劉玉忠, 薄 彤

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng),一般由一族連續(xù)(離散)的子系統(tǒng)和一條邏輯規(guī)則組成[1]。該邏輯規(guī)則也被稱為切換律,它決定了子系統(tǒng)間如何切換。切換系統(tǒng)作為混雜系統(tǒng)的重要組成部分,近年來(lái)在學(xué)術(shù)界得到廣泛關(guān)注。在切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的處理上,通常用到的手段有:多Lyapunov函數(shù)方法、平均駐留時(shí)間方法以及切換Lyapunov函數(shù)方法等[2]。

時(shí)滯問(wèn)題在很多實(shí)際領(lǐng)域中都廣泛存在,比如電子工程、生物醫(yī)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。時(shí)滯現(xiàn)象使系統(tǒng)的分析變得更加復(fù)雜,也是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要因素[3]。因此,積分時(shí)滯系統(tǒng)作為一族特殊的時(shí)滯系統(tǒng),近年來(lái)得到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[6]指出,積分時(shí)滯系統(tǒng)通常出現(xiàn)在:系統(tǒng)轉(zhuǎn)化而來(lái)的附加動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中,輸入時(shí)滯系統(tǒng),用于有限譜分配控制器的內(nèi)部穩(wěn)定性分析中;中立型泛函微分方程中差分算子的穩(wěn)定性分析。以上都是積分時(shí)滯系統(tǒng)的重要實(shí)例。在積分時(shí)滯系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性研究中,構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的方法已經(jīng)得到[7],這類泛函對(duì)于解決魯棒性估界和計(jì)算積分時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的指數(shù)估值等一類問(wèn)題具有重要意義。

對(duì)于切換積分時(shí)滯系統(tǒng)而言,切換和時(shí)滯都是影響系統(tǒng)穩(wěn)定的重要因素,二者耦合可能會(huì)引發(fā)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。本文先通過(guò)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù),在證明過(guò)程中,利用了Cauchy-Schwarz不等式以及Jensen不等式來(lái)處理積分項(xiàng),以此進(jìn)行有效的放縮。再利用平均駐留時(shí)間的方法處理在切換下積分時(shí)滯系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

考慮下面一族積分時(shí)滯切換系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài);h表示一個(gè)正常數(shù);G(θ)矩陣有定義在θ∈[-h,0]上的分段連續(xù)可微元素;切換信號(hào)σ(t):[0,+∞)→M={1,2,3,…,m},其中m是正整數(shù),表示子系統(tǒng)的個(gè)數(shù);初始向量函數(shù)φ(θ),θ∈[-h,0);·表示向量的歐幾里得范數(shù)和矩陣的誘導(dǎo)范數(shù);AT表示A的轉(zhuǎn)置;I表示單位矩陣;P>0表示P矩陣正定;λmax(R),λmin(R)分別表示矩陣R的最大特征值和最小特征值。下面介紹本文用到的引理及定義。

引理1[7]如果存在一個(gè)由0([-h,0),Rn)→R的泛函v,使得t→v(xt(φ))在R+上可微,并滿足如下條件:

引理2[7](Cauchy-Schwarz不等式)

引理3[9](Jensen不等式)

定義1[5](指數(shù)穩(wěn)定)如果存在μ>0,α>0使得系統(tǒng)任意的解都滿足不等式

x(t,φ)≤μφhe-αt,t≥0

則該系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2[2](平均駐留時(shí)間)

2 主要結(jié)果

2.1 單時(shí)滯切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定

定理1 如果存在矩陣Pi>0,Qi>0使得

(2)

證明 構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),系統(tǒng)(1)切換到第i個(gè)子系統(tǒng),此時(shí)σ(t)=i,則有v(φ)沿著系統(tǒng)(1)軌跡的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)引理2,可以得到

因此

(3)

其中

由式(3)可得

當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),

v(xt)=vσ(t)(xt)≤e-2α(t-tk)vσ(tk)(xtk)

再根據(jù)式(2),可以得到

根據(jù)a,b以及v(xt)的定義,

axt2≤v(xt),vσ(t0)(xt0)≤bxt02

所以有

因此,系統(tǒng)(1)是指數(shù)穩(wěn)定的。

2.2 多時(shí)滯積分切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定

考慮下面一族多時(shí)滯切換系統(tǒng)

(4)

其中,0

定理2 如果存在矩陣Pi>0,Qil>0,l=1,2,…,n,使得

其中

(5)

證明 構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),系統(tǒng)(4)切換到第i個(gè)子系統(tǒng),此時(shí)σ(t)=i,則有v(φ)沿著系統(tǒng)(4)的軌跡導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)引理3,可以得到

因此

(6)

其中

則當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),

v(xt)=vσ(t)(xt)≤e-2α(t-tk)vσ(tk)(xtk),

再根據(jù)式(5),可以得到

根據(jù)a,b以及v(xt)的定義,

axt2≤v(xt),vσ(t0)(xt0)≤bxt02,

所以有

因此,系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的。

3 結(jié) 論

本文主要對(duì)一族積分時(shí)滯切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行研究。首先,利用構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的方法,利用Cauchy-Schwarz不等式以及Jenson不等式處理了沿著系統(tǒng)軌跡的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到其緊上界,實(shí)現(xiàn)了不等式的有效放縮。然后,再采用平均駐留時(shí)間的方法,對(duì)任意切換時(shí)間下系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行處理。最后,將積分時(shí)滯切換系統(tǒng)中的單時(shí)滯指數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題推廣到多時(shí)滯指數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題,使該方面的問(wèn)題研究更具一般性。