可知：金星引力輔助過程中，近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)所需的速度增量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于甩擺后機(jī)動(dòng)所需的速度增量，且前者在引力輔助過程中的近心點(diǎn)半徑也較小。這表明：在引力輔助過程中，探測(cè)器能從金星獲取更多能量，從而減小自身所需提供的速度增量。由此可見：相比于甩擺后的機(jī)動(dòng)方案，近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)方案能節(jié)省更多能量。為驗(yàn)證這一結(jié)論，針對(duì)地球和火星引力輔助任務(wù)進(jìn)行仿真，結(jié)果見表2。

表 2 不同情況下的引力輔助模型對(duì)比

相比于表1，表2中引力輔助過程中需要施加的速度增量大大減小，且不同動(dòng)力引力輔助方案的近心點(diǎn)半徑差異并不明顯。但是，相對(duì)于甩擺后機(jī)動(dòng)的引力輔助方案，近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)方式的燃料消耗仍然較小，只是其優(yōu)勢(shì)并沒有表1中那么明顯。綜上所述，近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)的引力輔助方式能使探測(cè)器以更少的燃料消耗完成引力輔助前后的軌跡拼接。因此，后續(xù)木星探測(cè)任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計(jì)將采用近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)引力輔助模型。

3.2 木星轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)

木星是太陽系最大的行星，對(duì)于研究太陽系的起源具有重要意義。迄今為止，包括NASA，ESA在內(nèi)的多家航天機(jī)構(gòu)已發(fā)射了伽利略號(hào)、朱諾號(hào)等木星探測(cè)器。此外，木星探測(cè)也已納入了我國未來的深空探測(cè)規(guī)劃。

木星距離地球十分遙遠(yuǎn)，現(xiàn)有探測(cè)器均采用行星引力輔助技術(shù)轉(zhuǎn)移至木星，且為進(jìn)一步節(jié)省燃料，往往在抵達(dá)木星前實(shí)施多次行星引力輔助。金星-地球-地球引力輔助序列是常見的木星探測(cè)任務(wù)方案之一。本文將基于此序列完成木星轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計(jì)。結(jié)合我國的木星探測(cè)計(jì)劃，將發(fā)射窗口搜索區(qū)間設(shè)定為2030年1月1日至2036年12月31日。性能指標(biāo)為探測(cè)器提供的總速度增量，即

J=Δvtotal=‖ΔvD‖+‖ΔvA‖+

∑‖ΔvGAk‖

(14)

式中：ΔvD為探測(cè)器離開地球所需的速度增量；ΔvGAk為第k次引力輔助所需施加的速度增量，其值可通過1.1節(jié)中所述模型求解；ΔvA為探測(cè)器到達(dá)木星后完成木星捕獲所需的速度增量。考慮到木星高強(qiáng)度的輻射，將木星目標(biāo)捕獲軌道的近木點(diǎn)半徑設(shè)定為不得小于4倍的木星半徑。另外，為減小木星捕獲所需的速度增量，將捕獲軌道的遠(yuǎn)木點(diǎn)半徑設(shè)定為100倍的木星半徑。因此，探測(cè)器的目標(biāo)捕獲軌道為100RJ×4RJ的大橢圓環(huán)木軌道。木星捕獲所需的速度增量為

(15)

式中：vA∞為探測(cè)器到達(dá)木星時(shí)的剩余速度；μJ為木星引力常數(shù)；ra和rp分別為目標(biāo)捕獲軌道的近木點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)木點(diǎn)半徑。

為確保探測(cè)器在引力輔助過程中的安全，對(duì)不同引力輔助行星的引力輔助軌跡的近心點(diǎn)半徑添加必要的約束，約束條件見表3。

表3 不同行星引力輔助近心點(diǎn)半徑下限

采用遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，其進(jìn)化過程如圖3所示。經(jīng)過25代遺傳搜索的最優(yōu)速度增量為1.170 km/s，最優(yōu)解的詳細(xì)信息見表4。

圖3 遺傳算法搜索進(jìn)化圖Fig.3 Search process of genetic algorithm

探測(cè)器于2033年1月11日從地球發(fā)射，經(jīng)過159 d的星際轉(zhuǎn)移，于2033年7月3日到達(dá)金星，完成金星引力輔助后返回地球。2034年6月2日，探測(cè)器首次返回地球，完成第一次地球引力輔助。探測(cè)器于334 d后再次返回地球，在完成第二次地球引力輔助后，進(jìn)入前往木星的轉(zhuǎn)移軌道，并于2039年6月12日到達(dá)木星。整個(gè)轉(zhuǎn)移過程持續(xù)2 343 d，需要探測(cè)器提供的總速度增量為1.17 km/s。任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡如圖4所示。

表4 遺傳算法搜索結(jié)果詳細(xì)信息表

圖4 木星探測(cè)轉(zhuǎn)移軌跡示意圖Fig.4 Transfer trajectory for Jupiter mission

4 結(jié)論

本文對(duì)比分析了近心點(diǎn)機(jī)動(dòng)和甩擺后機(jī)動(dòng)2種引力輔助方式。仿真結(jié)果表明：采用行星引力輔助時(shí)，在近心點(diǎn)施加脈沖機(jī)動(dòng)比引力輔助完成后施加機(jī)動(dòng)更加節(jié)能?；诖私Y(jié)論，本文完成了木星多天體引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計(jì)，其中包含1次金星引力輔助和2次地球引力輔助。本文研究?jī)?nèi)容和結(jié)論對(duì)我國后續(xù)木星探測(cè)等深空探測(cè)任務(wù)具有一定的參考意義。但是，本文提出的模型只適用于脈沖機(jī)動(dòng)方式。隨著電推進(jìn)等連續(xù)小推力推進(jìn)技術(shù)的成熟和在工程中的應(yīng)用，針對(duì)小推力和引力輔助相結(jié)合的軌道設(shè)計(jì)與優(yōu)化將是未來軌道設(shè)計(jì)的熱點(diǎn)。因此，后續(xù)將針對(duì)小推力引力輔助技術(shù)進(jìn)行深入研究。